книги / Статистика и анализ геологических данных

Метод ближайшего соседа. Существует еще один способ ис­ следования подобластей, на которые разбита некоторая об­ ласть, называемый методом ближайшего соседа. Анализируе­ мые в этом случае данные представляют собой не множество точек, расположенных внутри некоторой заданной области, а расстояния между наиболее близкими парами точек. Преи­ мущество метода ближайшего соседа заключается в том, что он дает возможность получать некоторую информацию о при­ роде распределения точек, которая весьма далека от простого принятия или отклонения проверяемой гипотезы [31].

В условиях случайного распределения точек на плоскости математическое ожидание расстояния (ожидаемое среднее рас­

стояние) Д между каждой точкой и ближайшей к ней соседней точкой определяется следующей формулой:

где р — плотность точек в изучаемой области, которая опреде­ ляется как число точек, приходящихся на единицу площади, причем площадь измеряется квадратами единиц, используемых для измерения расстояний между точками. Так, например, если расстояние между точками выражено в милях, то р подсчиты­ вается как число точек, приходящихся на квадратную милю.

Мы можем также измерить расстояние между каждой точ­ кой и соответствующей ей ближайшей соседней точкой и вы­

числить наблюдаемое среднее значение этих расстояний D. От­

представляет собой статистику метода ближайшего соседа, ко­ торая принимает значения в интервале от 0 до 2,15, где 0 соот­ ветствует случаю, когда все точки сведены в одну и расстояние между ними равно 0. Если критерий принял значение, равное 1, это соответствует случайному расположению точек, а макси­ мальная величина критерия 2,15 характеризует распределение точек, имеющих тенденцию к рассеянию. На фиг. 6.4 приведены примеры расположения точек, соответствующих трем различ­ ным случаям. Если точки расположены случайно, то теоретиче­ ское значение стандартного отклонения оценки среднего рас­ стояния между ближайшими точками будет определено сле­

дующим выражением:

0,26136 (6. 10)

0д_ VW

где N — число измерений расстояния между парами точек. Воп­ рос о константе в числителе этой дроби рассмотрен в работе

Фиг. 6.4. Значения статистики метода ближайшего соседа для различных схем расположения точек на картах.

Кинга [19] и Кендалла и Морана [18]. Располагая значениями D, А и о д , нетрудно построить критерий для проверки гипотезы

Если проверяемая гипотеза верна, то Z будет значением случайной величины, распределение которой близко к нормаль­ ному. Нулевая гипотеза должна быть отклонена, если Z превы­ сит допустимое значение, соответствующее заданному уровню значимости, которое можно найти в табл. 3.8.

Мы проиллюстрируем применение метода ближайшего со­ седа на примере «карты», приведенной на фиг. 6.5. Эта «карта» в действительности представляет полированную поверхность каменной облицовки фасада здания банка в университетском

3593

---с-----------------

весьма полезными. Проверку гипотезы о равномерном случай­ ном распределении зерен магнетита можно провести с помощью одного из рассматриваемых ранее способов — разделения на бо­ лее дробные участки или же с помощью метода ближайшего соседа. Вычисления можно делать вручную или составить не­

большую программу для ЭВМ и вычислить необходимые рас­ стояния по данным табл. 6.3.

Фиг. 6.6. Изображение контрольных точек для задачи топографического кар­ тирования.

и Y — картируемая характеристика, заданная как функция на множестве значений координат. На фиг. 6.6 приведен типич­ ный набор точек с соответствующими им значениями результа­ тов измерения абсолютных отметок топографической поверх­ ности. Эти данные получены при мензульной съемке и равно­ мерно распределены на изучаемой площади с учетом заданного масштаба карты. Все эти данные с соответствующими им коор­ динатами приведены в табл. 6.4. Для удобства за начало коор­ динат принят левый нижний угол карты, а значения коорди­ натных отсчетов выражены в произвольных единицах (одна еди­ ница— 50 футов). Положение точек наблюдения можно было бы выразить и в любых других единицах, что не повлияло бы на результаты.

В ЭВМ вводится только матрица координат и топографи­ ческих отметок в порядке, удобном для последующих построе­ ний. После этого задается прямоугольная сеть точек, на основе которых будут строиться изолинии. В описанных в этой главе системах построения карт в изолиниях на ЭВМ расстояние между точками сети выбирается автоматически и равно рас­ стоянию между строк печатающего устройства вычислительной машины. В программах математического обеспечения графопо­ строителей обычно предусмотрен контроль этого интервала

оператором. Уменьшение длины шага графопостроителя обеспе­ чивает более красивый вид карты, так как делает линии более сглаженными. Однако это приводит к значительному увеличе­ нию числа точек сети, для которых должны быть выполнены определенные вычисления, что увеличивает время работы ЭВМ и как следствие увеличивает стоимость составления карты. Об­ суждение всех этих вопросов не входит в наши задачи, но де­ тальное их рассмотрение можно найти в трудах фирмы IBM [16], Палмера [32] и Уолтерса [37].

На фиг. 6.7, а изображена серия наблюдений, причем каждая точка охарактеризована значениями координат Xi и Хг, а тккже значением высоты над уровнем моря, которое приведено справа

Фиг. 6.7. Последовательность вычислений для построения изолиний при на­ хождении значений в узлах сетки.

а — исходная сеть неравномерно расположенных контрольных точек на карте; числа ука­ зывают абсолютные отметки; б — равномерная сеть, в узлах которой вычисляются зна­ чения; в — расположение четырех ближайших контрольных точек по отношению к точке равномерной сети: эти четыре ближайших значения используются для вычисления зна­ чения в этой точке; г — окончательный результат вычисления отметок в каждой точке

равномерной сети.

Набор точек можно перенумеровать, т. е. приписать каждой точке номер i. Следовательно, в новых обозначениях точка с но­ мером i будет обладать координатами Хц и Х2ь а также абсо­ лютной отметкой Yi. На фиг. 6.7,6 приведена выбранная пра­ вильная сеть точек, по которой будут строиться изолинии. Каж­ дой из этих точек можно приписать соответствующий номер к. Таким образом, точка этой сети с номером к будет обладать

-""S

координатами Xik, Х2к и вычисленным значением Yk. Нам нужно

высчитать оценку Yk по п ближайшим к ней исходным точкам наблюдения. Следовательно, сначала нужно найти эти п бли­ жайших точек и подсчитать соответствующие им расстояния от точки с номером к заданной сети. В математическом обес­ печении ЭВМ обычно имеется стандартная программа такого поиска, и поэтому мы на ней останавливаться не будем. Это совсем не умаляет важности этого этапа в построении карты, но заметим, что эффективность выполнения этой операции во многом зависит от быстродействия ЭВМ.

Допустим, что с помощью некоторого метода мы определим п ближайших тбчек к заданной точке с номером к. Согласно

Вычислив расстояние Dik для всех п ближайших точек, можно подсчитать значение Yk по следующей формуле:

2 (Yi/D,k)

(6.13)

2 (l/Dik)

1=1

Процесс этих вычислений можно показать на примере дан­ ных, приведенных на фиг. 6.7, в. Мы произвольно выберем че-

Используя полученные расстояния, можно вычислить Yk. Числитель выражения (6.13) будет равен

так что

Точно так же можно выполнить эту процедуру и для осталь­ ных точек заданной сети, которая со всеми вычисленными зна-