книги / Статистика и анализ геологических данных

исключающие друг друга категории, а запись сделана с интер­ валом в 1 фут. Многим переходам соответствуют диагональные элементы матрицы переходных частот, т. е. А ->А, В->-В и т. д. Действительно, если средняя мощность слоев значительно пре­ вышает интервал опробования, то диагональные элементы мо­ гут настолько возрасти, что вероятности перехода из одного со­ стояния в другое станут исчезающе малыми. На фиг. 5.38 сред­ няя мощность слоев около 3 футов, и поэтому мы можем ожидать примерно два перехода из некоторого состояния в себя (например, А -*А ) в каждом слое. Матрица вероятностей пе­ рехода для этой последовательности такова:

Однако мы могли бы выбрать интервал опробования, равный и одному дюйму. Тогда число переходов из некоторого состоя­ ния в себя увеличилось бы в 12 раз, в то время как число пере­ ходов из этого состояния в другое осталось бы тем же самым. Новая матрица переходных вероятностей в этом случае имела бы вид

Хотя выбор подходящего интервала опробования является одной из наиболее трудных проблем при использовании марков­ ских моделей в исследовании стратиграфических разрезов, все же некоторые указания на этот счет можно сделать. Крамбейн [14] отмечает, что «в экспериментах с множеством стратиграфи­ ческих разрезов целесообразно выбирать интервалы от 2 до 10 футов». Однако эта рекомендация основана лишь на экспери­ ментах с осадочными отложениями верхнего палеозоя в запад­ ной части Американского континента и потому не может счи­ таться универсально применимой.

Чаще всего проверка предположения о марковости произ­ водится как альтернатива относительно нулевой гипотезы

Каждый элемент Ргц в матрице пе­ реходных вероятностей делится на безусловную вероятность того столбца, которому принадлежит данный эле­ мент. Соответствующее число перехо­ дов Тгц (взятое из матрицы переход­ ных частот) умножается на loge полу­ ченной величины. Наконец, все гп2 зна­ чений суммируются, в результате чего получается значение проверяемой ста­ тистики. Если проверяемая гипотеза верна, то рассматриваемая статистика распределена по закону %2 с v = (m—I)2 степенями свободы. В данном случае нулевая гипотеза заключается в том, что наблюдаемые состояния в после­ довательных точках не зависят от со­ стояний в соседних точках. Альтерна­ тива же заключается в утверждении, что между соседними точками сущест­ вует зависимость, т. е. последователь­ ность обладает свойством марковости.

Кроме того, зависимость между со­ стояниями в последовательных точ­ ках можно проверить также с помо­ щью рассмотренной выше процедуры изучения ассоциаций. Если характери­ стика автоассоциации с первым зна­ чением лага значительно превышает среднюю автоассоциацию последова­ тельности, то состояния в последова­ тельных точках частично зависят от

в последовательности. Подробности, связанные с применением этого критерия, описаны в разделе о взаимной ассоциации.

Анализ взаимозаменяемости. На фиг. 5.39 представлен гипо­ тетический стратиграфический разрез с закодированной после­ довательностью различных литологических разновидностей по­ род. Если вы исследуете закодированную последовательность, то заметите, что в ней часто встречаются последовательности

А->-В->-С и A-»-D-»-C. Это наводит на мысль о том, что со­ стояния В и D как-то связаны и одно может быть заменено дру­ гим в предлагаемой последовательности. Это свойство двух или более состояний встречаться в одном и том же окружении назы­ вается взаимозаменяемостью, и исследование этого явления близко к выявлению групп состояний, заранее не очевидных. Та­ кие исследования применялись в различных областях, как, на­ пример, при анализе частей речи и автоматизации процесса фо­ тографирования (Розенфельд и Хуанг (19]). Эти методы пред­ ставляются перспективными и для исследования геологических данных.

Анализ матрицы переходных вероятностей позволяет устано­ вить две величины: взаимозаменяемость первого порядка слева и взаимозаменяемость первого порядка справа. Эти термины воз­ никли при исследовании написанных текстов, в которых состоя­ ния представлены словами, а чтение осуществляется слева на­ право. Если за какими-либо двумя отдельно взятыми словами постоянно следует одно и то же слово, то они могут быть заме­ нены друг другом. Это явление называется левой взаимозаме­ няемостью, так как слово, которое может быть заменено дру­ гим в последовательности, располагается слева. Так как стра­ тиграфические последовательности читаются снизу вверх, то более удобным в этом случае является термин «взаимозаменяе­ мость снизу». Матрица левой взаимозаменяемости получается из матрицы переходных вероятностей в результате вычисления отношений произведений строк матрицы.

Предположим, что мы имеем матрицу переходных вероят­ ностей порядка mXm, где Ргц — вероятность получения состоя­ ния Aj после состояния Аь Отношение произведений, определяю­ щее левую взаимозаменяемость двух состояний, скажем Аг и As,

т. е. возводим в квадрат каждый элемент r-й и s -й строк, сум­ мируем квадраты по строкам, перемножаем суммы и находим квадратный корень из этого произведения, который равен зна­ менателю Lrs. Для нахождения числителя нужно умножить каж­ дый элемент г-й строки на соответствующий элемент s -й строки и найти сумму этих произведений. Отношение двух полученных величин и есть отношение произведений или мера левой взаимо­ заменяемости Lrs. Заметим, что если строки с номерами г и б идентичны (г = s ) , то числитель и знаменатель совпадают и от­

ношение равно 1,0. Поэтому мера взаимозаменяемости изменя­ ется в пределах от 0 до 1,0, т. е. 0 ^ L rs^ l . Так как значения вероятностей Ргц находятся с помощью деления каждого эле­ мента строки матрицы переходных частот на сумму строки, то тот же результат можно получить прямым вычислением отноше­ ния произведений строк матрицы переходных частот.

Конечный результат вычислений, проводимых со строками матрицы переходных вероятностей,— получение симметричной матрицы отношений произведений. Диагональные элементы, ко­ нечно, будут равны 1,0. Другие элементы характеризуют степень сходства между парами различных состояний, основанную на процентном отношении чисел, характеризующих порядок следо­ вания некоторого третьего состояния за данной парой состояний.

Матрицы переходных частот и вероятностей для полной пос­ ледовательности, из которой взят участок, изображенный на фиг. 5.39, имеют следующий вид:

Мера левой взаимозаменяемости между состояниями А и В вычисляется как отношение произведений следующих строк:

А [0,00 0,48 0,09 0,43]

I I I I

В[0,20 0,00 0,65 0,15[

Вычисляя это значение по формуле (5.80), получаем L A B = = 0,27, что дает нам элементы L12 и L21 матрицы мер левой взаи­ мозаменяемости. Аналогичным образом находятся ее остальные элементы. Полная матрица имеет следующий вид:

"1,00 0,27 0,60 0,25" 0,27 1,00 0,34 0,96 0,60 0,34 1,00 0,27 _0,25 0,96 0,27 1,00_

Высокая взаимозаменяемость сверху показывает, что существует сильная тенденция к появлению одного и того же состояния

взаимозаменяемости в геологических задачах, не могут служить еще ярким доказательством полезности применения этих мето­ дов в геологии. Эксперименты, использующие данные по страти­ графическому разрезу в Канзасе, оказались полезными в интер­ претации циклотем. Все отложения, вошедшие в этот большой разрез, были расклассифицированы на 18 литологических со­ стояний. Анализ взаимозаменяемости был использован с целью нахождения минимального числа литологических разновидно­ стей, необходимых для определения последовательности. Благо­ даря этому удалось избежать классификации известняков по их расположению в разрезе и объективно создать определенную циклическую модель [7]. Вероятно, этот метод можно успешно использовать при решении других статиграфических задач, а также при исследованиях минеральных парагенезисов.

На этом мы заканчиваем рассмотрение методов исследования последовательностей данных. Нами описаны наиболее часто ис­ пользуемые в настоящее время в геологии процедуры и методы, которые позволили получить интересные результаты и в других областях. Однако наше изложение никаким образом нельзя счи­ тать исчерпывающим, и может случиться, что в конечном итоге полезными наукам о Земле окажутся совсем другие методы. Однако рассмотренные вопросы охватывают значительный круг задач и составляют основу для последующего изучения и про­ должения исследований.

Отметим, что геологи не изучали проблему анализа последо­ вательностей данных в той же мере, как задачи исследования распределенных данных в пространстве. Вполне вероятно, что анализ карт получил свое развитие благодаря тому, что он ши­ роко использовался для предсказания финансовых затрат при разведке месторождений как нефтяных, так и твердых полезных ископаемых. Несомненно, методы анализа двумерных данных очень важны, и мы рассмотрим их в гл. 6. Однако предсказание финансовых прибылей не может служить доказательством в пользу применения рассмотренных методов для изучения пос­ ледовательностей данных. Скорее следует обратить внимание на потенциальные возможности метода автоматической корреляции каротажных диаграмм скважин или на метод изучения продол­ жительности времени между вулканическими извержениями или землетрясениями. Эти задачи еще не решены, и ни один из из­ ложенных здесь методов не может претендовать на то, что он даст удовлетворительное решение. Однако, по мере того как мы будем больше узнавать о геологических последовательностях, будут появляться все более мощные и усовершенствованные ме­ тоды. Конечным результатом наших исследований должно быть не решение специфических задач, а расширение наших знаний о процессах, которые происходят внутри Земли.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Agterberg F. Р., Mathematical models in ore evaluation, Canadian Research Soc. Jour., 5, 144—158, 1967.

Описывается применение метода Фурье в задачах оценки минеральных месторождений.

2.Anderson R. У., Koopmans L. Я., Harmonic analysis of varve time series, Jour. Geophysical Research, 68, 877—983, 1963.

Трактовка чисто периодических геологических явлений с точки зрения гармонического анализа.

3.Bradley J. F., Distribution-free statistical tests, Prentice-Hall, Inc., Engle­ wood Cliffs, N. J., 388, 1968.

Критерии скачков рассматриваются в гл. 12.

4.Conover W. /., Practical nonparametric statistics, John Wiley & Sons, Inc., New York, 462, 1971.

Книга написана с ориентацией, «как это делать». Разд. 7.3 посвящен кри­ терию скачков.

5.Сох D. R., Lewis Р. A. W., The statistical analysis of series of events, Methuen & Co., Ltd., London, 285, 1966.

Современное изложение последовательностей событий во всех аспектах.

6.Сох D. R., Miller Я. Я., The theory of stochastic processes, John Wiley & Sons, Inc., New York, 398, 1965.

Гл. 3—5 содержат современное изложение теории цепей Маркова и про­ цедур проверки свойства марковости.

7. Davis /. С., Cocke /. М., Interpretation of complex lithologic successions by substitutability analysis, in Merriam D. F., ed., Mathematical models of sedimentary processes, Plenum Press, New York, 27—52, 1972.

Попытка применения качественного анализа для интерпретации циклотем Пенсильвании на Американском континенте.

8.Draper N. и,, Smith Я., Applied regression analysis, John Wiley & Sons, Inc., New York, 407, 1966.

Подробное изложение вопросов регрессионного анализа, в котором особое внимание уделено вычислительным аспектам и приложениям. Гл. 1, 2, 4 и 5

особенно тесно примыкают к материалу, изложенному в этой книге.

У.ftsner A . A., Statistical methods for research workers, 14th ed., Hafner Publ. Co., New York, 362, 1970.

Посмертное издание классического труда по статистике, сейчас доступное лишь в недорогих изданиях без переплета. В разд. 21 рассматривается

корреляция еИТСа* В Разд* ^ “ критерии поправок, в разд. 37 — парная

10.ЯагЬаи^Л /. W., Bonham-Carter G Computer simulation in geology, John Wiley & Sons, Inc., New York, 575, 1970.

1л. 4 представляет собой одно из лучших и наиболее полных изложений

n и ст^тистической интерпретации спектра.

^ lrkil Н., Snell J. L., Thompson G. L.t Finite mathematical structures, Prentic«sHall, Inc., Englewood Cliffs, N. J., 487, 1959.

примеровДЗН0 ВВеДение в теорию марковских процессов с множеством

21 Заказ № 455