книги / Статистика и анализ геологических данных

последовательность пуассоновой. Если последовательность под­ чиняется распределению Пуассона, то можно получить требуе­ мые вероятностные оценки, используя таблицы этого распреде­ ления. Если все эти альтернативы оказываются исчерпанными, то в своих предсказаниях мы должны основываться на эмпири­ ческом анализе самой последовательности. Подробный план ана­ лиза последовательностей событий приводится в монографии Кокса и Льюиса [5].

Описанные выше программы можно использовать для про­ верки наличия тренда в скорости появления событий и для изу­ чения автокорреляции. Можно написать простую подпрограмму преобразования данных для критерия Колмогорова—Смирнова,

где могут быть перечислены значения ti, Yi, |-jj— Yi J и Yi —

— — — . Далее находится требуемое максимальное значение и

вычисляется статистика KS. Методы исследования последова­ тельностей событий использовались Уикманом [26] при изучении

последовательностей вулканических извержений. В качестве ил­ люстрации рассмотренных методов мы приведем аналогичный пример. Данные табл. 5.22 представляют собой даты изверже­ ний вулкана Асо в южной Японии. Интервал между последова­ тельными извержениями называется периодом отдыха. Иссле­ дуйте эти данные и определите, подчиняется ли последователь­ ность периодов отдыха какой-либо из рассмотренных выше схем.

Матрицы перехода

Многие геологические исследования связаны с изучением по­ следовательностей результатов наблюдений, которые представ­ лены взаимоисключающими друг друга состояниями. В качестве примера можно привести точечный подсчет содержаний минера­ лов по пересечению шлифа, когда наличие того или иного мине­ рала определяет состояние в данной точке. При изучении стра­ тиграфических разрезов или скважины, секущей зоны рудного тела, наблюдаются последовательности литологических типов пород, которым можно дать аналогичную классификацию. Наб­ людения по пересечению можно провести с равными интерва­ лами или же расположить их произвольно, как это обычно де­ лается при изучении стратиграфических разрезов. В первом при­ мере мы можем ожидать появления одного и того же состоя­ ния, т. е. несколько последовательных наблюдений могут попасть в одну и ту же категорию. Этого, очевидно, не произой­ дет, если наблюдения делаются только в точках изменения со­ стояния.

Данные, входящие в эти последовательности, в сущности та­ кие же, как те, которые используются при автокорреляции и взаимной корреляции. Теперь, однако, мы будем изучать не рас­ положение состояний в последовательности, а природу перехода из одного состояния в другое. Мы рассмотрим методы, которые совсем не используют информацию о положении наблюдений внутри последовательности, но зато позволяют получить инфор­ мацию о тенденции одного состояния следовать за другим. В табл. 5.23 представлены данные изучения стратиграфическогр разреза, причем каждая литологическая единица отнесена к од­ ному из четырех взаимно исключающих друг друга состояний — песчанику, известняку, сланцу и углю, которые произвольно обозначены через А, В, С и D. Можно построить матрицу, в ко­ торой указывается, сколько раз данное состояние следует за другим. Матрица такого типа называется матрицей переходных частот. Так как наблюдаемая последовательность данных со­ стоит из 31 наблюдения, то в ней насчитывается 30 переходов. Матрицу следует читать «от строки к столбцу», что, например,

Общая сумма

Ясно, что эта матрица зависит от общей суммы частот, со­ ответствующих состояниям, образующим последовательность. Однако мы можем получить также матрицу, выражающую тен­ денции следования одного состояния за другим независимо от частоты исходного состояния. Такую матрицу обычно называют

матрицей переходных пропорций, и строится она с помощью де­ ления каждого элемента i-й строки на сумму элементов строки. После этого преобразования сумма элементов строки становится равной единице. Полная матрица переходных пропорций для на­ шего примера имеет вид

В

Из этой матрицы, например, видно, что если появляется состояние А, то состояние В следует за ним приблизительно в по­ ловине всех случаев. Эта пропорция не зависит от общего числа появлений состояния А. Если бы наша последовательность со­ держала только одно наблюдение А, за которым следовало бы состояние В, то матрица переходов содержала бы только один элемент в строке А, а именно 0,03 для пэры А ->В . Наоборот, матрица переходных пропорций содержала бы на том же месте элемент 1,00, что означало бы, что вслед за состоянием А неиз­ бежно следует состояние В.

Цепи Маркова. Как указывалось в гл. 3, мы можем опреде­ лить вероятность как относительную частоту появления события. Если бы мы рассмотрели последовательность бесконечной длины, аналогичную приведенной в табл. 5.23, то могли бы точно определить вероятность того, что данное состояние следует за другим. Так как мы провели исследование небольшого участка

в нижней части фигуры 5.36, б, где жирными линиями показаны переходы, соответствующие наивысшим значениям вероятностей, светлые линии соответствуют следующим по величине вероят­ ностям перехода. Из этой диаграммы очевидно, что рассматри­ ваемая последовательность неоднородна:

Между этими двумя крайними случаями существует беско­ нечное множество возможных последовательностей, которым со­ ответствуют частичный детерминизм, неполное упорядочение, полуслучайное поведение или любое из некоторого числа эквива­ лентных выражений, в которых указан порядок следования с из­ меняющимися случайными вкладами. Многие из последователь­ ностей такого типа имеют свойства цепей Маркова, т. е. после­ довательностей, в которых вероятность, соответствующая i-му состоянию, зависит от непосредственно предшествующего состоя­ ния. В теории цепей Маркова вероятность, соответствующую со­ стоянию в любой момент времени в будущем, можно предска­ зать на основании данных о настоящем моменте времени. Напри­ мер, предположим, что задана матрица переходных вероятностей порядка 3X3, построенная по некоторой наблюдаемой последо­ вательности, имеющей следующий вид:

По данным этой матрицы можно найти вероятность возник­ новения последовательности из трех событий, начинающуюся любым из возможных состояний. Предположим, что исходное состояние есть А. Наиболее вероятным следующим состоянием является состояние В. Наиболее вероятным состоянием, следую­ щим за В, является состояние С, а далее наиболее вероятным состоянием является состояние А, т. е. наиболее вероятная пос­ ледовательность состояний имеет вид

А — В — С — А.

Вероятность, соответствующая каждому из этих переходов, равна 3/4. Следовательно, общая вероятность того, что указан­ ная последовательность событий действительно осуществится,

равна 3Д • ZU • 3А = 27/б4. Однако имеется также другой путь, при­ водящий в конечном итоге к состоянию А за три шага. Предпо­ ложим, что первый переход происходит из А в С, второй — в В и, наконец,— в А:

А — С — В — А.

Это наименее вероятный из всех путей, так как каждому переходу соответствует вероятность,- равная всего лишь lU. Поэтому вероятность появления этой последовательности собы­ тий равна только 74 • 74 • 2/4= 1/64- Теперь для того, чтобы вычис­ лить суммарную вероятность возвращения системы из состряния А за три шага снова в А, мы должны сложить обе подсчитан­ ные вероятности, т. е.

Все возможные пути из состояния А изображены на фиг. 5.37. Используя вероятности, соответствующие каждому из них, мы можем вычислить вероятность возвращения в состояния А, В или С за три шага. Эти вероятности соответственно равны

Вычисление вероятности появления некоторого состояния, если число предшествующих ему переходов достаточно велико, довольно утомительно, но мы можем выполнить эти операции, используя аппарат матричной алгебры, и определить вероятности переходов из состояния А в другое произвольное состояние. По­ лученный вектор назовем [Рг(А) ]:

[ Р г ( А ) | = [РгА_ АРгА„ вРгА _ с].

Этот вектор просто является строкой матрицы переходных вероятностей. В нашем примере

[Рг (А)] = [0,00 0,75 0,25].

Вектор вероятностей состояний, полученных после переходов из исходного состояния, мы обозначим через [Ргп]. Он может быть вычислен по формуле

где [Р] — матрица переходных вероятностей.

В нашем примере это уравнение принимает вид

Фиг. 5.37. Возможные трехэтапные пути из состояния А с указанием их вероятности.

Выполните все матричные умножения и убедитесь в том, что этот способ приводит к тому же результату, как и простое вы­ числение вероятностей получения различных состояний после осуществления трех переходов.

Если одношаговую матрицу переходных вероятностей возво­ дить в высокую степень, то легко убедиться, что строки разных матриц становятся идентичными. Иными словами, начиная с не­ которого момента, вероятности появления состояний не зависят от начального состояния последовательности. Это явление поз­ воляет следующим образом охарактеризовать «память» марков­ ского процесса: он «помнит» предыдущее событие, но влияние каждого события убывает с расстоянием (или со временем) до тех пор, пока оно не «забывается». Наличие памяти характерно для детерминированных систем, так как они «запоминают» на­ всегда, в то время как случайная система совсем не имеет па­ мяти. Поэтому число шагов, на которых память сохраняется, можно считать показателем порядка в последовательности. На­ помним, что в гл. 4 мы обращали внимание читателя на эффект от возведения в степень матрицы вероятностей. Теперь мы мо­ жем использовать этот метод для изучения поведения матрицы переходных вероятностей марковского процесса. Хотя прямое применение этих матриц для целей предсказания ограниченно, они позволяют глубже проникнуть в природу механизма, кото­ рый приводит к данной записи последовательности состояний. Поэтому можно предположить, что теория марковских процес­ сов будет иметь все большее применение при попытках построе­ ния моделей геологических процессов. Проведенные исследова­ ния с рядом моделей показывают, что многие процессы, проис­ ходящие на Земле и внутри ее, описываются с помощью модели марковского процесса. Например, это свойство явно видно в про­ цессах, которые привели к образованию литологической после­ довательности в породах палеозоя центральной части Американ­ ского континента. Схемы ветвления русел рек в некоторых районах также можно трактовать как марковские процессы. Харбух и Бонгэм-Картер [10] затрагивают вопросы применения це­ пей Маркова к изучению геологических процессов. Введение в математическую теорию цепей Маркова содержится в книге Кемени, Мэкила, Снелла и Томпсона [13]. Более подробное изло­ жение этих вопросов можно найти у Кокса и Миллера [6].

До сих пор мы рассматривали только последовательности, для которых вероятности перехода записывались в точках, где эти состояния изменялись. Мы можем также рассматривать на­ блюдения, произведенные вдоль некоторой линии в точках с рав­ номерным расположением. Пример приведен на фиг. 5.38, где изображен стратиграфический разрез, в котором литологические разновидности пород расклассифицированы на четыре взаимно