книги / Статистика и анализ геологических данных

Глава 6 АНАЛИЗ КАРТ

Условные и другие геологические карты

Несмотря на то что геологи проводят свои исследования в реальном трехмерном мире, их представления о нем в значи­ тельной степени остаются двумерными. Это является следст­ вием того, что третье измерение, роль которого в геологии обычно играет глубина, нередко бывает лишь частично доступно для изучения по сравнению с двумя другими измерениями. Кроме того, наши представления во многом обусловлены сред­ ствами их выражения, которыми могут быть карты, фотогра­ фии, разрезы, напечатанные на плоских листах бумаги. Пред­ метом исследования могут быть геологические характеристики пород, доступных для изучения на глубине в горных выработках на различных уровнях, в штольнях и восстающих, образующие сложную трехмерную сеть, которую для наглядного представле­ ния нужных зависимостей требуется изобразить в виде плоской проекции. Геологи уделяют большое внимание чтению, исполь­ зованию и построению карт и, возможно, являются самыми све­ дущими в наглядном выражении и изучении пространственных зависимостей. В науках о Земле карты играют ту же роль, что и ноты в музыке, будучи компактным и эффективным средством выражения зависимостей и различных деталей.

Несмотря на то что карты являются обычным средством обу­ чения и работы геологов, вопросы механизации их построения и некоторые философские аспекты развиты весьма слабо. Боль­ шинство способов сравнения карт между собой было введено географами, хотя геологам постоянно приходится сравнивать карты, отыскивая в них элементы сходства. С появлением элек­ тронной вычислительной техники роль автоматического построе­ ния карт в геологической практике стала возрастать, и в настоя­ щее время нефтяные компании являются самыми активными потребителями графопостроителей. До сих пор почти ничего не было опубликовано об алгоритмах, используемых в работе этих графопостроителей, и о сравнительных преимуществах различ­ ных возможных подходов к их разработке. Недостаточно

изучен также вопрос надежности или эффективности карты. Ана­ лиз поверхностей тренда, пожалуй, является единственным широко используемым способом анализа карт, но те исследователи, ко­ торые используют существующие программы этого метода для ЭВМ, обычно не осведомлены о присущих ему ограничениях. Следствием этого является неожиданное появление как хоро­ ших, так и бессмысленных результатов применения данного ме­ тода, что в свою очередь порождает необоснованных и сторон­ ников, и скептиков.

Карта — это двумерное представление некоторой области. Обычно это четырехугольник, ограничивающий горный 'район или страну, построенный в результате масштабного сокращения реальных пространственных соотношений с целью их более лег­ кого восприятия. Однако такое представление пространственных соотношений может в равной степени относиться и к тому, что мы привыкли называть «карта», и к петрографическому шлифу, и к снимку, сделанному на электронном микроскопе, когда вза­ имоотношения между характеристиками изучаемого объекта представляются в увеличенном виде (масштабе). Карты, в са­ мом общем определении, включают обычные геологические и географические карты, аэрофотоснимки, маркшейдерские планы, карты поверхностей отдельных стратиграфических подразделе­ ний, микрофотографии и снимки электронного микроскопа. Та­ ким образом, любой из видов двумерного пространственного построения можно рассматривать как карту.

Зависимости, изучаемые на карте, почти всегда изобража­ ются с помощью точек. При этом обычно рассматриваются рас­ стояния между точками, их плотность и значения, приписанные каждой точке. Подавляющее большинство карт представляет собой оценки некоторых непрерывных функций по результатам наблюдений в дискретных контрольных точках, типичным приме­ ром чего может служить обычная топографическая карта, кото­ рая, несмотря на непрерывность изображенных на ней контуров, построена на основе дискретной триангуляционной сети, узлами которой служат контрольные точки. Еще более наглядным

она непрерывной в промежутках между этими точками, недо­ ступными для наблюдения. Тем не менее в подобной ситуации принимается решение, что поверхность непрерывна и ее форма оценивается по результатам наблюдений в контрольных точках, заведомо учитывая, что ее реконструкция неточна и не отражает ряда деталей ввиду отсутствия данных между скважинами.

При аэрологическом картировании пустынных районов мо- S но установить простирание и измерить углы падения пород и

довольно точно нанести на карту границы между формациями, так как их удается проследить во всем регионе.

В районах же с пышной растительностью и мощной корой выветривания мы вынуждены довольствоваться разобщенными выходами коренных пород и весьма плохими обнажениями, что скажется на качестве карты, которое зависит от плотности то­ чек наблюдения. Вопрос о влиянии распределения точек наблю­ дения на качество карты представляет существенный интерес для геологов, но по данной теме существует очень немного опуб­ ликованных работ. Почти все исследования, связанные с этим вопросом, были выполнены географами. В данной главе мы рас­ смотрим некоторые результаты этих исследований и изучим воз­ можности их применения при изучении геологических карт, а также для решения таких задач, как распределение зерен ми­ нералов в петрографических шлифах.

дополнительная геологическая интерпретация первичных резуль­ татов наблюдения в значительной степени повышает качество карты. Однако иногда на геологических выводах сказывается влияние персонального фактора, отражающего индивидуальные взгляды исследователя, что значительно снижает качество карты. Методы построения карт в изолиниях на ЭВМ препятствуют действию персонального фактора при интерпретации. Конечно, субъективные суждения необходимы при выборе алгоритма по­ строения карты, но сам выбор между конкурирующими проце­ дурами осуществляется с помощью соответствующих критериев. Главная причина развития машинных методов построения карт — экономическая, вызванная попыткой использования ог­ ромной стратиграфической информации, накопленной в нефтя­ ной промышленности. Однако одно из главных достижений этих методов заключается в том, что они заставляют сосредоточить внимание на проблеме достоверности карты. Методы построения карт в изолиниях изложены в специальном разделе этой главы, где приведены также примеры построения и применения неко­ торых простых программ для ЭВМ.

Анализ поверхностей тренда — один из наиболее широко при­ меняемых в геологии математических методов, и поэтому мы рас­ смотрим его детально, останавливаясь на различных вариантах, в частности на четырехмерных поверхностях тренда и на поверх­ ностях, описываемых гармониками Фурье. Несмотря на то что этот метод широко применяется в геологии, им нередко и зло­ употребляют. В связи с этим нам придется рассмотреть задачи распределения точек наблюдения, недостаточного приближения, вычисленных «срывов» и неправильных применений.

Если построение поверхности тренда рассматривать как за­ дачу множественной регрессии, то при этом необходимо исполь­ зовать соответствующие статистические критерии, причем эта необходимость заранее постулируется. На модель поверхности аренда (а следовательно, и на ее применение) существуют раз­ личные точки зрения. Разногласия- в данном случае вызваны тем, что ряд авторов отстаивают преимущества построения по­ верхностей тренда по сравнению с методами сглаживания с по­ мощью скользящего среднего. Обе эти точки зрения будут проа­ нализированы, и будет сделана попытка дать соответствующее заключение.

Двумерные методы большей частью являются обобщением методов, изложенных в гл. 5. Построение поверхностей тренда — это раздел регрессионных методов. В свою очередь крайгинг связан с анализом временных рядов, а проведение изолиний яв­ ляется обобщением интерполяции. Мы просто расширяем общ­ ность нашей задачи путем введения второй (а иногда и третьей) пространственной переменной. Конечно, некоторые задачи, воз­ никающие при анализе карт, являются уникальными, но в це­ лом эта глава представляет собой раздел математической гео­ логии, посвященной n-мерным задачам. Только важность одно- и двумерных задач в науках о Земле заставила выделить эти разделы в самостоятельные главы.

Распределение точек

Одна из распространенных геологических задач заключается в изучении способа распределения точек на двумерной поверхно­ сти или карте. Эти точки могут соответствовать местам взятия проб, получения наблюдений или же быть точками проекции. Задача может состоять в изучении однородности распределения точек наблюдения, плотности распределения или же в изучении связи точек друг с другом. Все эти вопросы возникают как у гео­ графов, так и у геологов, а полевые наблюдения, связанные с анализом положения точек, всегда приводят к этим или сход­ ным задачам. Хотя географы уделяют большое внимание резуль­ татам культурной деятельности человека, разработанная ими методология применима непосредственно и при изучении природ­ ных явлений.

Существующие схемы расположения точек на картах удобно разделить на три категории: равномерные, случайные и группо­ вые. Примеры этих трех типов расположения приведены на фиг. 6.1. Конечно, для большинства карт характерны схемы рас­ положения точек, занимающих промежуточное положение между перечисленными крайними типами, и обычно задача заключается

а

в

Фиг. 6.1. Возможные схемы расположения точек на карте.

а — точки равномерно расположены в центрах ячеек или узлах сети; б — случайное рас­ положение точек; в — точки расположены группами.

в классификационном отнесении наблюдаемой схемы к одному из этих типов. Так, например, большинство читателей отнесли бы распределение точек на фиг. 6.2 к случайному типу, что было бы неверно, так как на карту предварительно была нанесена регулярная сеть, в каждой из ячеек которой затем помещалась наудачу одна точка. Таким образом, это распределение обладает как случайными, так и регулярными свойствами.

Схема расположения точек на карте называется равномер­ ной, если плотность точек в любой одной подобласти равна плотности точек в любой другой подобласти того же размера. Схема называется регулярной, если точки образуют какой-либо вид сети. Это значит, что расстояния между точками с номерами i и j, лежащих на некотором направлении сети, остаются по­ стоянными для всех пар i, j на карте. Случайная схема возни­ кает в том случае, если любая подобласть одного размера

обладает одной и той же вероятно­ стью появления в ней точки и появ­ ление одних точек не влияет на по­ явление других точек.

Равномерность расположения точек является важным условием, необходимым для применения мно­ гих видов анализа, в частности ана­ лиза поверхностей тренда, который мы рассмотрим несколько позднее. Достоверность карты находится

впрямой зависимости от плотности

иравно'мерности расположения то­

чек наблюдения. Однако большин­ ство геологов оценивают распреде­ ление точек наблюдения лишь с ка­ чественных позиций. Даже несмот­ ря на то что часто подчеркивается желание получить равномерное рас­ пределение точек наблюдения, сте­ пень равномерности крайне редко

измеряется. Критерии, применяемые для определения равномер­ ности, очень просты, но, к сожалению, многие геологи не подо­ зревают о их существовании и о том, что ими можно пользо­ ваться. Однако эти критерии широко используются географами, например Кингом [19], Кулом и Кингом [7], Хаггетом [12] и др.

Всю карту можно разделить на множество подобластей рав­ ного размера (иногда их называют квадратами) так, что каж­ дая подобласть будет содержать некоторое множество точек. Если точки наблюдения расположены равномерно, то следует ожидать, что каждая подобласть будет содержать одно и то же число точек. Эту гипотезу об отсутствии существенных различий в числе точек для каждой подобласти можно проверить с по­ мощью критерия х2> который теоретически не зависит от формы или ориентировки подобластей. Однако критерий будет наиболее эффективным, если число подобластей сделать по возможности большим (что приводит к увеличению числа степеней свободы), при условии, что все подобласти содержат не менее пяти точек. Ожидаемое число точек для каждой подобласти будет равно

Критерий х2 для проверки гипотезы о равномерном распре делении точек будет определен следующим образом:

участков, содержащих г точек. В предыдущем примере при про­ верке гипотезы о равномерности суммирование проводилось по всем m участкам. В данном случае при проверке гипотезы о слу­ чайности расположения точек суммирование производится по г категориям участков, содержащих заданные числа точек. Про­ иллюстрировать этот критерий можно теми же данными, по ко­ торым проводилась проверка гипотезы о равномерном располо­ жении. Так, вероятность того, что выбранный наудачу участок будет содержать 10 точек, равна

Аналогично можно определить вероятности, соответствующие другим значениям г. Все они приведены в табл. 6.2, где показана процедура вычисления критерия %2. Критическое значение %2, со­ ответствующее уровню значимости 0,05 и 10 степеням свободы, равно 18,3. Так как вычисленное значение критерия, равное 11,5, меньше чем 18,3, для отклонения гипотезы о случайном расположении точек нет оснований.

Рассмотрим теперь еще одну статистическую характеристи­ ку, которая наряду со средним значением описывает распреде­ ление числа участков, содержащих заданное число точек. Если данные табл. 6.2 нанести на график, то получим гистограмму, из которой видно, что, кроме среднего значения числа точек, приходящихся на участок (десять), нам требуется некоторая мера отклонений от этого числа. В связи с этим мы можем оп­ ределить некоторое число di, являющееся мерой отклонения числа точек i-ro участка от среднего значения у следующим образом:

(6.5)

С помощью этих отклонений можно вычислить среднее квад­ ратичное отклонение d2 по следующей формуле:

m

Теоретическое, или ожидаемое, значение среднего квадратич­ ного отклонения будет равно

Если распределение случайно, то теоретическое и вычислен­ ное средние квадратичные отклонения будут почти равны. Эта процедура была рассмотрена Мэтью в статье, перепечатанной в книге Бэрри и Марбла [2].