книги / Статистика и анализ геологических данных

в данной позиции сравнения не больше, чем среднее значение для двух случайных последовательностей с аналогичной струк­ турой. Поправка Уэйта для малых выборок не изменяет этого вывода.

Так как мы имели дело с дискретным рядом событий (сов­ падение или несовпадение), то распределение частот совпадений подчиняется биномиальному закону. Среднее число возможных совпадений для двух случайных последовательностей, которые сравниваются при п* перекрещивающихся позициях, равно

К сожалению, мы не можем вычислить вероятность получения наблюдения, имеющего столь большое отклонение от среднего значения биномиального распределения, если не будем иметь в распоряжении подробных таблиц биномиального распределе­ ния. Последние не вполне пригодны при больших значениях п, которые как раз и нужны в задачах изучения взаимосвязей. Однако мы можем использовать нормальное приближение к би­ номиальному распределению, выражаемое формулой (5.54), и найти вероятность появления заданного значения отклонения от среднего. С этой целью можно использовать таблицы стан­ дартного нормального распределения, аналогичные табл. 3.8:

Подставляя требуемые значения для двух последовательностей в формулу (5.54), получим

Z = У 12 (2 arcsin ]/2/12 —2 arcsin 1/0,27)

или

Z = 3,46 (2 arcsin 0,41 —2 arcsin 0,53) = —0,97.

Сравнивая две случайные последовательности, мы можем ожи­ дать три совпадения, а наблюдаем два, что на одно стандарт­ ное отклонение отличается от ожидаемого числа совпадений. Наблюдаемое число совпадений в этой позиции вполне может быть случайным.

Последовательность операций при составлении программы для изучения взаимосвязей вполне аналогична программе вы­ числения коэффициентов взаимной корреляции CROSCR (про­ грамма 5.9). Различие состоит в том, что первоначально производится изучение двух последовательностей с целью

101C O N T IN U E

P R = P R + X I K * X 2 K

END

Программа 5.10. XASSOC

определения числа наблюдений в каждом классе, которые затем используются для вычисления значения Рг. Затем обе после­ довательности сдвигаются относительно друг друга и на каждом шаге вычисляются величины О, O', Е и Е', а результаты хра­ нятся в памяти машины. После того как массивы данных сфор­ мированы, можно вычислить для каждого положения отноше­ ние, число совпадений и стандартное отклонение. Эти значе­ ния можно напечатать или представить графически с помощью подпрограммы TSPLOT (программа 5.7). Программа 5.10 XASSOC предназначена для вычисления характеристик взаимо­ связей между двумя последовательностями целых чисел, в ко­ торых каждое целое число представляет соответствующую кате­ горию наблюдений. По структуре эта программа напоминает программу ALGOL, опубликованную Сэкином, Снитом и Мэрриэмом [21].

Примечание. Для вычисления нормального приближения требуется на­ хождение арксинусов двух чисел. Функция arcsin отсутствует в большинстве компиляторов ФОРТРАНа, однако ее можно вычислить с помощью неко­ торого преобразования, используя подпрограмму ARCTAN, имеющуюся в ФОРТРАНе. Арксинус числа есть угол (или число), синус которого равен X. Мы обозначим этот угол (или число) через 0. Таким образом,

X = sin 0.

Используя следующие тригонометрические соотношения:

cos2 6 + sin2 0 = 1,

cos 0 = У'"1 — sin2 0,

получим

0 = arctg sin 0 cos 0

Используя определение sin 0 и представив cos 0 через sin 0, имеем

X

0 = arctg

Y 1 — sin2 0 ’

Подставляя значение sin 0, получаем

fl = arctg- VI — Х2

Эту последовательность операций на языке ФОРТРАН можно выразить пред­ ложением

A SX = ATAN (X/SQRT (1.0 - X ** 2)),

что и дает обратную функцию.

В качестве примера применения этого корреляционного ме­ тода рассмотрим задачу сопоставления множеств наблюдений в разрезах угольного бассейна центральной Англии. Хорошие обнажения пород здесь редки, а электрокаротаж не дает какойлибо информации, поэтому большая часть данных о стратигра­ фической последовательности получена в карьерах и шахтах. Закодируем литологические разности пород следующим обра­ зом: 1 — песчаник; 2 — алевролит; 3 — сланец, не содержащий фауны; 4 — подстилающая глина; 5 — уголь; 6 — сланец, содер­ жащий фауну; 7 — известняк. Первый разрез изучался в затоп­ ленной угольной шахте. Второй, менее мощный разрез обнажен в стене открытого угольного карьера в 6 милях от первого. Найдите положения наилучшего совпадения короткой и длин­ ной последовательностей. Данные приведены в табл. 5.21.

Т а б л и ц а 5.21 Два закодированных стратиграфических разреза в центральной Англии

П римечание. 1 песчаник, 2 — алевролит, 3 — сланец, не содержащий фауны, 4 — подстилающая глина, 5 — уголь, 6 — сланец, содержащий фауну, 7 — известняк.

Из предыдущего примера ясно, что метод изучения взаимо­ связей не является качественным эквивалентом взаимной кор­ реляции. Имея дело с временными рядами, мы должны пред­ полагать, что наблюдения располагаются в точках вдоль некоторой прямой; это ограничение отсутствует в анализе взаи­ мосвязей. Наши данные могут просто состоять из последователь­ ности состояний, перечисленных в том порядке, в котором

они встречаются. Как в только что приведенных стратиграфиче­ ских разрезах, расстояния между последовательными точками в этом случае несущественны.

Программу для исследования ассоциаций (автоассоциаций) для цепей 1 и 2 можно использовать при изучении периодич­ ностей в порядке следования состояния. Именно так она и была

а одна последовательность сама с собой. Укажем вероятность совпадения в этом случае. Биномиальная вероятность получения данного числа совпадений в случайной последовательности при сравнении ее самой с собой составит

Мы предполагаем, что последовательность представляет со­ бой случайное размещение m состояний или классов, причем каждое состояние встречается Хк раз. Общее число наблюдений

m

равно ^ Хк = п. Эту вероятность надо прямо подставлять в (5.52) к-1

и использовать при вычислении /^распределения и стандартного отклонения. Критерий предназначен для проверки нулевой ги­ потезы, заключающейся в том, что число совпадений не отли­ чается от ожидаемого числа совпадений для случайной последо­ вательности при сравнении ее с самой собой.

Для иллюстрации применения метода автоассоциаций можно использовать данные из разреза шахты (табл. 5.21). Сделайте необходимые изменения в программе 5.9 так, чтобы в ней для вычисления вероятностей использовалась формула (5.55). Это изменение можно осуществить оптимальным образом, т. е. ис­ пользовать оператор IF, в котором управление передается пред­ ложению с номером, который считывается до ввода данных. Тогда программа 5.10 может использоваться для изучения как автоассоциаций, так и взаимосвязей.

Если в разрезе шахты будет содержаться много повторяю­ щихся элементов, то это приведет к необыкновенно высоким зна­ чениям отношений, характеризующих совпадения, и к значи­ тельным отклонениям от ожидаемого среднего числа совпаде­ ний. Интерпретация графиков, характеризующих взаимосвязи, проводится аналогично интерпретации коррелограмм. Однако ко­ эффициент взаимосвязи вычисляется на основании номинальных данных, и в силу этого информация, содержащаяся в последо­ вательности, значительно беднее, чем в эквивалентном времен­

ном ряду последовательности измерений. Так как мы исполь­ зуем качественные данные, то не можем ожидать того же результата, который можно было бы получить при анализе настоя­ щих временных рядов. Этот фактор необходимо учитывать при интерпретации результатов по взаимосвязям и автоассоциациям.

Ряды Фурье

Прежде чем подробно излагать теорию рядов Фурье, мы дол­ жны определить ряд терминов, используемых при циклическом повторении данных, упорядоченных на прямой. Большинство этих терминов взято из электротехники и используется при ана­ лизе электрических сигналов. Хотя электрический сигнал пред­ ставляет собой изменение энергии волны с течением времени, инженеры любят представлять себе его «замороженным» в осцил­ лографе. При изложении теории рядов Фурье инженеры всегда предполагают, что сигнал изменяется со временем, однако тот факт, что они исследуют сигнал как пространственное явление на экране осциллографа,'указывает, что время и пространство считаются равноправными. Несомненно, математически это кор­ ректно, и та неосознанная легкость, с которой инженеры поль­ зуются таким допущением, может убедить нас в том, что эти два понятия, как правило, взаимозаменяемы. Поэтому наше из­ ложение терминологически несколько отличается от большинства работ по анализу сигналов.

На фиг. 5.23 изображен повторяющийся сигнал, который мо­ жно описать чистой синусоидальной волной. Расстояние от одной точки волны до эквивалентной точки на следующей волне на­ зывается длиной волны X. Частота f — характеристика, обрат­

ная длине волны, т. е. f = ~ — число волн, укладывающихся

в единицу длины или времени. В большинстве инженерных рас­ четов сигнал характеризуется частотой. В геологических задачах интереснее иметь дело с длиной волны. Время, требуемое для того, чтобы правильный сигнал повторился, называется его пе­ риодом. Термин период является эквивалентом длины волны, но период измеряется в единицах времени, например в милли­ секундах, а не в единицах расстояния, т. е. в сантиметрах. При описании таких явлений, как морские волны, удобно пользо­ ваться как длиной волны, так и периодом. Длина волны в этом случае измеряется как расстояние между гребнями соседних волн, период — как время, требуемое для того, чтобы две после­ довательные волны прошли фиксированную точку отсчета, как, например, конец волнореза. Это временной промежуток между моментом появления одной волны и моментом появления другой.