книги / Статистика и анализ геологических данных

функцию скорости враще­ ния диска и скорости движе­

тить полную волну, то точка закрепления стержня на ди­ ске должна сделать полный оборот вокруг центра диска, т. е. повернуться на 360° или на 2я радиан. Предпо­ ложим, что мы начинаем вычерчивание при произ­ вольном начальном положе­ нии карандаша на бумаге, которое мы назовем нуле­ вым. Угол ф между каранда­ шом, центром диска и гори­ зонтальной линией на бума­ ге имеет некоторое значение а (фиг. 5.26). Если мы в про­ цессе работы приспособле­ ния сдвинемся вниз на рас­ стояние X и остановимся, то карандаш окажется в точке,

волны. Заметим, что фазовый угол синусоидальной волны изме­ ряется от горизонтальной линии, проходящей через центр.

Если мы хотим построить ряд волн различной формы, то для этого нужно изменить амплитуду, длину волны или фазовый

Фиг. 5.26. Постепенное изменение фазового угла ср от начального значения а.

угол. Можно также описать косинусоидальную кривую, по форме идентичную синусоидальной, но характеризующуюся фазовым углом р, измеряемым от вертикальной прямой, проходящей че­ рез центр устройства. Иными словами, косинусоидальная волна

отличается от синусоидальной по фазе на 90°, или на -у-радиан.

Как следует из этой формулы, значение Yj в точке Xi опреде­ ляется как сумма амплитуд синусоидальной и косинусоидальной составляющих волн на расстоянии Xi от начальной точки ряда. Если в сигнале присутствует только одна компонента, как на фиг. 5.23, то для его записи достаточно одного синусоидального или косинусоидального члена. Индекс п называется гармониче­ ским числом (или просто гармоникой), которое в этом примере равно 1, так как в данном случае требуется использовать только один коэффициент а или р. По причинам, которые будут ука­ заны ниже, коэффициенты а0 и Ро определяются некоторым спе­ циальным образом.

Прежде чем продолжить изложение, поясним вкратце по­ нятие гармоник. На фиг. 5.28, а изображена синусоидальная волна длины X, аналогичная рассмотренным в предыдущем при­ мере. Это первая гармоника, т а основная частота. На фиг. 5.28, б изображена такая же волна, где длина волны Х/2; она называ­ ется второй гармоникой. Волна на фиг. 5.28, в — третья гармо­ ника с длиной волны Х/3. На фиг. 5.28, г изображена сумма пер­ вой и второй гармоник (г—а + б ) . Волна на фиг. 5.28, д является

(е = а + б + в ). Отметим, что амплитуды гармоник не обязательно равны амплитуде основной волны, хотя в этом примере они сов­ падают. Как легко видеть, сложение гармоник позволяет полу­ чить сложные волновые функции. Важно отметить, что любая заданная гармоника является функцией амплитуды, которая мо­ жет быть даже равна нулю в том случае, если гармоника отсут­ ствует в изучаемой волне.

Заметим, что длина основной волны X не обязательно имеет наибольшую амплитуду. Действительно, обычно мы не знаем ве­ личины X и вынуждены в качестве основной длины волны выби­ рать произвольное значение L. Если мы выберем L равным или большим, чем длина нашего ряда данных, и вычислим достаточ­ ное число гармоник, то получим оценку периодичности, присут­ ствующей в наших данных. Сделанный нами произвольный вы­ бор значения L скорее всего будет неправильной оценкой длины волны X, поэтому коэффициенты произвольной основной гармо­ ники могут оказаться близкими к нулю. Коэффициенты всех последовательных гармоник, которые на самом деле не присут­ ствуют в данных, будут также близки к нулю. Поэтому только действительно имеющиеся длины волн будут входить с доста­ точно большими коэффициентами.

Использование формулы (5.56) облегчает введение коэф­

Фиг. 5.28. Результат сложения последовательных гармоник синусоидальной волны.

В этих обозначениях запись матричных нормальных урав­ нений для отыскания коэффициентов а п и рп значительно

Эта величина используется в электротехнике и выражает энергию, заключенную в n-й частотной компоненте электриче­ ского тока. Однако если считать, что изменчивость значений Yi для нашего временного ряда характеризуется его дисперсией, тогда s2n — дисперсия, возникшая благодаря n-й гармонике. Если

s2y— общая дисперсия Y в ряде, то вклад n-й гармоники, выра­ женный в процентах, равен

Тот факт, что эти величины являются дисперсиями, дает воз­ можность их применения для проверки значимости различных гармоник критериями типа ANOVA. Однако мы оставим эти во­ просы в стороне и обратимся к некоторым другим аспектам ана­ лиза Фурье.

Совершенно ясно, что в последовательности (5.63) можно ис­ пользовать столько гармоник, сколько нам угодно, вплоть до не­ которого номера, который будет указан ниже. Однако, для того чтобы гармоники хорошо описывали сложные последователь­ ности, их число должно быть достаточно большим. В этих слу­ чаях матричные уравнения становятся столь громоздкими, что их решение оказывается не под силу современным ЭВМ. Однако изложенный нами метод нахождения коэффициентов Фурье яв­ ляется достаточно общим и может быть применен для исследова­ ния последовательностей наблюдений, расположенных в прост­ ранстве с произвольным интервалом. В случае если мы хотим ограничиться рассмотрением данных с правильным расположе­ нием в пространстве, мы можем упростить ряд Фурье, что поз­ волит производить вычисление большего числа гармоник, не на­ рушая ограничений данной программы.

Если наблюдения Yi сделаны через равные интервалы зна­ чений переменной Xi, то все недиагональные члены в формуле (5.62) становятся равными нулю. Более того, диагональные эле­ менты становятся простыми функциями параметра К. Для ко­ нечных последовательностей, состоящих из N равномерно рас­

положенных наблюдений, мы можем вычислить -^-гармоник: ко­ эффициенты ряда Фурье определяются по формуле (5.56):