книги / Основы разработки нефтяных и газовых месторождений

Первый член правой части этого уравнения характеризует паде­ ние давления вследствие отбора из самой скважины, дренирующей бесконечный пласт (уравнение 7.23).

Бесконечная сумма характеризует ту часть падения давления в скважине, которая обусловлена наличием неограниченной сетки фиктивных скважин, имитирующей непроницаемую границу. Выра­ жение, содержащее интегральную показательную функцию, являет­ ся решением уравнения (5.20) при постоянном дебите для точечного стока (уравнение 7.11), которое представлено в разделе 7.2. Необхо­ димость использования интегральной показательной функции обу­ словлена тем, что расстояние а. от добывающей скважины до }-той фиктивной скважиной настолько велико, что аппроксимация с при­ менением зависимости (7.10) становится неприемлемой, и необходи­ мо использовать полное решение. Таким образом, бесконечное сум­ мирование в уравнении (7.41) является примером суперпозиции в пространстве решений уравнения (5.20) при постоянном дебите.

Более подробные математические выкладки приведены в прило­ жении к оригинальной статье Мэтьюза, Бронса и Хейзбрека7.

Используя этот метод определения р0(10), Мэтьюз, Броне и Хейзбрек смогли получить решения уравнения (7.40) при различных гра­ ничных условиях. Результаты были представлены в виде графиче­ ских зависимостей

где 1оа- безразмерное время работы скважины. Полученные графи­ ки включены в настоящую книгу как рис. 7.11 - 7.15. Графики по­ строены для различных геометрических форм и различных степеней асимметрии положения добывающей скважины по отношению к не­ проницаемой границе.

Первоначально графики Мэтьюза, Бронса и Хейзбрека (графики МБХ) были предназначены для определения р по данным исследо­ вания методом восстановления давления. Для этого нужно сначала определить р* путем экстраполяции графика Хорнера и рассчитать проницаемость к по угловому коэффициенту прямой линии. Если из­ вестна площадь области дренирования, то можно рассчитать = к! / сррсА для фактической продолжительности работы скважины I. Затем, используя соответствующий график МБХ, можно определить значение параметра 4тгкЬ (р* - р) / яр по ординате и рассчитать по нему р. Этот

важный метод будет рассмотрен подробнее в разделе 7.7. Пока же мы будет использовать графики МБХ для решения более общей задачи, а именно для определения Р р^) для различных геометрических форм, охватываемых графиками, и для любых значений продолжительности работы скважины.

На рис. 7.15 I - скважина, отстоящая от границы на 1/16 ширины области дренирования; II - скважина, отстоящая от границы на 1/4 ши­ рины области дренирования.

Как указали Кобб и Доудл (Эо^сИе)8, решение уравнения (7.40) от­ носительно рс (1^) может быть записано в виде

центре области дренирования правильной геометрической формы7. С

разрешения 5РЕ А1МЕ

71

е

ь

4

1§|Г

2

4

О

I X

(' г

5

4

3 ^

2 •:

1 -

Г' С- 4а

ки МБХ для случаев, когда область дренирования имеет

(а)и прямоугольную форму с отношением сторон 2 1 (Ь)

Сразрешения 5РЕ А1МЕ

Рис. 7 .13 . Графики МБХ для случаев, когда область дренирования имеет прямоугольную форму с отношением сторон 4 1 (а) или прямоугольную форму с другим отношением сторон (Ь) С разрешения $РЕ А1МЕ

- безразмерное давление МБХ, определяемое как ордината графика МБХ, соответствующая безразмерному времени (продолжительно­ сти) работы скважины 10А.

Зависимость (7.42) чрезвычайно важна, поскольку она представляет собой решение уравнения (5.20) при постоянном дебите, заменяющее чрезвычайно сложную формулу (7.34) в случае расположения скважи­ ны в центре ограниченной круговой области дренирования. Следует отметить, однако, что об отказе от зависимости (7.34) ввиду ее слож­ ности речи не идет, поскольку она отражена в графиках МБХ, постро­ енных с использованием метода зеркальных изображений. Следует от­ метить также, что уравнение (7.42) применимо не только при круговой геометрии. Оно может быть использовано для различных геометри­ ческих форм и степеней асимметрии, охватываемых графиками МБХ.

При очень малой продолжительности работы скважины 1, когда существует неустановившийся режим фильтрации, левую часть урав­ нения (7.42) можно определить с использованием выражения (7.23). В этом случае уравнение (7.42) сводится к следующей зависимости:

(7.43)

И, наоборот, при очень большой продолжительности работы сква­ жины, когда существует квазиустановившийся режим фильтрации, левая часть уравнения (7.42) может быть определена с использовани­ ем зависимости (7.27). Вэтом случае уравнение (7.42) приобретает вид

Важность зависимостей (7.43) и (7.44) иллюстрируют приведенные на рис. 7.11 графики МБХ для случаев, когда скважина расположена в центре области дренирования правильной формы. При малых значе­ ниях безразмерного времени работы скважины графическая зави­ симость р0(МБХ) от 1оа, построенная в полулогарифмическом масштабе, нелинейна, в то время как при больших 10А все зависимости линейны, как и следует из уравнения (7.44), и имеют угловой коэффициент, рав­ ный единице ( ф 0(МБХ) / с! (1п 1ОА) = 1). Это свойство характерно для всех графиков МБХ (рис. 7.11-15), то есть в каждом случае существует значение 1ОА, зависящее от геометрической формы области дрениро-

вания и степени асимметрии положения скважины относительно ее границы, при котором график становится прямолинейным, указывая на переход к квазиустановившейся фильтрации. Более того, при на­ личии симметрии (рис. 7.11) наблюдается довольно резкий переход от неустановившейся фильтрации к квазиустановившейся при 10А « 0,1, и это подтверждает вывод, сделанный в разделе 7.4 и упражне­ нии 7.4. Что касается геометрических форм и степеней асимметрии, охватываемых остальными графиками МБХ, то для них характерно протяжение выраженной кривой до вполне больших значений 10А, прежде чем произойдет переход к квазиустановившейся фильтрации. Эта группа графиков представляет и неустановившуюся фильтрацию в чистом виде (уравнение 7.43), и поздний период неустановившейся фильтрации. Пытаться различать эти два режима нецелесообразно.

Уравнение (7.44) является весьма интересным, поскольку оно дает представление о том, как изначально были получены коэффициенты формы Дитца. Д. Дитц, чья статья по исследованию скважин9была опу­ бликована через несколько лет после работы Мэтьюза, Бронса и Хейзбрека, записал зависимость (7.44) при = 1 следующим образом:

Значения 1п СА(и, следовательно СА) можно определить как ордина­ ту точки каждой отдельной кривой на графиках МБХ, соответствую­ щую = 1. Эти значения указаны на рис. 6.4. Внекоторых случаях, при высокой степени асимметрии положения скважины, в момент времени 1оа= 1 все еще будет длиться поздний период неустановившейся филь­ трации (см., например, рис. 7.13). В таких случаях для правильного определения коэффициента формы нужно экстраполировать прямо­ линейный участок зависимости р0(МБХ) от 1^ в обратном направлении до значения 1^А= 1. Вэтой книге есть достаточно подтверждений полез­ ности коэффициентов формы Дитца при записи уравнений, описыва­ ющих квазиустановившуюся фильтрацию, для которой определяются эти коэффициенты.

Трудно переоценить важность зависимости (7.42) для определения безразмерного давления при различных граничных условиях и при различной продолжительности работы скважины. Довольно странно, что с 1954 г., когда была опубликована оригинальная статья Мэтьюза, Бронса и Хейзбрека, это уравнение не получило должной оценки и не

находило практического применения. Оно появилось в измененном виде в нескольких статьях и даже в классической монографии Мэтью­ за и Рассела (5РЕ)6 (формула 10.18, стр. 109), но не было представлено в простой форме (формула 7.42 в данной книге), пока о нем не было упомянуто в небольшой статье Кобба и Доудла8 в журнале 1РТ в 1973 г. Эти авторы представили немного измененную зависимость, в кото­ рой правая часть уравнения (7.42) выражена только через 1ОА:

При общем анализе результатов исследования скважин любую по­ следовательность дебит - давление - время можно рассматривать с использованием общего уравнения

п

2 т г к Ь

где р0 (10 - Хв ) = р0 (1^) можно определить по уравнению (7.42) или (7.46) соответственно, для безразмерного времени или 1'0А.

Как будет показано в главе 8, эти же уравнения в несколько из­ мененном виде могут быть использованы при исследовании газовых скважин. По меньшей мере теоретически применение зависимости (7.42) для количественной оценки рс в выражении (7.31) снимает проблему выбора, при каких условиях фильтрации нужно делать эту оценку, так как указанная зависимость применима при любой про­ должительности работы скважины. Даже если 1ОАпревышает макси­ мальное значение на оси абсцисс графика МБХ, все зависимости в этой точке линейны, и поэтому можно легко определить р0 (МБХ) ли­ нейной экстраполяцией. При очень малой или очень большой про­ должительности работы скважины зависимость (7.42) сводится, со­ ответственно, к уравнению (7.23) или (7.27). Вэтом можно убедиться, используя обратным образом тот же прием, что и при выводе урав­ нений (7.43) и (7.44), то есть принимая рс(МБХ) в соотношении (7.42) равным, соответственно, 4л*0Аили 1п (СА*0А).

Относительная легкость, с которой можно определять рЕ) с по­ мощью графиков МБХ, иллюстрируется следующим упражнением, представляющим собой продолжение упражнения 7.2.

Входящий в него параметр р0 можно определить по уравнению (7.46). Взяв данные из упражнения 7,2 (к = 240 х 10'3 мкм2; А = 142000 м2; 5 = 4,5), получаем

2,77 х 10'6 (24,1 х 106 - р„г) = 2тт*0А+ 0,51п V + 8,632 - 0,5 р0(мвн) (10Л) +4,5,

*т)а= 0,(И541.

Для удобства можно привести это уравнение к виду

имеет одинаковое значение для всех трех геометрических форм, пока­ занных на рис. 7.16. Значения р^ в уравнении (7.47) можно определить, считывая значения р0(МБХ) (1Ш) на соответствующих графиках МБХ (рис. 7.11 - 15). Значения 0,5 р0(МБХ) (1ОА) и р^, соответствующие пер­ вым 50 часам работы скважины в процессе исследования, для каждой из трех рассмотренных геометрических форм, приведены в табл. 7.4.

На рис. 7.17 приведены графические зависимости Ар^р то есть раз­ ности между рассчитанным и измеренным значениями забойного давления, от продолжительности работы скважины. Эти графики можно считать подтверждением правильности геологической интер­ претации (рис. 7.16 (Ъ)). Для двух других прямоугольных геометри­ ческих форм поздний период неустановившейся фильтрации не был смоделирован корректно. Для сравнения был построен также график для простого случая, обычно рассматриваемого в литературе, - ког­ да скважина расположена в центре круговой области дренирования. Как можно видеть, значение Др^ после 50 часов, когда существует квазиустановившийся режим фильтрации, составляет для указанно­ го случая 303,4 кПа (44 фунт / дюйм2).

Для упрощения определения безразмерного давления, выполняв­ шегося в упражнении 7.5, графики МБХ, характеризующие зависи-