книги / Математика без формул

Посмотрим еще раз на графики скорости, по которым готовились к ралли знакомые нам водитель и штурман.

Расчет показал, что пути, пройденные в согласии с тем и другим графиком, одинаковы

Можно ли было заранее по какому-то внешнему при­ знаку предсказать столь замечательное совпадение?

Такой признак на рисунках отмечен штриховкой. Это площадь под той и другой кривой, точнее, площадь той и другой заштрихованной фигуры, называемой криволи­ нейной трапецией.

Чтобы убедиться в справедливости признака, посмот­ рим еще раз, как мы строили график пути по графику скорости. Возьмем один из первых приближенных вари­ антов графика — ломаную.

Каждое из ее звеньев мыслилось нами как график некоторого равномерного движения. Путь, пройденный в таком движении — подъем звена, — равен произведе­ нию времени на скорость.

От маленького звенышка на графике пути перейдем взглядом к соответствующему интервалу времени на графике скорости. Только что вычисленное произведе­ ние приобретает здесь смысл площади — площади пря­ моугольного столбика, имеющего этот интервал време­ ни основанием, а отмеченную горизонтальной ступень­ кой среднюю скорость — высотой.

Звено за звеном — столбик к столбику. Последова­ тельное их сложение дает величину, с одной стороны, почти равную пройденному пути, с другой — почти рав­ ную площади под кривой скорости. Говорим «почти»,

211

потому что замена графика скорости лесенкой горизон­ тальных ступенек чревата погрешностями.

В результате предельного перехода это «почти» пропадает, и ос­ тается точный вывод: площадь под кривой скорости на некотором отрезке времени чис­ ленно равна пути, прой­ денному за это время в таком режиме скорости

Заметим: если ско­ рость отрицательна, от­ рицателен и путь, по­ скольку он пройден вспять. Иными словами, если кривая скорости проходит под осью абс­ цисс, очерченная ею площадь получается от­ рицательной. По этому поводу говорят, что опи­ санным способом пло­ щадь определяется в ал­ гебраическом смысле.

И вот что еще стоило бы заметить напоследок. Поня­ тие площади кажется весьма простым и не нуждающим­ ся в комментариях. А между тем если разобраться, мы умеем определять площадь лишь для прямоугольников (как произведение сторон) да для тех простых фигур, которые удается перекроить в прямоугольник, например для треугольников.

Читатель, вероятно, захрчет добавить сюда и круг, площадь которого выражается общеизвестной форму­ лой nR2. Но мы воздержимся от добавки: ведь эта формула получается отнюдь не перекройкой круга в прямоугольник (иначе квадратура круга не была бы проблемой), а с помощью процедуры, весьма похожей на описанную выше: сначала круг разрезается на секто­ ра, затем сектора заменяются треугольниками, тре­ угольники неограниченно утоньшаются... Суть приема та

212

же: криволинейная фигура заменяется мозаикой из ку­ сочков с прямыми краями, площади которых определя­ ются по классической формуле, затем в процессе пре­ дельного перехода мозаика дробится так, чтобы пло­ щадь отдельного кусочка стремилась к нулю.

Так через предельный переход классическая формула прямоугольника обобщается на криволинейные фигуры.

•

Настало время назвать своими именами вещи, о ко­ торых только что шла речь. Тем более что имена эти громкие, широко распространенные, пользующиеся за­ служенным уважением и почетом.

Процедура, позволяющая находить мгновенную ско­ рость движения, используя зависимость пути от време­ ни, называется дифференцированием, а число, которое получается в результате дифференцирования, — произ­ водной. Итак, мгновенная скорость тела в данный мо­ мент есть производная пути по времени в данный мо­ мент.

Каждому моменту времени соответствует свое значе­ ние производной. Определенная таким образом функ­ ция называется производной по отношению к исходной, описывающей зависимость пути от времени.

Обратная процедура, позволяющая определять прой­ денный путь, используя зависимость скорости от вре­ мени, называется интегрированием, а число, которое получается в результате интегрирования, — определен­ ным интегралом. Итак, путь пройденный телом от одного заданного момента времени до другого, есть опреде­ ленный интеграл от скорости по времени, взятый от начального момента (он именуется нижним пределом интегрирования) до конечного (верхнего предела интег­ рирования).

За верхний предел интегрирования можно принимать различные моменты времени, и каждому будет соответ­ ствовать свое значение пройденного пути, свое значе­ ние определенного интеграла. Заданная таким образом функция называется первообразной по отношению к

213

исходной, описывающей зависимость скорости от вор мени.

...«Вы знаете, Зося, — убеждал Остап Бендер Зоею Синицкую, — на каждого человека, даже партийного, давит атмосферный столб весом 214 кило».

Остап с его незнанием точных наук слишком занизил цифру — примерно в четыре раза. Названная им вели­ чина была бы справедлива для весьма большой высоты над уровнем моря. Ведь атмосферное давление спадает

сподъемом вверх, притом со все убывающей скорос­ тью. Любопытно, что этот спад Связан с другим харак­ терным признаком больших высот, разреженностью воздуха, и связан самым непосредственным образом: скорость, с которой на той или иной высоте атмосфер­ ное давление убывает по мере подъема, в точности равна удельному весу воздуха на этой высоте. И если бы вам захотелось определить удельный вес атмосфер­ ного воздуха, зная зависимость давления ют высоты, к вашим услугам операция дифференцирования.

Кдифференцированию прибегают всякий раз, когда встает вопрос о скорости изменения какой-либо функ­ ции по мере изменения аргумента, когда эта скорость оказывается непостоянной, а определять ее требуется точно для любого значения аргумента.

Заряд батареи, питающий электрическую цепь, убы­ вает со временем. Скорость убывание есть ток. Он может оказаться различным в разные моменты и потому должен определяться как производная заряда по вре­ мени.

Тепло, содержащееся в нагреваемом теле, нарастает

сростом температуры. Интенсивность нарастания есть теплоемкость — своя для каждой температуры. И здесь не обойдешься без дифференцирования — теплоем­ кость .есть производная количества тепла ло температу­ ре.

Не забудем, что дифференцирование служит еще и средством для проведения касательных к кривой. Угло­ вой коэффициент касательной — это производная функ­

214

ции, графиком которой служит кривая; производная берется при том значении аргумента, который соответ­ ствует точке касания.

Подобно тому как дифференцирование оказывается полезным не только при определении мгновенной ско­ рости движения, так и интегрирование применяется не только тогда, когда требуется рассчитывать пройденный путь по времени и скорости.

Операция, обратная дифференцированию, интегри­ рование, позволяет определять, как зависит от времени заряд, если в каждый момент известно значение тока, как растет с температурой количество тепла в теле, если для каждой температуры известна его теплоемкость.

Короче говоря, интегрирование позволяет рассчиты­ вать суммарный итог непостоянного изменения.

Не забудем, что интегрирование служит еще и сред­ ством для вычисления площадей. Площадь под кри­ вой — это определенный интеграл от функции, графи­ ком которой служит кривая, взятый в пределах, между которыми задана функция.

Несколькими страницами ранее, когда мы развеши­ вали ярлычки в витрине математических операций и называли представленные в ней вещи своими именами, мы сделали вынужденный перерыв. И по-видимому, кое-кто из читателей это почувствовал.

В самом деле, зачем говорить «определенный интег­ рал», если не существовал бы термин «неопределенный интеграл?»

Если такой вопрос возник у читателя, наш ответ не заставит себя ждать.

Возьмем два графика, на одном из которых как функ­ ция времени изображена скорость движения некоторого тела, а на другом — путь, пройденный телом.

215

Мы уже знаем, как во всеоружии терминологии опи­ сать родственные отношения между обеими функциями По отношению к скорости путь есть первообразная по времени. По отношению к пути скорость есть производ­ ная по времени. Угловой коэффициент касательной, построенной в любой точке графика пути, равен йысоте кривой скорости над той же точкой оси абсцисс.

ным интегралом.

Это кажущееся излишество — не роскошь, а отраже­ ние природы вещей.

Когда вы отправляетесь в дальний путь на автомоби­ ле, на счетчике километров может стоять любая строчка цифр. От этого, разумеется, не зависит пройденный путь. Чтобы определить его, нужно из показаний счет­ чика в момент финиша вычесть то, что показывал он в момент старта.

Когда вы направляетесь в магазин за сметаной, вы можете взять банку любого веса. От этого не зависит

216

стоимость покупки. Вес отпущенной вам сметаны про­ давец определяет как разность весов банки наполнен­ ной и банки порожней.

В физике подобные примеры встречаются на каждом шагу. Взять хотя бы выражение «разность потенциалов». Ток в электрической цепи определяется именно ею, но отнюдь не абсолютным значением потенциала на том и/1и другом конце цепи. Сходную особенность можно подметить, когда речь идет об энергии или энтропии. Говорят, например, что в термодинамически замкнутой системе энтропия при любом реальном процессе либо возрастает, либо (если процесс обратимый) остается неизменной. Здесь опять-таки нет речи об абсолютном значении энтропии, а говорится лишь о ее приращениях.

Попытавшись разобраться в причинах таких особен­ ностей, вы обнаружите, что все упомянутые физические величины определяются с помощью интегрирования. Начало отсчета каждой из них можно «сдвигать» по произволу.

Все будет происходить при этом точно так же, как при расчетах пути по скорости. Путь — первообразная для скорости. Его можно отсчитывать от любой начальной точки. Но приращение пути от одного мрмента времени к другому при этом всегда будет оставаться равным одному и тому же числу — определенному интегралу от скорости, взятому от одного из указанных моментов времени до другого.

И это общий принцип: определенный интеграл, взя­ тый-от некоторой функции в указанных пределах, есть разность между значениями первообразной в указанных предельных точках, на какой высоте над осью абсцисс ни пролегал бы график первообразной.

Последнее замечание содержит в себе важный ре­ цепт для вычисления определенных интегралов. Он носит название формулы Ньютона — Лейбница.

Формула Ньютона — Лейбница.. Люди, чьи имена пишутся через черточку в названии открытия, невольно кажутся сотрудниками. Однако с Ньютоном и Лейбницем

217

дело обстоит как раз наоборот. В свое время между ними шли яростные споры о приоритете в создании дифференциального и интегрального исчисления.

Сейчас их конфликту не придают большого значения: считается, что к своим открытиям они пришли незави­ симо друг от друга и честь первооткрывателей делят поровну. Оттого и пишутся через примирительную чер­ точку их фамилии в названии знаменитой формулы.

Впрочем* в чем Лейбницу повезло больше, так это в системе обозначений. Здесь время решительно встало на его сторону. Кто помнит сейчас о прямоугольной рамке вокруг символа функции, с помощью которой Ньютон предлагал обозначать интеграл? А точка над

218

символом функции, у Ньютона обозначавшая производ­ ную, ныне применяется лишь в механике — видимо, из уважения к тому, кто впервые сформулировал ее зако­ ны.

Обозначения Лейбница между тем завоевали всеоб­ щее признание. Вот они на рисунке выше

•

Общих слов о дифференцировании и интегрировании было сказано довольно. Настало время'примеров.

Что будет, если продифференцировать логарифм? Что станет с косинусом после интегрирования?

На эти вопросы отвечают графики. Их оси не разме­ чены масштабными засечками — это не так уж важно. Важно лишь отметить, что аргумент тригонометрических функций (синуса и косинуса) в приведенных соотноше­ ниях выражается в радианной мере.

Тому, кто желает поглубже вникнуть в закономерности приведенных соотношений, мы предлагаем повнима­ тельнее разобрать какую-либо строчку этих таблиц — скажем, последнюю.

Производная синуса есть косинус, гласит пара графи­ ков, соединенных равенством. Выражаясь графическим языком, высота косинусоиды в каждой точке равна уг­ ловому коэффициенту касательной к синусоиде в той же точке.

По мере отхода от начала координат косинусоида идет на убыль, и в соответствии с этим угловой коэф­ фициент касательной, построенной к синусоиде, стано­ вится все мрньше. В той точке, где косинус обратился в нуль, касательная к синусоиде горизонтальна, ее угло­ вой коэффициент тоже нуль. В дальнейших точках ее угловой коэффициент отрицателен, и в соответствии с этим косинусоида ушла под ось абсцисс.

Поскольку косинус по отношению к синусу есть про­ изводная, синус по отношению- к косинусу служит пер­ вообразной, Геометрический образ первообразной — это площадь. По последней строчке второго столбика равенств проследим за тем, как изменяется площадь под графиком косинуса, если ее вычислять интегриро-

219