книги / Математика без формул

древним грекам и, стало быть, несуществующим для них.

Не имея, с их точки зрения, общей меры, эти два отрезка тем не менее существовали для греков как геометрические объекты. И это подсказывало выход из затруднительного положения: заменить исследование чисел исследованием фигур.

Основой такой замены, как догадывается читатель, послужил изоморфизм между множеством положитель­ ных вещественных чисел и множеством отрезков. Отно­ шение равенства чисел он переводит в отношение кон­ груэнтности отрезков (это мудреное слово означает попросту совпадение при наложении), числовое отно­ шение «меньше» — в линейное отношение «короче», операция сложения чисел заменяется при этом состав­ лением отрезков, операция умножения — построением прямоугольников и т.д.

Так и возникла «геометрическая алгебра», излагаемая во второй книге «Начал». Чтобы придать ей общеприня­ тый вид, требуется лишь перевести ее предложения с геометрического языка на буквенный. (Кстати, многие термины «геометрической» алгебры внедрились в «бук­ венную» в непереведенном виде: мы говорим о квадрате числа, о среднем геометрическом двух чисел.)

•

Вспомните, читатель, как на одной из предыдущих страниц мы показали вам схему телефона. Мы иллю­ стрировали ею важность понятия отображения. Мы го­ ворили, что реальный прибор удобно изучать по его схеме, где каждой детали поставлен в соответствие определенный значок.

Но ведь телефон — это не просто скопление деталей: трубка, диск, звонок... Лишь соединенные системой проводов они образуют телефон.

Так и схема телефона немыслима без соединительных линий, показывающих, как связаны между собой отдель­ ные детали этого устройства.

Так и отображение одного какого-либо множества в другое особенно ценно тогда, когда оно так или иначе

111

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ,

РЯДЫ

Мы в тире. С огневого рубежа стрелки посылают пулю за пулей — каждый в свою мишень.

Следя за тем, как мишени покрываются пробоинами, нетрудно отличить меткого стрелка от неопытного. Мас­ тера заметишь сразу, даже если ему досталась непристрелянная винтовка. Пусть несколько первых выстре­ лов будут неудачными. Начиная с некоторой, пробоины уже не выйдут за границы белого круга мишени. Следите дальше, и вы дождетесь выстрела, после которого про­ боины не выйдут и за границы яблочка. Вот уже все без исключения они ложатся внутрь шестерки... внутрь се­ мерки... восьмерки... девятки... (рис. слева).

А как успехи у соседнего стрелка? Там все наоборот. Сколько ни наблюдай, он то и дело посылает пули в молоко (рис. справа). Ясно — оружие в неопытных руках.

Если бы соревнования по стрельбе комментировал математик, то он, пожалуй, нашел бы здесь удачные образы для разговора о последовательностях, преде­ лах, сходимости.

Каждую пробоину он, разумеется, мыслил бы не как рваное пятно, а как точку. Сужающиеся круги мишени в его представлении не закончились бы на десятке: изучая

И З

ход соревнований, он располагал бы внутри нее еще меньшие, неограниченно сужающиеся круги. Математик повел бы строгий счет выстрелам, и каждую пробоину отмечал бы своим номером. Перенумерованные эле­ менты множества пробоин математик назвал бы члена­ ми последовательности. Впрочем, этот термин матема­ тик употребил бы лишь после того, как убедился, что соревнования будут продолжаться неограниченно долго. Последовательностью, подчеркнул бы матема­ тик, называется бесконечное множество перенумеро­ ванных элементов. Последовательность считается за­ данной, если известен закон ее образования, то есть правило, согласно которому по любому названному но­ меру можно указать член последовательности с таким номером.

Удовлетворив таким образом профессиональную тягу

кстрогости, математик приступил бы к наблюдениям за ходом соревнований.

Наблюдая за опытным стрелком, математик отметил бы: какой малый круг ни возьми, начиная с некоторого выстрела, все последующие пробоины ложатся внутрь этого круга. Это значит, сказал бы математик, что пос­ ледовательность пробоин стремится, или сходится, к центру мишени, что центр мишени есть предел после­ довательности пробоин.

•Наблюдая за неопытным стрелком, математик очер­ тил бы вокруг центра мишени круг некоторого радиуса, такой, что какой номер ни загадай, найдется пробоина

сбольшим номером, лежащая за пределами этого ро­ кового круга. Это значит, сказал бы математик, что последовательность пробоин не стремится, не сходится

кцентру круга.

•

Снова тир.

Мишени сняты со щитов и положены на стол. Но положены обратной стороною вверх. Каждая пробоина аккуратно отмечена своим номером. Можно ли теперь отличить мишень опытного стрелка от мишени неопыт­ ного? Можно ли определить, сходится ли последова­

114

тельность пробоин к некоторому пределу или, напротив, не сходится ни к какому, иначе говоря, расходится? Существует ли безошибочный критерий сходимости?

Да, существует. Он называется критерием Коши, по имени математика, указавшего его впервые. И это дей­ ствительно безошибочный критерий. Он выполняется, если последовательность сходится. Он не выполняется, если последовательность расходится.

Критерий Коши прост. Загадайте любое расстояние. Теперь постарайтесь подыскать такой номер, чтобы рас­ стояние между любыми двумя пробоинами с большими номерами^ было бы меньше загаданного. Если вам это будет удаваться всегда, какое малое расстояние вы ни загадаете, это и означает, что последовательность удов­ летворяет критерию Коши. А раз удовлетворяет, то, стало быть, сходится к некоторому пределу.

Но каков же он, этот предел? Спрашивать так— значит требовать от критерия Коши больше, чем он может дать. Он безошибочно подтверждает существование преде­ ла — и только. Что это за предел, надо еще поискать. Однако уверенность, что искомое существует, часто облегчает поиск.

Заметим, что последовательность, удовлетворяющая критерию Коши, называется фундаментальной.

А можно ли с помощью замечательного критерия опознать расходящуюся последовательность?

Да, можно.

Внимательный читатель наверняка уже заметил сход­ ство между формулировкой критерия Коши и определе­

115

нием предела. По сходству, по аналогии с отрицанием сходимости можно построить предписание, которое по­ зволило бы безошибочно уличить в расходимости рас­ ходящуюся последовательность.

Здесь тоже нужно подыскать некоторое контрольное расстояние, такое, что какой номер ни загадывай, всег­ да найдутся две пробоины с большими номерами, уда­ ленные друг от друга на расстояние больше контроль­ ного. Такая последовательность не фундаментальна, стало быть, она не сходится ни к какому пределу, иначе говоря, расходится.

Заряд электрона, постоянная Планка, число Авогадро... Есть несколько физических величин, за которыми наука закрепила звание мировых констант. Это коэффи­ циенты, входящие в формулы важнейших физических законов.

Постоянная Планка, например, служит коэффициен­ том пропорциональности между энергией кванта излу­ чения и частотой соответствующей ему волны. Число Авогадро необходимо, чтобы количественно выразить связь между температурой, давлением и объемом иде­ ального газа.

Чтобы пользоваться физическими законами, чтобы рассчитывать описываемые ими явления, нужно поточ­ нее знать мировые константы. А определить их можно

t1 6

Попутно выяснилось, что Корню, правильно поставив вопрос об ошибках измерений, переоценил возможнос­ ти использованного им метода и в своем результате указал погрешность, примерно в 1,5 раза меньшую ис­ тиной.

Перефразируя эту физическую историю на математи­ ческий лад, можно сказать, что для любой малой по­ грешности находился исследователь, начиная с которо­ го все последующие результаты отклонялись от истин­ ного значения скорости света не более чем на эту погрешность.

Исследования продолжаются, растет точность изме­ рений. Последовательность результатов стремится, сходится к истинной величине скорости света.

•

Как по-честному разделить конфету между приятеля- ми-мальчишками? Конечно, как в песне: тебе полови­ на — и мне половина.

И обладатель конфеты делит ее ровно на две части, чтобы поделиться с товарищем.* Полученную долю тот тоже делит ровно пополам, чтобы поделиться со своим приятелем. Тот — со своим. Тот — со своим... Все Почестному: тебе половина — и мне половина.

Без кропотливых измерений и расчетов таким спосо­ бом можно разделить конфету насколько угодно частей. Нехорошо только, что доли получаются неравные. Вели­ чина очередной порции при таком делении неуклонно уменьшается до нуля: полконфеты, четверть конфеты, восьмая часть, шестнадцатая... И какую величину ни загадай, начиная с некоторой порции, все последующие будут меньше загаданной величины.

Одна восьмая, одна шестнадцатая, одна тридцать вторая, одна шестьдесят четвертая... От долей конфеты мы незаметно перешли к числам. Это нам на руку. Последовательное деление конфеты пополам неизбежнб поставило бы нас когда-нибудь (и очейь даже скоро, где-то на сороковом шагу) перед проблемой расщепле­ ния атомного ядра. А число можно делить без конца, благо принцип известен: начиная с первого числа, рав-

118

наго половине, каждое последующее получается из предыдущего делением на два. Сказанное дает нам право назвать образующуюся при этом цепочку чисел последовательностью.

Ценитель наглядности, вероятно, посетует, что С переходом от конфет к абстрактным числам наши по­ строения перестали быть осязаемыми. Что ж, их легко сделать зримыми. Для этого надо взять числовую пря­ мую и Отложить на ней члены нашей последовательнос­

И тогда воочию станет ясно, что, подобно своему кондитерскому прообразу,' наша последовательность сходится к нулю, имеет нуль своим пределом.

Любитель строгости, пожалуй, потребует выразить этот факт в математической формулировке. Мы сделаем это, не порывая с графическим образом нашей после­ довательности.

Ее стремление к нулю-означает (следите за числовой прямой!), что для любой сколь угодно узкой окрестности нуля (ее полуширина обозначена традиционной в таких случаях греческой буквой е— «эпсилон») найдется такой номер, что все члены последовательности с большими номерами будут находиться в этой окрестности.

Нетрудно сообразить, что там всегда будет оказы­ ваться бесконечное множество членов последователь­ ности, как бы ни была узка окрестность.

Аналогично определяется стремление всякой сходя­ щейся последовательности к своему пределу. Лишь бы в любой его окрестности всегда лежало бесконечное множество членов последовательности, а вне окрест­ ности — конечное или вовсе нисколько. В каком порядке располагаются члены, очутившиеся внутри окрестности, существенной роли не играет. Все они могут лежать по одну сторону от предельной точки (в нашем примере — от нуля), могут не совпадать с нею (как в нашем приме­

119

ре). Могут и совпадать. Могут лежать и справа и слева от предельной точки. Иногда какой-то член последова­ тельности может оказаться дальше от предельной точки, нежели предыдущий. Определение сходимости остав­ ляет без внимания эти детали. Ни одна из них сама по себе не угрожает сходимости и недостаточна для того, чтобы обвинять последовательность в расходимости.

По подозрению в том, что последовательность не сходится к какой-то точке, лучше всего обращаться к строгой формулировке этого факта. Вот она: последо­ вательность не сходится к данной точке, если сущест­ вует некоторая ее окрестность, такая, что для любого номера найдется член последовательности с большим номером, находящийся вне этой окрестности.

Существует ли предел спортивных возможностей че­ ловека?

Оспаривать их ограниченность не станет никто. Но вместе с тем мы знаем, что вечных рекордов не бывает. Еще недавно мечтой спринтеров было пробежать сто метров за десять секунд — и вот заветный рубеж уже преодолен. И в то же время нельзя всерьез утверждать, что какой-нибудь будущий рекордсмен пробежит сто­ метровку за время, меньшее двух или одной секунды...

Разобраться в этом запутанном вопросе на первый взгляд нелегко. А между тем, ставя его, мы употребили несколько слов, которые помогут нам внести в каверз­ ную проблему поистине математическую ясность.

Это прежде всего слово «предел». Надежным основа­ нием наших дальнейших рассуждений послужит теория последовательностей. Мы будем рассматривать ре­ кордные результаты в беге на сто метров как члены некоторой последовательности.

Это, во-вторых, слово «меньше». Члены нашей после­ довательности — числа, их можно сравнивать по вели­ чине.

Это, в-третьих, слово «ограниченность». Утверждая, что никто не сможет пробежать стометровку быстрее, чем, скажем, за две секунды, мы заявили, что члены

120