книги / Математика без формул

шек всего пятьдесят граммов. Снова песок сыплется из пакета в ящик...

Порции песка, которые продавец досыпает и отсыпа­ ет перед очередным взвешиванием, образуют последо­ вательность. Члены этой последовательности как поло­ жительны (когда продавец добавляет песок), так и отри­ цательны (когда отсыпает). Своими действиями прода­ вец суммирует члены этой последовательности, и пото­ му они заслуживают звания членов ряда. А поскольку постоянством знака они не отличаются, ряд называется знакопеременным. Частичные суммы этого ряда нахо­ дятся в пакете. Мало-помалу они стремятся к пределу, названному покупателем..

Всегда ли существует такой предел? Ясно, что нет. Смотрите, как продавец, свесив песок, принялся от­ вешивать пряники. Стрелка весов зашла за нужную отметку. Один пряник долой. Стрелка весов останови­ лась, не доходя до нужной отметки. Пряник добавлен.

Снова перебор. Пряник снова снят. Опять недобор...

Взвешивание зашло в тупик. Пряник добавить, пряник убавить... Поскольку члены ряда одинаковы по абсолют­ ной величине, частичные суммы колеблются от одного постоянного значения к другому и ни к какому пределу не стремятся.

Ряд не сойдется никогда, если не принять специаль­ ных мер — не начать уменьшать его члены, не ломать пряники на части.

Можно ломать, например, так: добавить половину пряника, убавить одну треть, прибавить четверть, отнять одну пятую...

Вы думаете, что произойдет та же история, что с мальчиком-великаном? Нет, такой ряд будет сходиться. На этот счет есть даже особая теорема. Но прежде чем ее формулировать, отметим две важные особенности нашего ряда.

Во-первых, обратите внимание, как меняются знаки его членов: плюс — минус — плюс — минус... Такие ряды называются знакочередующимися.

Во-вторых, заметьте, что по абсолютной величине члены ряда монотонно убывают: половина, треть, чет­ верть...

131

После сказанного можно сформулировать теорему, подходящую к случаю: знакочередующийся ряд, члены которого монотонно убывают по абсолютной величине, всегда сходится.

Конечно, не всякий знакопеременный ряд обладает теми особенностями, которыми отличается описанное нами взвешивание пряников. Сходимость знакопере­ менных рядов — вопрос посложнее, нежели сходимость знакопостоянных.

•

Один на три делится?

Первоклассник ответит на этот вопрос растерянным «нет». Десятиклассник с важностью заявит, что делится и частное представляет бесконечную десятичную дробь — ноль целых и три в периоде. Если же с этим вопросом вы обратитесь к человеку, который привык смотреть на числа не с теоретической, а с практической стороны, то он, пожалуй, поинтересуется: с какой точ­ ностью нужен ответ? Если достаточно двух знаков после запятой, ответом будет 0,33. Если нужны три знака — 0,333. Четыре — 0,3333. И так далее.

Видно, что с увеличением точности на один знак к ответу приписывается очередная тройка. Эти приписки в сущности представляют собой слагаемые ряда:

0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ...

Кстати, какую бесконечную периодическую десятич­ ную дробь ни взять — любая из них будет представлять­ ся отношением двух целых чисел, числом рациональ­ ным, как называют такие отношения математики

Сходится ли ряд? Приглядитесь к его членам, и вы признаете в них бесконечно убывающую геометричес­ кую прогрессию. А она принадлежит к категории сходя­ щихся числовых рядов.

Но даже и без этого замечания поставленные вопросы имеют чисто риторический (а точнее, учебно-методи­ ческий) характер. Ибо хорошо известно, что результат деления единицы на три есть одна треть: V3.

132

К рациональным числам относятся и конечные деся­ тичные дроби. Назовите любую из них, и вы тем самым уже представите ее в виде отношения целых чисел: три десятых — это 3/ю, двадцать пять сотых — это 25/юо-

Ну а как быть с бесконечными непериодическими десятичными дробями? Такой дробью выражается, на­ пример, отношение диагонали квадрата к его стороне. Еще Пифагору было известно, что выразить его рацио­ нальным числом, отношением двух целых чисел невоз­ можно.

Это открытие, сильно огорчившее Пифагора, дало первый в истории математики пример иррационального числа, то есть числа, не выразимого отношением двух целых. О том, что всякое иррациональное число можно представить бесконечной непериодической десятичной дробью, Пифагор не знал.

Впрочем, тому же Пифагору было известно, что гипо­ тенуза прямоугольного треугольника равна корню квад­ ратному из суммы квадратов его катетов. На два равно­ бедренных прямоугольных треугольника разрезается квадрат своей диагональю, и для каждого она служит гипотенузой. И если принять сторону квадрата за еди­ ницу, длина гипотенузы выразится квадратным корнем из двойки. Извлечь его можно с точностью до любого знака после запятой — соответствующий метод несло­ жен и излагается даже в школьном курсе алгебры.

Каждый новый знак после запятой, который возникает при все более точном извлечении корня, можно рас­ сматривать как очередной член ряда, а все удлиняющие­ ся десятичные дроби — как частичные суммы этого ряда. Несложными рассуждениями можно доказать, что вся­ кий такой ряд, образованный добавлением все новых знаков после запятой, сходится, что последователь­ ность его частичных сумм всегда имеет предел (во-пер­ вых, эта последовательность возрастает, во-вторых, она ограничена сверху — например, числом, которое полу­ чается, если заменить хотя бы первую из уже выписан­ ных цифр большей).

Но коль скоро предел существует, почему бы не на­ звать его искомым корнем квадратным из двух, тем числом, которое выражает отношение диагонали квад­ рата к его стороне? Пусть мы не можем выразить его

133

отношением двух целых чисел. Зато мы можем назвать его с любой Требуемой точностью. Почему бы подобный процесс последовательных приближений не счесть оп­ ределением любого иррационального числа?

Математики так и поступили. Считается, что ирраци­ ональное число определено, если его с любой точнос­ тью можно приблизить последовательностью конечных десятичных дробей.

Трисекция угла, удвоение куба, квадратура круга — вот три каверзные задачи, выдвинутые античными ма­ тематиками и впоследствии ставшие синонимом нераз­ решимости.

Но так ли уж они неразрешимы? Вот, скажем, квадра­ тура круга: мы выполним ее сейчас с помощью довольно несложного приема.

Итак, пусть дан круг радиуса R. Требуется, пользуясь лишь циркулем и линейкой, построить равновеликий ему квадрат или прямоугольник.

Площадь круга радиуса R дается выражением nR2. Если бы нам удалось построить прямоугольник со сто­ ронами R и nR, квадратура круга была бы выполнена.

Но вот загвоздка — как построить отрезок длиной nR? Как увеличить в п раз данный нам условиями задачи радиус круга?

Если бы число л было рациональным, если бы выра­ жалось отношением двух целых чисел, то все было бы просто. Радиус круга мы увеличили бы во столько раз, каков числитель, а затем уменьшили бы результат во

134

столько раз, каков знаменатель, — и получили бы иско­ мое. Школьная геометрия знает, как увеличить или уменьшить отрезок в любое число раз.

Увы! Число л иррационально...

И тут на помощь приходит числовой ряд, похожий на тот, с которым мы познакомились за взвешиванием пряников.

Воспримем эту строчку чисел как руководство к дей­ ствию. Из отрезка, равного радиусу нашего круга, вы­ чтем его третью часть, к результату прибавим пятую, из полученного вычтем седьмую и так далее. Работы много, но рано или поздно мы с любой заранее выбранной точностью построим отрезок длиной V4nR. Увеличим его в 4 раза, затем построим на нем как на основании прямоугольник с высотой R — его площадь и будет равна площади нашего круга.

Квадратура круга выполнена!

- п Я

4

3

Я

Так что же, проблема, о которой так долго говорили математики, все-таки разрешима, и притом так просто?

Сознаемся, мы допустили небольшой подлог. Класси­ ческая формулировка задачи о квадратуре круга подра­ зумевает, что задача должна быть решена с помощью циркуля и линейки за конечное число операций, и при­ том точно. Наш же способ приближенный. Но он позво­ ляет приблизиться к поставленной цели с любой зара­

135

ФУНКЦИИ

Почему не бывает животных какой угодно величины? Почему, например, нет слонов в три раза большего роста, чем существуют, но тех же пропорций?

Не правда ли, любопытными вопросами задавались персонажи знаменитого трактата Галилео Галилея «Бе­ седы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки».

Ответ, к которому пришли собеседники, таков: стань слон в три раза больше, объем и вес его тогда увеличи­ лись бы в двадцать семь раз, как куб размера, а площадь сечения костей и, следовательно, их прочность— только в девять раз, как квадрат размера. Прочности костей уже не хватило бы, чтобы вы­ держать непомерно увели­ чившийся вес. Такой слон был бы раздавлен собст­ венной тяжестью.

Р ассуж дение вполне четкое и ясное. Что же при­ дало ему такую нагляд­ ность и убедительность? То, что в основу вывода по­ ложены две строгие мате-- матические зависимости. Первая устанавливает со­ ответствие между разме­ рами подобных тел и их объемами: объем изменя­ ется, как куб размера (ска-.

жем, если ребро куба удлинилось вдвое, то его объем — проверьте! — увеличился в восемь раз: 23 = 8). Вторая связывает размеры подобных фигур и их площади: пло­ щадь изменяется, как квадрат размера (если вдвое увеличивается сторона квадрата, площадь его возрас­ тает вчетверо: 22 = 4).

137

Не знай этого собеседники, сколько пришлось бы доискиваться до истины?

Этим выразительным примером мы хотим начать обе­ щанный в одной из предыдущих глав обстоятельный разговор о числовых функциях числового аргумента.

•

Функции, о которых шла речь до сих пор, как правило, описывались словами. Словесное описание — один из способов задания функции, и притом не лучший.

Можно задавать функцию табличным способом. Вы­ писать в ряд или в столбик несколько значений аргумен­ та, а ниже или рядом поместить соответствующие зна­ чения функции; Так составляют таблицы логарифмов и синусов. Шкалы логарифмической линейки, располо­ женные одна под другой, тоже представляют собой разновидность таблицы.

Логарифмами и синусами мы еще успеем заняться. За первым примером табличного задания функции об­ ратимся к «Энциклопедии домашнего хозяйства». От­ кроем ее на той странице, где указаны максимальные, длительно допустимые токи для проводов в зависимос­ ти от сечения.

По этим данным можно построить график. Пусть зна­ чения аргумента, приведенные в верхней строчке, по­ служат абсциссами, а значение функции, приведенные в нижней, — ординатами тех точек, которые мы станем наносить на координатную плоскость.

Точки соединим непрерывной плавной кривой. Гра­ фический способ делает информацию о функции зри­ мой и наглядной. Выразительная картинка вмиг расска­ жет о характерных особенностях и поведении функции.

138

Если ваша цель — смонтировать проводку в своей квартире, то вам достаточно для работы этого графика или даже одной таблицы. Ведь провода, поступающие в продажу, согласно ГОСТу имеют лишь определенные стандартные сечения.

Но если вы интересуе­ тесь сущестром дела, при- g- чинами тех ограничений | для тока, которые обуслов11- лены сечением применявмых проводов, то вы на­ верняка захотите понять: каковы физические, зако- 1 ны, которые определяют функциональную зависи­ мость, выраженную табли­ цей и отраженную графи­ ком?

Существо дела состоит здесь в том, что провода разогреваются, когда по ним течет ток. Нагрев прямо пропорционален квадрату тока и обратно пропорциона­ лен сечению провода. Предельно допустимый нагрев и определяет критическое отношение квадрата тока к се­ чению провода.

Увеличив ток в цепи, скажем, в два раза, мы должны в четыре раза увеличить сечение проводов во избежа­ ние их перегрева. Увеличив ток в три раза — в девять раз увеличить сечение проводов.

Так мы приходим к формульному заданию интересую­ щей нас функции — ток изменяется как корень квадрат­ ный из сечения проводов: / = AVs.

Коэффициент пропорциональ- у ности А в этой формуле равен 16,3, если ток / измеряется в ам­ перах, а сечение жилы s — в 2 квадратных миллиметрах.

Вместо таблицы в «Энцикло- ) педии домашнего хозяйства» можно было бы поместить лишь эту короткую формулу: она, как о легко убедиться, неплохо соот­ ветствует табличным данным, а

139

незначительные расхождения можно устранить ценой некоторого ее усложнения.

Мы понимаем, что домашний мастер вряд ли принял бы такую замену. Таблица дает готовые рекомендации на все случаи житейской практики, а формула еще требует вычислений. Да к тому же в ней нет той нагляд­ ности, которая присуща графику. А особая точность цифр домашнему мастеру не нужна.

Но математик в поисках сути явлений для своей рабо­ ты предпочтет, конечно, формулы. В формульном пред­ ставлении функции легче поддаются исследованию ма­ тематическими методами: формулу можно подвергнуть различным математическим преобразованиям, чего не сделаешь ни с таблицей, ни с графиком.

Разумеется, если формула чересчур сложна или по­ просту не существует (скажем, когда функциональная зависимость получена из опыта), математик прибегает к таблице. А за наглядным представлением о функции обращается скорее к графику, чем к формуле.

•

Стоит заметить, что отнюдь не всякую функциональ­ ную зависимость, полученную из опыта, удается выра­ зить краткой формулой. Попробуйте сделать это, вооб­ разив графиком некоторой функции профиль ключа от вашей квартиры или абрис горной цепи на журнальной фотографии, — и вы убедитесь в невыполнимости заду­ манного.

•

В этом месте нам хртелось бы на краткое время прервать плавный ход изложения и поразмыслить над только что построенным графиком.

Почему мы так непринужденно и решительно соеди­ нили непрерывной линией точки, нанесенное на коор­ динатную плоскость по данным таблицы? Почему не оставили их редкой россыпью?

140