книги / Математика без формул

Ф УН К Ц И О Н А Л Ь Н Ы Е Р Я Д Ы

Встречи с математикой порой бывают неожиданными Как-то раз нам довелось листать старинный ботани­ ческий атлас, где рядом с контурами листьев разнооб­ разнейших растений были аккуратно выписаны тригоно­

метрические формулы.

кислица

/>=1 +2/3cos3y>-1 /3cos6 <р

настурция

/>= 1+1 /8cosy>+1/8cos5p

стрелолист

р= 1+9/16cos^»+1/4cos3</>+1/6cos5y>+1/48cos7^

Эти примечания озадачивали. Что общего, например, между кувшинкой и косинусом, трчнгмежду формой листка кувшинки и этой функцией, с фжащей коси­ нус?

р(<р) = 1 + cos <р.

251

Греческие буквы р и <р, вероятно, напомнили вам о полярных координатах, о которых мы говорили в самом начале книги (см. стр. 63 — 65). Тогда мы ограничились лишь их определением. Теперь уместно сказать кое-что об их употреблении. Например, задав зависимость ра­ диус-вектора р от полярного угла <р, можно построить график этой зависимости в полярные координатах. Если вы воспользуетесь таким приемом и нарисуете график приведенной тригонометрической функции из странно­ го ботанического атласа, то ответ на поставленный вопрос станет очевидным. Построенная кривая обрису­ ет лист кувшинки.

Вот еще два примера из того же атласа: кислица и настурция.

Удивившись такому сходству, вы, наверное, расцени­ те его не более как случайное совпадение. По-видимо­ му, форма этих листьев слишком проста, и к ним нетруд­ но подобрать простые функции. А ерли что-нибудь по­ сложнее?

Можно и посложнее — вот, скажем, стрелолист. Усложнилась форма листа — усложнилась и функция.

В ней стало больше слагаемых, и, глядя на нее, уже можно понять тот принцип, по которому удлиняются формулы для листьев все более причудливых очерта­ ний: новые слагаемые — это так называемые косинусы кратных дуг. Термин говорит о том, что независимая переменная <рпод знаком косинуса умножается на двой­ ку, тройку и дальнейшие целые числа.

Возможно, вы скажете, что и на сей раз все объясня­ ется удачным совпадением, и попытаетесь подыскать лист подиковеннее — такой, описать форму которого не под силу никакой тригонометрической функции. Но лучше не трудитесь. Математика позволяет утверждать, форму любого достаточно гладкого листа всегда можно достаточно точно описать функцией, составленной на­ подобие вышеприведенных из синусов И косинусов кратных дуг.

Достаточно гладкого — это значит, что на оси листа можно найти такую точку, что любой проведенный из нее луч пересечет контур листа только один раз. Достаточно точно — это значит, что в любом местр график функции

252

отойдет от контура листа в направлении луча не более чем на заранее заданную величину.

Конечно, если вам захочется, чтобы подобные суммы синусов и косинусов воспроизводили природу СО СКОЛЬ угодно высокой точностью, вы должны быть готовы к тому, что число слагаемых придется увеличивать неог­ раниченно.

Как же назвать такие безгранично удлиняющиеся суммы? Когда подобным образом мы суммировали числа, мы говорили о числовых рядах. На сей раз сла­ гаемыми являются функций. Бесконечные суммы такого рода называются функциональными рядами.

•

Когда по радио разучивают песню, ее мелодию повто­ ряют несколько раз — сначала в исполнении певца, потом проигрывают ее на различных музыкальных ин­ струментах — скажем, на рояле, скрипке или флейте.

Один из тех графиков, которые мы прежде строили в полярных координатах, приближая формы листьев, мы перерисуем сейчас в декартовых.

Значения функции ста­ нем откладывать, как обыч­ но, по вертикальной оси, значения аргумента — по горизонтальной, причем выражать его будем в радианной мере. На это указы­ вает буква л, с помощью ко­

торой размечена горизонтальная ось. О радианной мере углов мы рассказывали на стр. 170. Надо сказать, что в математике она гораздо популярнее градусной.

В полярных координатах аргументом служил угол, значения которого можно исчерпать за один оборот — от 0’ до 360" в градусной мере или от 0 до 2л в радиан­ ной. С дальнейшими оборотами график будет проходить раз за разом все по той же кривой. А это значит, что в декартовых координатах, когда аргумент превысит 2л (то есть 360"), график функции повторит ту же линию, что вычертил на промежутке от 0 до 2л. Иными словами

253

функция, описывающая в полярных координатах некото­ рый замкнутый контур, — периодическая. Убедитесь в этом, взглянув на график.

Что напоминает вам эти кривая? Осциллограмму че­ ловеческого голоса? Звука скрипки или флейты? Кривую нервного импульса или сигнала, бегущего по электри­ ческой цепи? Кардиограмму или энцефалограмму?

В подобные кривые всматриваются врач и физик, биолог и химик, стараясь постигнуть загадки человечес­ кого мозга и законы турбулентных течений, таинствен­ ную власть музыки и коварную силу землетрясений.

Так на довольно случайном стыке ботаники и матема­ тики перед нами предстал широкий круг важных про­ блем. Здесь же нам встретился и тот прием, который способствует их решению. Этот прием — разложение исследуемых функций в функциональные ряды, в беско­ нечные суммы функций более простых, нежели иссле­ дуемые, но замечательных не столько своей простотой, сколько тем, что выстраиваются в некую стройную сис­ тему.

Математика знает немало таких систем. Скажем, если функция разлагается по синусам и косинусам кратных дуг, то возникающий бесконечный ряд называется гар­ моническим, или рядом Фурье, а его слагаемые — гар­ мониками. Ряды Фурье — эффективный инструмент для исследования периодических функций.

Каждое слагаемое, каждый представитель той систе­ мы функций, по которым разлагается данная, входит в образующийся ряд с определенным коэффициентом. Найти эти коэффициенты, собственно, и означает раз­ ложить данную функцию в ряд по функциям некоторой заранее выбранной системы.

Теория функциональных рядов предполагает их со­ держащими сколь угодно большое число слагаемых. Недаром в символическом обозначении ряда над за­ главной греческой буквой «сигма» пишется значок бес­ конечности (снизу указывается номер того члена, с которого начинается суммирование).

На практике же всегда используются лишь частичные суммы функционального ряда — суммы нескольких пер­ вых его слагаемых. Каждая из них представляет собой

254

функцию, более или менее отличающуюся от той, при разложении которой возник функциональный рад.

Как будет изменяться это отличие, если пополнять частичные суммы все новыми слагаемыми? Если оно будет стремиться к нулю

ной функции.

В теории функциональных рядов известно несколько критериев, с помощью которых по тем или иным осо­ бенностям слагаемых ряда можно решать вопрос о его сходимости.

«Мазок — по форме», — наставлял своих учеников Репин. Поговорка мастера раскрывает секрет того ис­ кусства, с которым сам он умел лепить объемы на холсте несколькими ударами кисти.

Когда целое составляется из деталей, то-каждая из них, а стало быть, и весь их ассортимент должны соот­ ветствовать целому.

Об этом думает и математик, когда намеревается разлагать функцию в ряд, в бесконечную сумму функций более простых. В математике, как мы уже говорили, для подобных целей используется несколько традиционных ассортиментов — синусы и косинусы кратных дуг (про этот набор мы уже рассказывали), функции Бесселя и Матье, полиномы Эрмита и Лаггера... И для каждого из перечисленных наборов хорошо известно, в задачах какого рода он наиболее удобен.

Перед вами две цепочки рисунков. Одна начинается изображением аквариума, другая — мыльного пузыря. Следующие рисунки в той и другой цепи: профиль волны, искривившей поверхность воды в аквариуме и силуэт колеблющегося мыльного пузыря.

Следующие рисунки: очертание волны, как бы снятое на кальку, и контур пузыря, перерисованный из поляр­

255

ной системы координат в декартову (такой переход из одной системы в другую мы освоили анализируя форму листьев).

Сравните эти два рисунка. Сходство полное — не правда ли? На обоих графиках изображена одна и та же функция.

Начатые здесь цепочки рисунков продолжаются на стр. 257. Там представленная графиками функция раз­ ложена в функциональные ряды. Для этого взяты два различных семейства функций. В одних мы узнаем уже хорошо знакомые нам косинусы кратных дуг. 'Другие именуются полиномами Лежандра.

Представители обоих семейств тоже обнаруживают определенное сходство. И это не удивительно: полино­ мы Лежандра образуются из степеней косинуса — взгляните на формулы под графиками.

Удивляет другое: по какому признаку к волнам на воде отнесены косинусы, а к мыльному пузырю — полиномы Лежандра? Чем продиктован выбор того или иного се­ мейства функций?

На этот вопрос не ответить, глядя на статичные сним­ ки. Надо оживить движением обе картинки. Надо опи­ сать эти движения дифференциальными уравнениями. Надо попытаться решить эти уравнения. И тогда окажет-

256

ся, что решения одного из них (описывающего волны в аквариуме) выражаются через косинусы, решения дру­ гого (описывающего осесимметричные колебания пузы­ ря) — через полиномы Лежандра. (Заметим, что диффе­ ренциальные уравнения для того и другого случая ока­ зываются довольно сходными — потому похожи друг на друга и функции, через которые выражаются их реше­ ния.)

Итак, выбор подходящего ассортимента функций и там и тут диктуется сущностью задачи — точно так же, как сама натура диктует художнику движения кисти.

•

Фотография схватывает лишь отдельный миг в разви­ тии процесса. Чтобы проследить его течение, нужно обратиться к киносъемке.

Вот несколько последовательных кинокадров, снятых через прозрачную стенку лотка с водой (левая колонка рисунков). На поверхности воды гуляют волны. На пер­ вый взгляд их игра не подчинена никаким правилам. Но это только кажется.

Разложим в ряд каждую из функций, описывающих форму водной поверхности в последовательные момен­ ты времени. Как мы уже знаем, слагаемые этого ряда — косинусы кратных дуг. Один за другим выстраиваются они, строчка за строчкой.

.А теперь проследим сверху вниз за коэффициентом при каком-либо слагаемом ряда — скажем, за самым первым — ой. Посмотрим, какие значения принимает он в последовательные моменты времени, и по этим даннымлостроим график его зависимости от времени.

Смотрите — образуется синусоида!

Проследим за коэффициентом при втором слагаемом <Х2 , представим и его функцией времени — та же исто­ рия! Только гребни у синусоиды в два раза чаще.

Третье слагаемое — опять синусоида и опять с еще большей частотой, на этот раз в три раза.

В этом уже нетрудно усмотреть закономерность: номер гармоники показывает, во сколько раз ее колеба­ ния чаще по сравнению с первой гармоникой.

258

После этого мы можем предсказать значение коэф­ фициента при каждом косинусе для любого момента времени и, суммируя ряд из косинусов с такими коэф­ фициентами, определить, какую форму будет иметь в этот момент поверхность воды в лотке А это значит что

по нескольким начальным кадрам мы определили закон ее колебаний.

Итак, к чему же привел нас путь, начавшийся со сравнения кувшинки с косинусоидой? К методу, кото­ рым решаются разнообразные физические задачи — о течениях жидкости и волнах на ее поверхности, об электромагнитных волнах и колебаниях упругих тел, о диффузии и распространении тепла.

Закон развития каждого из перечисленных процессов выражается некоторым дифференциальным уравнени­ ем в частных производных, а конкретная форма проте­ кания — начальным состоянием и режимом на границе области, где протекает процесс. Дифференциальное уравнение в частных производных, начальные условия, граничные условия — все вместе это называется крае­ вой задачей.

Метод исследования краевых задач, к которому мы пришли, заключается в том, что решение задачи ищут в виде бесконечного' ряда. Каждое слагаемое ряда пред­ ставляет собою произведение функции, зависящей только от времени, на функцию, зависяющую только от пространственных координат. Эти самые функции, за­ висящие лишь от точки пространства, называются соб­ ственными функциями данной краевой задачи. Их под­ бор заранее определяется требованием; они должны удовлетворять заданным граничным условиям.

Всмотритесь еще раз в кинокадры, снятые через бо­ ковую прозрачную стенку лотка. Поверхность колеблю­ щейся жидкости всегда образует прямой угол со стен­ ками, ограничивающими лоток с торцов. Косинусы, ря­ дами которых мы представляли форму водной поверх­ ности, как "раз и отличаются такой особенностью. Это, ста/ю быть, и есть собственные функции задачи о коле­ баниях воды в лотке.

Собственными функциями для задачи об осесиммет­ ричных колебаниях мыльного пузыря оказываются поли­ номы Лежандра, для задачи о волнах на воде от бро­ шенного в нее камня — функции Бесселя... И каждый раз система собственных функций позволяет представить сложный процесс в виде обозримой суммы простых деталей, из которых можно воссоздать цельный облик сложного явления с любой желаемой точностью.

260