книги / Математика без формул

тики! Гильбертово, многомерное, риманово, фазовое, конфигурационное, финслерово пространство...

Геометрические аналоги делают предмет исследова­ ния нагляднее, на помощь приходит геометрическая интуиция, пространственное воображение.

Заметим, однако: геометрические аналогии, зачастую весьма полезные, иногда могут вводить в заблужде1 ние — именно в тех случаях, когда решающими оказы­ ваются те качественные особенности, отвлечение от которых делает возможным геометрический подход.

Поэтому все, что такой подход позволяет достичь в абстрактных пространствах современной математики, должно затем подкрепляться строгими доказательства­ ми.

«Пифагоровы штаны на все стороны равны» Помните это шутливое присловье? Речь в нем идет о

картинке, которой обычно иллюстрируется доказатель­ ство знаменитой теоремы Пифагора: квадрат гипотену­ зы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

Картинку, похожую на штаны, придумали древнегре­ ческие математики. Рисуется она просто: на гипотенузе и на катетах прямоугольного треугольника АВС строятся квадраты. (Длины их сторон мы обозначим через а, Ь и с.) А затем «штаны» разре­ заются так, что в каком-то смысле оказываются «рав­ ными на обе стороны». Из вершины прямого угла на гипотенузу опускается пер­ пендикуляр и продолжается далее так, что делит на два прямоугольника квадрат, построенный на гипотенузе

Из подобия треугольни­ ков АВС и ADC выводится пропорция AD : АС = АС .АВ,

291

а из нее определяется длина отрезка AD — она выража­

Площадь прямоугольника AEFD совпала, как видим, с площадью квадрата, построенного на катете АС. Точно так же площадь прямоугольника DFGB оказывается рав­ ной площади квадрата, построенного на катете СВ, то есть величине а2.

Но оба прямоугольника в сумме составляют квадрат, построенный на гипотенузе АВ. Аналогичное равенство связывает площади прямоугольников с площадью этого квадрата: а2 + Ь2 - с2.

Что и требовалось доказать. Причем заметьте: мы достигли цели средствами одной лишь геометрии — через подобие треугольников, определение площади прямоугольника...

Вторая картинка пришла к нам из древней Индии Тема ее та же: доказатель­ ство теоремы Пифагора (индийские математики от­ крыли ее независимо от греческих). Четыре одина­ ковых прямоугольных тре­ угольника складываются в квадрат. Это оказывается возможным благодаря удачному свойству всякого прямоугольного треуголь­ ника: сумма двух его острых углов равна третьему, пря­

мому — ведь все вместе они должны равняться двум прямым, как это справедливо для всякого треугольника вообще. Вот почему возникают прямые углы в вершинах нашей конструкции из четырех прямоугольных треуголь­ ников. Четыре равные стороны, четыре прямых угла при вершинах — определяющие признаки квадрата. Именно такую фигуру, стало быть, представляет собой наша конструкция.

292

Отметив это, поведем дальнейшее рассуждение на языке формул. И хотя заголовком своей книги мы отвер­ гли их с самого начала, здесь мы просто не можем отказать себе в удовольствии привести две строчки изящных алгебраических выкладок.

Площадь большого квадрата складывается из площа­ дей четырех треугольников и площади маленького квад­ рата в середине. Его сторона равна разности катетов: а — Ь. Площадь прямоугольного треугольника проще

всего выразить половиной произведения катетов:

Взяв эту величину четыре раза (по числу треугольников) и добавив площадь маленького квадрата, подсчитываем

площадь большого квадрата: 4 ^ + (а — Ь)2= 2ab + а2 —

— 2аЬ + Ь2 - а2 + Ь2. Но с другой стороны площадь большого квадрата равна квадрату его стороны, то есть квадрату гипотенузы любого из четырех треугольников: с2. Итак, а2 + Ь2 = с2.

Такое доказательство больше придется по душе лю­ бителю алгебры. Все здесь покоится на ее законах, на правилах алгебраических преобразований.

Впрочем, выпячивая в одном случае геометричность, а в другом алгебраичность доказательства, мы несколь­ ко грешим против истины. Если быть точным, в каждом из двух рассуждений переплетались элементы алгебры

игеометрии. Одна ветвь математики помогала другой. Пусть это уточнение послужит нам присказкой к даль­

нейшему рассказу.

•

Быть может, первый, кто отчетливо понял плодотвор­ ность взаимодействия алгебры и геометрии, был фран­ цузский математик и философ Рене Декарт, опублико­ вавший в 1637 году свой трактат «Рассуждение о мето­ де». Изложенный там подход дал начало новой науке — аналитической геометрии. Под методом же, о котором рассуждал Декарт, имелся в виду метод координат.

У нас уже были поводы убедиться, что его применение может существенно облегчить нашу работу. До упоми­ нания о нем, в самом начале книги, в главе «Теоремы,

293

аксиомы, определения» мы мучились с определением прямой линии. Мы усомнились в словах Эвклида «линия есть длина без ширины» — ведь понятия длины и шири­ ны сами нуждаются в определении. А несколькими стра­ ницами позже, в главе «Отношения» построение прямой линии никаких мучений нам не доставило. Мы нарисо­ вали декартову систему координат и стали наносить точки, координаты которых удовлетворяют уравнению х = у. Подходящих значений х и у оказалось бесконечно много. (Подобные уравнения, содержащие более одно­ го неизвестного и потому имеющие, как правило, бес­ конечно' много решений, называются неопределенны­ ми.) Точки с такими координатами сливались в прямую линию.

Еще позже, в главе «Функции», встретившись с более сложными неопределенными уравнениями у = 2х, у = = х + 6, у = Ьх + с, мы уже вполне уверенно изображали их прямыми линиями, соответственно сдвинутыми и наклоненными по отношению к осям координат.

В любом неопределенном уравнении Декарт видел линию на координатной плоскости. И не только прямую. Сумма квадратов абсциссы и ординаты, приравненная положительной постоянной, давала окружность с цент­ ром в начале координат. Произведение абсциссы на ординату, соединенное знаком равенства с постоян­ ной, — гиперболу. Равенство ординаты и квадрата абс­ циссы — параболу с вершиной в начале координат, симметричную относительно оси ординат. Заменяя в этом равенстве квадрат абсциссы тем или иным квад­ ратным трехчленом, можно передвигать параболу по координатной плоскости...

Декарт увидел, что его метод дает замечательные результаты, будучи применен и в обратном направле­ нии. Любая из тех кривых, которыми занимались тог­ дашние математики, под взглядом Декарта превраща­ лась в уравнение. Например, эллипс, геометрическое место точек, у которых сумма расстояний до двух задан­ ных точек постоянна. Или гипербола, определявшаяся на подобный манер как геометрическое место точек, у которых постоянна разность расстояний до двух задан­ ных. Если расположить заданные точки на оси абсцисс, симметрично по обе стороны от начала, то уравнением

294

эллипса будет приравненная единице сумма квадратов координат, взятых с определенными (неравными) коэф­ фициентами. Уравнением гиперболы — приравненная единице разность квадратов координат, тоже взятых с некоторыми коэффициентами. О том, как выразить уравнениями окружность и параболу, мы уже говорили.

Задачи на построение заменялись теперь вычисле­ ниями, геометрические теоремы доказывались средст­ вами алгебры. А поскольку алгебра в ту пору достигла немалого совершенства, то становится вполне объясни­ мой уверенность, с которой изобретатель метода коор­ динат заявлял: «Я решил все задачи».

Каждая из обеих ветвей математики — и алгебра, и геометрия — выиграла от завязавшихся тогда связей.

Геометрия получила возможность заменять свои ис­ следования выкладками. Сведенные в систему, эти при­ емы образовали новую науку — аналитическую геомет­ рию. Зачастую преобразования формул веди к цели более простым и коротким путем, нежели построения.

Алгебру в свою очередь обогатила геометрическая наглядность. Появились графики, и нередко то, что было непонятным в аналитической формулировке, станови­ лось очевидным в геометрическом представлении.

•

Из пункта А в пункт В ходят поезда, останавливаясь на каждой промежуточной станции. Навстречу им из пункта В в пункт А поезда тоже ходят и тоже с останов­ ками на всех промежуточных станциях. Нужно составить расписание их движения. Трудность заключается в том, что дорога, соединяющая пункты А и В, — одноколейная, и разойтись поезда могут только на станциях.

На первый взгляд, эта задача — крепкий математичес­ кий орешек. Особенно, если расстояние между А и В велико, промежуточных станций много и одновременно на линии находится много поездов.

И действительно,. задачу такого рода рискованно было бы помещать в задачнике по алгебре.

Но средствами геометрии она решается без особого труда.

296

Если взять декартову прямоугольную систему коорди­ нат и на одной оси, скажем, вертикальной, указывать положение поезда между пунктами А и В, а на другой, горизонтальной — время, то на координатной плоскости

часы

возникнет непрерывная'линия. Эта линия оказывается ломаной: ее наклонные звенья соответствуют движе­ нию, горизонтальные — остановкам на станциях.

Ломаная линия другого наклона изобразит движение встречного поезда. Очевидно, провести ее нужно так, чтобы с уже построенной ломаной они пересекались по одному из своих горизонтальных участков. А потом — одна ломаная за другой.

И вот построение закончено. Остается превратить сетку линий на координатной плоскости в сетку распи­ сания — в столбик цифр, указывающих отправление и прибытие.

Вот что значит геометрическая наглядность!

На стене тикают ходики. Как работает это несложное механическое устройство?

297

При всей его несложности не так-то просто ответить на поставленный вопрос. Но геометрия поможет нам и тут.

Давайте присмотримся к движению маятника. Отклоненный в крайнее положение, он устремляется

к точке равновесия, но, разогнавшись, пролетает даль­ ше и замирает на миг в другом крайнем положении.

Сходным образом маятник возвращается в начальную точку своего пути, затем все повторяется снова и снова.

Нетрудно изобразить, как с течением времени меня­ ется отклонение маятника от положения равновесия и его скорость. Получатся две синусоидальные кривые: одна сдвинута вдоль оси времени на полпериода по сравнению с другой. Читателю придется поверить нам на словб, что движение маятника описывается тригоно­ метрическими функциями. Строгое доказательство этого факта относится к физике и потому не совсем уместно здесь.

«Все верно, но чуточку громоздко», — сказал бы ме­ ханик, взглянув на эти два графика. Механик умеет совмещать их в один.

Как это делается? Следите за нашими построениями. Снова нарисуем на листе бумаги две координатные оси. Только теперь разметим их по-другому. По верти­ кальной будем откладывать отклонение маятника от положения равновесия, по горизонтальной — его ско­

рость в тот же момент.

298

Такую систему координат механики называют фазо­ вой плоскостью.

Если удачно выбрать масштаб осей, то движение маятника изобразится на ней окружностью. Можете убе­ диться в этом, прослеживая ход кривой и сверяя ее с предыдущими синусоидальными графиками.

Макушка окружности соответствует исходному откло­ нению маятника. Сдвинувшись по кривой в левый конец ее горизонтального диаметра, мы воспроизводим нача­ ло движения, когда маятник приходит в точку равнове­ сия, достигая при этом максимума скорости. Сдвиг в наинизшую точку окружности — это приход маятника В другое крайнее положение... и так далее.

Справедливости ради надо сказать, что наш график несколько идеализирован. Окружность — кривая зам­ кнутая. Отправившись в путь по такой кривой из любой точки, мы вновь вернемся туда же, и путь повторится еще и еще раз в том же неизменном порядке. А это значит, что неизменный циклический порядок присущ и движению, портретом которого служит замкнутая кри­ вая на фазовой плоскости: размах колебаний ничуть не уменьшается со временем, не замедляется скорость движения.

В действительности дело обстоит совсем иначе. Ко­ лебания маятника, представленного самому себе, зату­

299

хают со временем из-за трения, и он замирает в поло­ жении равновесия.

Исправим наш график с учетом реальности. Окруж­ ность превратится в спираль, навитую на начало коор­ динат, на ту точку, которая соответствует равновесию маятника — нулевому отклонению и нулевой скорости.

Часы с таким маятником не ходили бы. Их приходи­ лось бы подталкивать, чтобы они не остановились после нескольких качаний.

Но если уж подталкивать, то в какие моменты? В какой точке спирали удобнее перебрасывать маятник с внут­ реннего витка на внешний?

Разумное предложение на этот с4ет мы выразим опять-таки языком графи­ ка. Зубчик на кривой — это легкий удар, которым анкерный механизм хо­ диков, приводимый в движение тяжес-

мтью гири, придает маятнику мгновен­ ный скачок скорости в том момент, когда маятник минует точку равнове­ сия.

Ивсе возвращается на круги своя. График становится замкнутой линией, колебания — незатухающими, и стрелки ходиков исправно описывают круг за кругом.

Метод фазовой плоскости, который мы продемон­ стрировали на примере ходиков, весьма популярен в механике, позволяя представить в наглядных геометри­ ческих образах течение процессов, свойства уравнений.

Если вам хочется научиться рисованию на фазовой плоскости, попробуйте изобразить на ней движение мячика, который падает на пол с некоторой высоты и начинает подпрыгивать.

Готово? Сверьте свою картину с нашей. В полном соответствии с реальностью линия и тут имеет вид стягивающейся спирали: прыжки мячика становятся все более невысокими, и, наконец, мячик замирает на полу.

Рядом — график, дополненный деталью, которую вно­ сит в это затухающее движение баскетболист во время дриблинга, когда он ведет мяч. Подгоняя мяч рукой, когда тот устремляется вниз, баскетболист заставляет его наращивать скорость быстрее, чем в свободном падении. Получается так же, как с маятником ходиков,

300