книги / Математика без формул

принятое определение согласуется с метрическим^аксиомами.

Пространство метрическое. Здесь введено понятие расстояния.

Пространство линейное. Здесь определено сложение элементов и их умножение на число.

Пространство линейное метрическое. Возможно и такое — оно соединяет в себе качества обоих про­ странств, по имени которых названо.

Коль скоро оно линейное, в нем можно ввести базис и координаты. Для наглядного представления этого про­ странства удобно использовать прямоугольную декар­ тову систему координат. Скажем, если пространство двумерное, начертить оси этой системы на листе бума­ ги. И уж тут-то определить расстояние между точками — не проблема. Для этого можно воспользоваться обыч­ ной линейкой.

С такой точки зрения фраза «химический реактор работает в режиме, близком к оптимальному» приобре­ тает весьма наглядный смысл. Режим работы реактора определяется температурой и давлением внутри него Отведем этим параметрам оси прямоугольной декарто­ вой системы координат. Близость установившегося в реакторе режима к оптимальному тогда выразится в том, что расстояние между соответствующими точками координатной плоскости достаточно мало, что одна по­ падает в достаточно малую круговую окрестность дру­ гой.

Заметим, что подобные графики, построенные в ко­ ординатах «температура— давление» называются фазо­ выми диаграммами. Ради примера представлена фазо­ вая диаграмма воды — рисованный свод общеизвест­ ных сведений о таянии льда и кипении чайника, о пере­ гретом паре в котлах высокого давления и холодном кипении воды в горах, где атмосферное давление по­ нижено, об инее и высыхающем на морозе обледенев­ шем белье.

321

Расстояние, согласно определению, — это число. Ко­ ординаты точек линейного пространства — это тоже -числа. Разумно попытаться выразить расстояние через координаты.

Это позволяет сделать самая известная теорема ма­ тематики — теорема Пифагора: «квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

Отложите в сторону линейку, которую вы только что прикладывали к точкам диаграммы, чтобы измерить расстояние между ними. Соедините обе точки отрезком прямой. Вероятнее всего, этот отрезок наклонен к осям системы координат, в которой вычерчена диаграмма. Теперь соедините точки двухзвенной ломаной линией, состоящей из вертикального и горизонтального отрез­ ка. Получится прямоугольный треугольник. Его гипоте­ нуза — искомое расстояние ( на чертеже оно обозначено греческой буквой р). Длина его горизонтального кате­ та — разность абсцисс обеих точек, вертикального — разность ординат. Квадрат гипотенузы равен сумме

322

квадратов катетов. Вычислим эту сумму квадратов, из­ влечем из нее квадратный корень — вот вам и искомое расстояние.

Ох. х

Казалось бы, пифагоров рецепт годится только для плоскости. А ведь мы живем в трехмерном мире. И нам приходится не только чертить графики на бумаге, но и например, входить в кабину лифта с длинными, лыжами И тут приходится решать задачу: войдут ли лыжи в лифт? Не придется ли взбираться по лестнице пешком?

Наибольшее расстояние в кабине лифта — из нижнего угла в противоположный верхний угол. Чему же оно равно? Оказывается, рецепт для определения этого расстояния аналогичен тому, что Пифагор рекомендует для плоскости. Нужно измерить ширину, длину и высоту лифта, возвести все три числа в квадрат, сложить и извлечь из суммы квадратный корень. Это и будет длина диагонали лифта.

Так обобщается теорема Пифагора на случай трех­ мерной прямоугольной декартовой системы координат Чтобы измерить расстояние между двумя точками в ней, нужно определить разности между соответственными координатами обеих точек — абсциссами, ординатами, аппликатами — а затем поступить с ними точно так же, как с шириной, длиной и высотой лифта.

По-видимому, теперь вы не растеряетесь, входя с лыжами в N-мерный лифт. В N-мерном мире естествен­ но определить расстояние между двумя точками как корень квадратный из суммы квадратов разностей между всеми соответствующими координатами обеих точек.

323

Элементы линейного пространства мы называем век­ торами. Элемент метрического — точками. Как же нам назвать элементы линейного метрического пространст­ ва?

Оно объединяет в себе свойства обоих пространств, именами которых названо, так что здесь пригоден любой термин — и «вектор», и «точка»... Но какой пред­ почтительнее?

В прямоугольной декартовой системе координат, ко­ торую мы приспособили для наглядного изображения линейного метрического пространства, представим оба термина привычными зрительными образами. Крохот­

число назовем длиной вектора. Обозначая его, обычно заключают в прямые скобки обозначение вектора.

Новый термин позволяет ввести порядок среди век­ торов линейного метрического пространства. Теперь их можно сравнивать между собою по длине.

Нам могут поставить в упрек, что к мысли сравнивать векторы по длине мы могли бы придти и раньше, еще беседуя о линейном пространстве, где определено ум­ ножение векторов на число. Число, умножением на которое один какой-то вектор получается из другого, оче­

324

видно и соразмеряет их длины. Но такому сравнению, как нетрудно сообразить, поддаются лишь векторы, ко­ торые можно получить один из другого умножением на число, то есть векторы одного направления, лежащие на одной прямой, коллинеарные, как их еще называют. Сравнивать по длине неколлинеарные векторы линей­ ного пространства можно лишь тогда, когда определено понятие длины вектора.

Как же вычислить длину вектора? Скажем, двухмерно­ го — обратимся для начала к чему-то простому.

Воспользуемся привычным Пифагоровым рецептом. Ответом будет: длина вектора эвклидова пространства есть корень квадратный из суммы квадратов его компо­ нент. Нетрудно проверить, что точно так же длину век­ тора можно вычислить в пространстве любого числа измерений.

После сказанного мы можем по-новому взглянуть на форму­ лу расстояния, принятую в эвк­ лидовом пространстве. Под знаком квадратного корня в ней стоят возведенные в квад­ рат разности координат тех точек, между которыми изме­ ряется расстояние. Вспомним теперь, что компоненты раз­ ности двух векторов определя­ ются как разности их соответ­ ственных компонент. Отсюда недалеко до вывода: расстоя­

ние между двумя точками эвклидова пространства есть длина разности векторов, соответствующих этим точ­ кам.

•

Стрелки, в зримом образе которых перед нами пред­ стают векторы линейного метрического пространства, подсказывают: длина — не единственный критерий, по которому можно сравнивать два вектора. Можно еще

325

судить о том, насколько два вектора разнятся по направ­ лению, говорить об угле между ними.

Спектр возможных вариантов здесь широк: от полной слиянности, когда оба вектора глядят в одну и ту же сторону, вдоль одной прямой, — до полной противопо­ ложности, когда векторы отвернулись друг от друга, располагаясь опять-таки вдоль одной прямой. Между двумя этими крайностями находится случай полного, так сказать, безразличия векторов друг к другу, когда они взаимно перпендикулярны.

Критерием близости в сравнении векторов по направ­ лению математикам служит некоторое число. Оно вы­ числяется ho несложному правилу: берутся длины век­ торов, берется косинус угла между ними, и все это перемножается.

Если в разговоре о векторах появляется число, его "называют скаляром. Скаляром является, например, длина вектора, поскольку она выражается числом. То же самое можно сказать

скалярным произведением векторов. (Обозначая его, обычно пишут через запятую обозначения обоих векто­ ров и по бокам ставят круглые скобки.)

Когда угол меняется от нуля до 180 градусов, косинус угла принимает все значения от плюс единицы до минус единицы, обращаясь в нуль для прямого угла. Это отра­ жается на скалярном произведении векторов. Если два вбктора глядят в одну и ту же сторону вдоль одной прямой, их скалярное произведение равно произведе­ нию длин векторов (ведь косинус угла между ними в этом случае равен единице). Чуть раздвинув векторы, мы уменьшим скалярное произведение (поскольку коси­ нус ненулевого угла меньше единицы), но оно еще останется положительным. Когда векторы, рабходясь все сильнее, станут взаимно перпендикулярными, их скалярное произведение обратится в нуль. Для векто­

326

ров, разошедшихся еще сильнее, оно будет отрицатель­ ным. Наконец, когда векторы развернутся до угла 180 градусов и будут глядеть в противоположные стороны, их скалярное произведение снова будет равно произве­ дению их длин, но уже. со знаком минус.

( i, Б ) = I i 11 b I cos ф = I a 11 Б I

Ф = 90* соэф ^ О

( а, Б ) = I a 11 b I cos ф = 0

Но остановимся на минуту. He показалось ли читате­ лю, что наше повествование содержит элементарную логическую ошибку, называемую порочным кругом? Скалярное произведение предложено нами как мера угла между векторами — определяется же и вычисляет­ ся оно через косинус того же самого угла, как будто он уже известен.

На самом деле порочного круга тут нет. Скалярное произведение двух векторов действительно определя­ ется через косинус угла межу нами, но вычисляется оно обычно по другому правилу. Дело в том, что векторы, как уже успел заметить читатель, задаются не стрелками на чертеже (чертеж — всего лишь иллюстрация), а ряда-

327

ми чисел, набором своих компонент. Как тут измеришь угол между ними? В таких случаях в дело идет другая формула, по которой скалярное произведение'двух век­ торов выражается через их компоненты.

Особенно она проста в пространстве, где длина век­ торов вычисляется по Пифагорову рецепту. Нужно по­ парно перемножить соответственные компоненты обоих векторов и все эти произведения сложить. Чуть позже мы выясним причину такой простоты.

векторы взаимно перпенди­ кулярны.

Если же надо знать точно, какой угол образуют два вектора, следует поделить их скалярное произведение на длины обоих. Частное есть косинус угла между век­ торами. Сам угол можно определить, заглянув в триго­ нометрические таблицы.

И что замечательно: формула, выражающая скаляр­ ное произведёние двух векторов через их компоненты, годится для пространства с любым числом измерений. Бери у вектора одну компоненту за другой, умножай на соответствующую компоненту второго вёктора и скла­ дывай одно произведение за другим, покуда не перебе­ решь все компоненты.

Поистине, скалярное произведение — это универ­ сальный транспортир для измерения углов, в каком бы пространстве их ни приходилось измерять.

Если бы скалярное произведение годилось только Для того, чтобы сравнивать векторы по направлению, цена ему была бы невелика.

328

.На движущееся тело действует сила. Как подсчитать мощность, развиваемую силой? Учебники физики реко­ мендуют на сей счет правило перемножить абсолютные величины силы и скорости друг на друга, а потом — на косинус угла между ними.

Только что освоенная нами терминологии позволяет выразить сказанное в более строгой математической форме, мощность есть скалярное произведение вектора силы на вектор скорости.

В физике часто встречаются векторные величины Поэтому в ней весьма употребительно и понятие скаляр­ ного произведения векторов.

•

В определении скалярного произведения (длина одного вектора на длину другого и на косинус угла между ними) можно усмотреть идею любопытного экс­ перимента: что получится, если вектор скалярно умно­ жить на*себя9

Поскольку сомножители в этом случае одинаковы, угол между ними равен нулю, а косинус угла — единице. Искомое произведение представится квадратом длины вектора.

Выразим то же самое иначе: длина вектора есть корень квадратный из его скалярного произведения на себя.

Это маленькое открытие позволит нам понять новый подход к измерению расстояний в линейных метричес­ ких пространствах. Он несколько длиннее, но зато и плодотворее, нежели известный нам, когда формула расстояния между точками пространства вводится с самого начала,

Если о пространстве уже известно, что оно линейное, в нем прежде вводят скалярное произведение. При этом говорят так: пусть любым двум векторам линейного пространства по определенному закону поставлено в соответствие число, называемое их скалярным произ­ ведением. А дальше формулируется закон этого соот­ ветствия. Он может быть каким угодно, лишь бы выпол­ нялись четыре аксиомы скалярного умножения. Боль­

329

шинство из них напоминают правила, по которым нас еще в школе учили обращаться с произведениями чисел — переставлять сомножители, раскрывать скоб­ ки... Короче, эти аксиомы таковы:

От перемены мест сомножителей скалярное произве­ дение не меняется.

Если один из сомножителей увеличить в несколько раз, то во столько же раз увеличится и скалярное про­ изведение.

Скалярно умножая какой-то вектор на сумму двух других, мы можем умножить его на каждое слагаемое отдельно, а результаты сложить.

Четвертая аксиома не имеет аналогий с произведе­ ниями чисел. Состоит она в том, что скалярное произ­ ведение любого вектора на себя всегда положительно или равно нулю, причем последнее бывает в том и только в том' случае, если вектор нулевой.

Зачем нужна четвертая аксиома, понять нетрудно. Из положительного числа можно извлекать квадратный ко­ рень. Это позволит, пользуясь скалярным произведени­ ем, определить и длину любого вектора — как корень квадратный из его скалярного произведения на себя. Умея определять длины векторов, можно ввести и мет­ рику в пространстве, то есть определять расстояния между его точками — как длину разности векторов с концами в этих точках.

Смысл сказанного можно подытожить фразой: было бы скалярное произведение, а уж метрика будет!

Линейное пространство, в котором определено ска­ лярное произведение векторов, называют эвклидовым. Таков наиболее общий смысл этого термина — «эвкли­ дово пространство».

В более узком смысле его применяют для обозначе­ ния пространства, где длины векторов и расстояния

330