книги / Математика без формул

В этом, как нам кажется, проявилось представление, давно и глубоко укоренившееся в нашем миропонима­ нии. По созвучию с крылатым «природа не терпит пус­ тоты» его можно выразить так: «природа не терпит разрывов».

Нельзя всерьез говорить о том, что поезд, идущий, скажем, из Москвы во Владивосток, после остановки в Омске незамедлительнЬ очутился в Новосибирске, не побывав при этом ни на одной промежуточной станции. Непрерывность времени и пространства — один из кра­ еугольных'тезисов механики. Непрерывным представ-' ляется нам чуть ли не всякое изменение, происходящее в природе: все значения высоты от начального до конеч­ ного принимает уровень воды в наполняемой ванне, все значения размера — длина горящей свечи и ширина ножа, стирающегося от частой заточки. В рамках меха­ нических моделей непрерывными считается не только пространство, но и любая среда: металл, жидкость, даже газ — недаром и аэродинамика, и гидродинамика, и теория упругости объединяются названием «механика сплошных сред».

А-ведь согласно современным представлениям мате­ рия состоит из отдельных частиц — атомов, молекул, между которыми пустота, и все физические величины изменяются порциями квантами. Но квантовая приро­ да материи проявляется в масштабах столь малых, столь труднодоступных непосредственному восприятию, что мы пренебрегаем ею, отнюдь не считая это изменой общепризнанной демокритовой концепции о зернис­ тости всего существа.

Строя график в координатах «сечение провода— ток», проводя непрерывную линию над всеми без исключения точками некоторого промежутка оси абсцисс, мы заяв­ ляем тем самым, что сечение провода может равняться любой величине из этого промежутка.

Что же говорить о тех временах, когда квантовая теория еще не была создана, а концепция Демокрита не была признана основой научных представлений о мате­ рии? Непрерывность математических образов была ес­ тественным и непременным требованием употреби­ тельных систем мира — от Аристотеля («В отношении сущего при отвлечении математик сохраняет только

141

количественную определенность и непрерывность») до Ньютона («Я рассматриваю... математические количест­ ва не как состоящие из очень малых постоянных частей, а как производимые непрерывным движением»).

Отвечая этому требованию, математика разработала систему вещественных чисел (под таким названием объ­ единяются числа целые, дробные и иррациональные). Вещественные числа — совокупность непрерывная, и потому оказалось возможным изображать их точками прямой линии. С легкой руки Декарта функциональные зависимости стали изображать графиками на коорди­ натной плоскости. Так математика привыкла дополнять понятие функции неявным предположением о непре­ рывности аргумента.

А между тем математическое определение функции вовсе не требует этого. И потому оно общезначимо для всей математики, потому им пользуются и в дискретной математике, бурно развивающейся в последнее время, находящей все больший спрос у экономистов, биологов, лингвистов.

Собственно говоря, в определении функциональной зависимости не требуется и того, что ею должны связы­ ваться только количества. Но традиция сильна и туг: если соответствие устанавливается не между числами, математик предпочитает слову «функция» слово «ото­ бражение».

У этой традиции тоже есть свои корни. Математика исстари обслуживает науки, которые выражают свои результаты в числах: механику, физику, химию. «Изме­ рить все измеримое и сделать измеримым все, что пока не поддается измерению», — эти слова Галилея сделало своим девизом все точное естествознание.

Не удивительно, что учение о функциях развивалось по преимуществу как учение о функциях непрерывной числовой переменной. Именно на этом пути оно пришло к одному из наиболее значительных своих достиже­ ний — дифференциальному и интегральному исчисле­ нию.

Не удивительно и то, что все наши дальнейшие при­ меры будут приводить лишь к функциям подобного рода и на них будут поясняться существенные особенности понятия функциональной зависимости.

142

График, построенный по данным «Энциклопедии до­ машнего хозяйства», побуждает нас обратиться к чита­ телю еще с одним призывом к бдительности. В разго­ воре о проводах и протекающих по ним токам отчетливо ощущается то, что философы зовут причинно-следст­ венной связью. Ток, величина которого рассматрива­ лась нами как аргумент, есть причина нагрева проводов, степень которого рассматривалась как функция. Подоб­ ное характерно для большинства расхожих примеров функциональной зависимости: функция является выра­ жением некоторого следствия, причину которого выра­ жает аргумент. И тем не менее не следовало бы возво­ дить такое представление в абсолют. Такая трактовка сужает понятие функции. Функциональная зависи­ мость — не обязательно зависимость причинно-следст­ венная.

В большом многоквартирном доме номеру каждой квартиры можно поставить в соответствие число людей, в ней проживающих. И это будет функциональная зави­ симость, вполне отвечающая ее каноническому опреде­ лению, хотя ни о каких причинах и следствиях здесь говорить не приходится. Номер квартиры никоим обра­ зом не определяет численность проживающей в ней семьи.

•

Карл-Филипп-Теодор, курфюрст Пфальцский, был не чужд математики. Однажды, вспоминая прожитое, он сказал: «Мне было X лет в году X2».

Жозеф-Луи Лагранж, французский математик, однаж­ ды беседовал с Симоном Пуассоном, только начинав­ шим свой путь в науке, и, между прочим, сказал: «Я стар; во время бессонных ночей я развлекаюсь числовыми сравнениями. Гюйгенс был тринадцатью годами старше Ньютона, я тринадцатью годами старше Лапласа. А Лаплас тридцатью годами старше вас».

143

В какой из этих исторических зарисовок больше ма­ тематического колорита?

По-видимому, ответ не вызывает сомнений: в первой. Хртя курфюрст и не задал вопроса, его высказывание воспринимается как формулировка задачи. Учтя, что родился он в 1722 году, можно составить квадратное уравнение для X и определить из него неизвестное: речь идет о 1764 годе, когда курфюрсту было 42. В самом деле, 422 = 1764.

Ну, а второе высказывание? Хотя это и слова матема­ тика, никакого математйческого содержания в них не видится.

Действительно, что из того, что Гюйгенс тринадцатью годами старше Ньютона? Возраст человека — величина переменная. Если второе высказывание рассматривать на манер первого, как уравнение, то у этого уравнения будет не одно решение, а много: 33 и 20, 34 и 21, 40 и 27, 55 и 42...

И все-таки на слова Лагранжа можно взглянуть с такой точки зрения, с которой они покажутся гораздо выиг­ рышнее.

Свяжем функциональной зависимостью возраст Нью­ тона и возраст Гюйгенса, обозначив их соответственно через X и У, и запишем эту связь в привычном для математиков виде: У = Х + 13.

И тогда задавшись произвольным числом X из множе­ ства лет, прожитых Ньютоном в одно время с Гюйгенсом, мы тотчас сможем выяснить, как велико соответст­ вующее У, то есть сколько лет в тот момент было Гюйгенсу.

Уже этот н.ехитрый пример демонстрирует важн; з достоинство понятия функциональной зависимости: на языке функций можно формулировать утверждения, ох­ ватывающие собой целые множества, а не только отно­ сящиеся к отдельным элементам этих множеств.

Математики в своих построениях пользуются функ­ циями весьма многочисленными и разнообразными. В этой книге мы упомянем, естественно, лишь немногие из них, наиболее употребительные.

144

•

С функцией «корень квадратный» мы познакомились благодаря электротехнике. Но свести знакомство с нею мы могли бы, например, в часовом ателье, приглядыва­ ясь к тому, как мастер выверяет ход маятниковых часов. Оказывается, их ходом управляет все та же функция «корень квадратный»: именно такова зависимость пе­ риода колебаний маятника от его длины.

•

Не откладывая на дальнейшее, поясним графиками те функциональные зависимости, которые в своих рассуж­ дениях о размерах животных использовал Галилей, — квадратичную и кубичную.

График, соответствующий первой из них, называется параболой второй степени, или просто параболой. Со­ ответствующий другой — параболой третьей степени. Указание степени считается обязательным, если она не равна двум, — так о линиях, приведенных на следующих графиках, говорят, что это параболы четвертой и пятой степени.

Заметим, что функции такого рода называются сте­ пенными: каждому числу из области определения функ­ ции ставится в соответствие некоторая его степень — вторая, третья, четвертая и т.д.

145

Когда в Москве Кремлевские куранты отбивают шесть часов утра, в Якутске уже полдень. Расположенный по долготе восточнее столицы, город раньше встречает солнце. Приезжие мос­ квичи в Якутске пере­ ставляют свои часы на

шесть часов вперед. Перенесемся теперь

на три века вспять. Па­ русник в открытом море. Как определить долготу места, в котором он на­ ходится? Очень просто, если на корабле есть часы, поставленные в порту отправления. Нужно измерить местное время по солнцу и срав­ нить с показаниям и часов. Расхождение про­ порционально разнице

по долготе между тем пунктом, где находится корабль, и тем, в котором были поставлены часы.

Точный закон этой пропорциональности позволяет вывести простое соотношение: тремстам шестидесяти градусам земной окруж­ ности соответствуют двад­ цать четыре часа, за кото­ рые Земля совершает пол­ ный оборот вокруг своей оси. Поэтому если часы от­ стают по сравнению с местным временем на шесть часов, корабль нахо­ дится на 90° восточнее того места, где были поставле­ ны часы. Спешат на четыре

часа — на 60' западнее.

146

Разумеется, для подобного определения долготы нужны очень точные часы. А как можно требовать точ­ ности от маятниковых часов, которыми снабжен парус­ ник? Их ход зависит от длины маятника, а она то и дело меняется: теплый день сменяется прохладной ночью, и во время плавания парусник приближается то к голубым полярным льдам,.то к пальмам тропиков. Тепло удлиняет маятник, холод укорачивает. Такова неумолимая реаль­ ность.

И все-таки нашелся спо­ соб избежать неизбежного зла. Чудо совершил в 1726 году английский часовой мастер Джон Гаррисон. Это удалось ему потому, что он знал функциональ­ ную зависимость длины металлического стержня от температуры, до которой стержень нагрет.

Эту функцию (см. гра­ фик) описывает прямая линия. Такая зависимость

называется линейной. Суть ее в том, что одинаковым приращениям аргумента всегда соответствует одно й то же приращение функции. Иначе говоря, функция изме­

147

ряясь при нагревании и сокращаясь при охлаждении, стержни взаимно компенсировали изменения своей длины, и груз маятника оставался на одном и том же расстоянии от точки подвеса.

•

Так что же, собственно, изобрел Гаррисон? Какова математическая формула его изобретения? Как об этом сказать в двух математических словах?

Читатель, видимо, заметил, что левый график внизу отличается от предыдущего дополнительной линией. Она показывает, как ведет себя при нагревании изобре­ тенный Гаррисоном маятник с компенсацией. Его длина не зависит от температуры. Рассматриваемая как функ­ ция температуры, она постоянна при всех значениях аргумента. Такая функция называется постоянной, или констайтой (вот откуда на графике появилось латинское сокращенное const). Она тоже относится к классу линей­

ных— изображается все той же прямой линией. Подоб­ ная независимость от значения аргумента — простей­ ший случай линейной зависимости. Здесь значение функции можно назвать, не спрашивая об аргументе.

Из непостоянных линейных функций простейшая, по­ жалуй, та, значение которой всегда равно значению аргумента. График этой функции — биссектриса прямо­ го угла, стороны которого — оси координат.

Любая другая прямая, исходящая из начала коорди­ нат, иллюстрирует случай, когда функция прямо пропор­ циональна аргументу. Чтобы вычислить значение такой функции, apryMeHt умножают на коэффициент пропор­

148

циональности. Эту величину называют еще константой пропорциональности, или угловым коэффициентом: он может служить мерой наклона соответствующей прямой на графике. Чем больше угловой коэффициент, тем круче нарастает функция по мере роста аргумента. А если угловой коэффициент меньше нуля — функция спа­ дает.

Линейной функцией такого вида пользуются, когда определяют стоимость товара по весу или путь, прой­ денный в равномерном движении, по времени: коэффи­ циентом пропорциональности в первом случае служит цена, во втором — скорость.

На одной из предыдущих страниц, отметив, что не всякую функциональную зависимость удается выразить краткой формулой, мы не случайно в качестве примера представили вам, читатель, ключ от дверного замка: сейчас он в буквальном смысле послужит ключом к

149

небольшой математической проблеме, к которой нас подводит беседа о функциях.

Знаете ли вы, как таким ключом открывается дверной замок? Что происходит внутри этого слесарно-механи­ ческого устройства, когда вы вставляете ключ в замоч­ ную скважину и делаете положенное число оборотов?

Чтобы замок открылся, нужно провернуть барабан, в котором сделана скважина. Но этому препятствует штифты, стоящие тесным строем внутри скважины, скользящие вверх-вниз. Каждый из штифтов нужно под­ нять на такую высоту, чтобы их верхние торцы оказались вровень с поверхностью барабана. Если они выступят за нее, то войдут в прорезь обоймы, расположенную точно над замочной скважиной; если не достигнут поверхнос­ ти барабана, то из прорези обоймы находящиеся там штифты вдвинутся в замочную скважину. И в том и в другом случае вращение барабана будет застопорено.

Штифты в замочной скважине поднимает ключ, вдви­ гаемый в нее. При этом высота каждого штифта, будучи сложена с высотой профиля ключа в соответствующей точке, должна дать в сумме диаметр барабана. Только тогда он провернется.

Ну а причем здесь функции? Да притом, что, С точки зрения математика, вся эта механика есть не что иное, как операция сложения двух функций. Одна из них — это профиль ключа. Другая— линия, очерчивающая верхние торцы штифтов, когда замок заперт. Операция сложе­ ния функций состоит в том, что в каждой точке из общей области их определения к значению одной функции прибавляется значение другой. Тем самым определяет­ ся, какое значение в данной точке имеет функция, на­ зываемая суммой двух исходных.

Секрет дверного замка в том, что в результате сложе­ ния двух функций, выраженных профилем ключа и стро­ ем штифтов, получается функция-константа, постоянное значение которой равно диаметру барабана.

Функции можно не только складывать, но и вычитать. При этом в каждой точке области их определения из значения одной функции вычитается значение другой. Таким же образом происходит и перемножение функ­ ций: в каждой точке значение одной умножается на значение другой. Заметим: если одна из перемножае-

150