книги / Теория оптико-электронных следящих систем

(3.7.54)

Матрица плана (см. табл. 3.11), как обычно, написана для нормирован­ ных переменных, принимающих три значения: + 1, - 1 , 0. Переход от дей­ ствительных значений факторов к нормированным производится по форму­ ле (3.6.57). Уровни действительных переменных, использованных в по­ элементной математической модели ОЭС, задавались табл. 3.18.

В результате проведенных экспериментов был получен вектор наблю­ дений Y , представленный в табл. 3.19.

Расчет оценок коэффициентов по формуле (3.7.51) дает значения, при­ веденные в табл. 3.20 (первая строка —коэффициенты для нормированных переменных, вторая —для действительных).

Для проверки значимости коэффициентов находим остаточную сумму квадратов

Дисперсии оценок коэффициентов пропорциональны диагональным элемен­ там матрицы С

301

- c3s2 = 0,125 • s2 для взаимодействий.

Проверка значимости производится по формуле (3.6.45)

Для уровня значимости а = 0,1 и числа степеней свободы у = 4 из табли­ цы распределения Стьюдента имеем tKp = 2,132. В данном случае значимы­ ми оказались только свободный член а0 и коэффициент а22 ♦Поэтому из­ менение крутизны в данном случае может быть описано более простым уравнением

Но так как план В3 не ортогональный, то коэффициенты а0 и а22 должны быть вычислены заново по тем же экспериментальным данным, но с новой матрицей/(х), имеющей вид

и содержит три опыта. Поскольку проведено 14 опытов, то добавим еще один опыт в центре плана и сгруппируем по 5 опытов. Матрица F для это-

302

го случая имеет вид

Расчет коэффициентов по формуле (3.7.51) дает следующие оценки коэф­ фициентов для действительных переменных:

Все вычисления проводились на ЭВМ по блок-схеме, приведенной на рис. 3.40, с использованием стандартных программ матричной алгебры.

Аналитическая модель динамического контура. Рассмотрим пример ис­ пользования аналитической модели для анализа динамики замкнутого контура. В качестве характеристики будем рассматривать плотность ошиб­ ки слежения в зависимости от времени. Эта характеристика наиболее пол­ но описывает поведение динамической системы в вероятностном смысле. Аналитическая модель должна быть достаточно простой, чтобы можно

Рис. 3.41. Схема аналитической модели

было получить решение в явном виде, поэтому обычно ограничиваются си­ стемой первого или второго порядка. Схема такой модели приведена на рис. 3.41, где U(x) - дискриминационная характеристика, описываемая следующей зависимостью:

303

Гиростабилизатор описывается интегрирующим звеном с передаточной функцией

Дискретность поступления информации, например в телевизионных ОЭС, задается ключом Кл, формирующим мгновенные импульсы с пе­ риодом Т0, и фиксирующим звеном нулевого порядка с передаточной функцией

Внутренние шумы задаются случайным процессом £ш (f), спектр ко­ торого обычно много шире полосы пропускания замкнутого контура, поэтому его можно считать белым шумом. Скорость движения изображе­ ния задается угловой скоростью £20 •

Очень часто коэффициент усиления к зависит от уровня входного сиг­ нала, в этом случае амплитудные флуктуации сигнала, например за счет турбулентности атмосферы, соответствуют случайному коэффициенту усиления в контуре ОЭС. Представим коэффициент усиления в виде

выраженная в относительных единицах. Таким образом, случайную состав­ ляющую коэффициента усиления можно представить в виде дополнитель­ ного шума, уровень которого зависит от ошибки х.

Для решения задачи о слежении в нелинейных системах с учетом нестационарности рассматриваемого явления удобен аппарат марковских про­ цессов, широко используемый при исследовании непрерывных систем автоматического регулирования. Однако применению этого метода для исследования импульсных систем посвящено сравнительно небольшое число работ. На основе интегро-разностных уравнений в [27] найдены

304

интенсивности. Случайный коэффициент усиления приводит к появлению мультипликативного дискретного шума, зависящего от ошибки слежения.

Интегро-разностное уравнение для плотности распределения вероятно­ стей имеёт вид [27]

где f n(x) - плотность вероятностей случайного процесса в момент времени tn (п = 0, 1 , 2 , ...); A f n(x) — первая разность плотности случайного процесса.

Функция

щения Ахп случайного процесса хп в точке tn при заданном его значении х в тот же момент времени. Уравнение (3.7.72) справедливо для любого дискретного случайного процесса, для которого существует функция Ф„(Х, х), и в общем случае определяет лишь одномерный закон распреде­ ления значений процесса хп в любой заданный дискретный момент времени. В частном случае марковских последовательностей уравнение (3.7.72) справедливо для переходной плотности вероятностей при заданном значении в момент времени t = 0.

Динамические свойства системы, приведенной на рис. 3.41, с учетом

Здесь %шп и %кп —значения шумов £ш (г) и %k(t) в дискретные моменты времени tn .

Часто спектр амплитудных флуктуаций сигнала много шире полосы про­ пускания системы, поэтому его также можно считать белым шумом.

В этом случае шумы %шп и %кп являются дискретными белыми шумами,

ауравнение (3.7.74) описывает дискретную во времени марковскую после­ довательность хп .

Используя (3.7.73) и (3.7.74) при хп =х, получаем

305

Подставив (3.7.75) в (3.7.72), приведем его к виду

Уравнение (3.7.76) является рекуррентным соотношением, связываю­ щим плотности вероятностей в моменты времени t n и t n + i . Найдем в яв­ ном виде значение математического ожидания М {•} . При независимых внутренних шумах и флуктуациях сигнала можно записать

Т о + %кп То

Математическое ожидание случайного процесса у при экспоненциальном преобразовании у - e kz равно [68]

где о2 —дисперсия случайного процесса z. Так как дисперсия дискретного белого шума интенсивностью С0 конечна и равна С0/Т 0,то первый сомно­ житель в (3.7.77) можно записать в виде

найдем дисперсию выражения %knsin-^ у , считая процессы %кп и у незави­

симыми. Дисперсия произведения независимых случайных процессов равна

306

Учитывая, что среднее значение шума %к равно нулю, получаем

При интегрировании по X первый сомножитель в подынтегральном выра­ жении (3.7.83) можно рассматривать как характеристическую функцию

307

ПОСЛЕСЛОВИЕ

С появлением возможностей математического моделирования сложных динамических систем неизмеримо расширился круг решаемых задач. В самих методах аналитических исследований также произошли изменения: здесь стали играть заметную роль новые методы вычислительной матема­ тики, появилась теория программирования, алгоритмических языков и т.п. Многие аналитические методы под влиянием ’’машинной эйфории” оказались отодвинутыми на второй план. Но вскоре выяснилось, что многие теоретические и прикладные задачи не поддаются прямому реше­ нию с помощью ЭВМ. Некоторые примеры таких задач приводятся в главе 2 монографии. Среди них в первую очередь следует отметить асимптотичес­ кие методы, позволившие разбить возможные периодические режимы ОЭСС на непересекающиеся классы. Наиболее плодотворные результаты получаются при совместном использовании аналитических и численных ме­ тодов, причем численному решению задач обычно предшествует их качест­ венный анализ.

При идентификации математических моделей ОЭСС по данным натур­ ных испытаний возникает проблема поиска глобального экстремума в пространстве параметров со сложной топологией. Без рационального анали­ тического подхода прямое применение известных алгоритмов поиска экстремума не приводит к положительному результату.

Читатель, ориентирующийся в современных методах обработки изобра­ жений, быть может, ощутит некоторую неудовлетворенность, не найдя в первых двух главах сведений об аппаратурной реализации дискретных преобразований, без которых трудно представить современные и перспек­ тивные ОЭСС, содержащие цифровые устройства. Это недостаток частично восполняется в главе 3. Кроме того, появилась обширная литература, по­ священная этому вопросу. Здесь можно упомянуть монографии А. Розенфельда, У. Прэтта, Л.П. Ярославского, Г.И. Василенко, Т. Хуанга и др.

Необходимо иметь в виду, что функции измерителей многомерного сдвига изображений состоят в том, чтобы извлекать из сигналов с большим числом степеней свободы информацию о составляющих сдвига по малому числу компонент. Благодаря такой узкой специализации, в системах техни­ ческого зрения, не производящих визуализацию сопровождаемого сюжета, требования к составу операторов фильтрации оказываются совсем иными, чем в системах, обеспечивающих наилучшее воспроизведение деталей изображения для их кодирования или распознавания несмотря на иска-

309