книги / Теория оптико-электронных следящих систем

ГЛАВА 3

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫХ СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ

§ 3.1. Особенности математического моделирования ОЭСС

Виды моделирования. Существующие методы научных исследований можно разделить на три большие группы: экспериментальные, теоретиче­ ские и моделирование.

В настоящее время при решении многих задач науки и техники приме­ няется математическое моделирование на универсальных вычислительных машинах. Это обусловлено постоянно возрастающей сложностью решаемых задач, когда точное аналитическое решение практически невозможно ввиду значительных математических трудностей, а проведение экспериментальных исследований требует больших временных и экономических затрат или вообще бывает невозможным. В этих условиях математическое моделирование имеет ряд преимуществ перед другими методами исследова­ ний и позволяет в значительной мере решить одну из основных проблем современной науки —проблему сложности.

Применение математического моделирования для исследования систем автоматического управления проводится уже давно, сначала на аналоговых вычислительных машинах, затем на цифровых, которые в дальнейшем будем называть ЭВМ. Но только появление быстродействующих универ­ сальных ЭВМ создало условия для широкого применения математического моделирования систем управления.

Начало использования ЭВМ для моделирования оптико-электронных систем в нашей стране относится к середине 60-х годов. Сейчас этот метод исследования применяется при разработке практически всех новых оптико­ электронных систем управления. Это нашло свое отражение в том, что в литературе появилось много статей и даже монографий по отдельным вопросам математического моделирования на ЭВМ. Однако в этих работах рассматриваются в основном методы моделирования элементов систем автоматического управления и значительно меньше внимания уделено моде­ лированию входных сигналов и построению модели системы в целом. Имеется несколько работ по моделированию радиосистем, и практически совсем нет работ по математическому моделированию оптико-электронных систем управления. В данной работе делается попытка несколько воспол­ нить этот пробел.

Ввиду большого разнообразия оптико-электронных систем целесообраз­ но выделить общие элементы различных систем, а затем дать их математиче­ ское описание и алгоритмы моделирования. На этом принципе и основано

172

изложение материала в этой части книги. Математические модели рассмат­ риваются на уровне вычислительных алгоритмов, не касаясь конкретных языков программирования, так как по этому вопросу существует обшир­ ная литература.

Рассмотрим основные виды моделирования (рис. 3.1).

При физическом моделировании создается уменьшенная модель объекта или действующий макет системы управления. При полунатурном моделиро­ вании обычно исследуется готовый образец изделия с использованием

Рис. 3.1. Виды моделирования

различных имитаторов входных сигналов. При математическом моделирова­ нии поведение объекта описывается системой уравнений, которые решают­ ся на аналоговых или цифровых вычислительных машинах. Часто приме­ няется комбинированное моделирование; полунатурное с математическим.

Физическое моделирование применяется в основном на первом этапе разработки для выявления закономерностей протекания исследуемых процессов. Полунатурное моделирование используется чаще всего на последнем этапе создания системы как средство проверки функционирова­ ния изделия в условиях, близких к естественным. Наиболее широкое при­ менение находит математическое моделирование, которое используется на всех этапах создания изделия, начиная от проектирования и кончая испытаниями. Использование математического моделирования позволяет значительно сократить сроки разработки, уменьшить стоимость, получить оценку работы системы в широких условиях применения.

Наиболее универсальным является математическое моделирование на цифровых вычислительных машинах. Основные преимущества цифрового моделирования:

—численные эксперименты на ЭВМ точно воспроизводимы, поэтому можно повторять эксперимент в одних и тех же условиях;

—точно известны все условия эксперимента и параметры модели, что невозможно при других видах моделирования;

—возможно проведение ’’чистого” эксперимента, т.е. исследования влия­ ния отдельных факторов, не зашумленного посторонними воздейст­ виями;

—цифровое моделирование позволяет воспроизводить широкий диапа­

зон внешних условий, трудно реализуемый в физическом эксперименте

ипри полунатурном моделировании;

—эксперименты на ЭВМ экономически выгоднее физических экспери­ ментов;

173

—на первой стадии разработки моделирование на ЭВМ является единст­ венным средством получения достоверной информации о работе проекти­ руемой системы.

Недостатком моделирования на ЭВМ по сравнению с аналоговым и полунатурным моделированием является невозможность моделирования сложных систем в реальном масштабе времени, однако этот недостаток постепенно смягчается по мере повышения быстродействия ЭВМ.

В дальнейшем рассматривается только математическое моделирование на цифровых вычислительных машинах.

Типы моделей. Основным этапом математического моделирования яв­ ляется создание математической модели исследуемой системы, т.е. матема­ тическое описание процесса функционирования с учетом внешних воз­ действий.

В зависимости от априорной информации о механизме функционирова­ ния исследуемой системы математические модели могут быть различной степени сложности. Один крайний случай составляют модели типа ’’черного ящика”, когда ничего не известно о внутреннем устройстве объекта и модель создается по результатам наблюдений над входными и выходными

В этом случае структура модели повторяет структуру объекта, т.е. создает­ ся так называемая поэлементная модель или модель, топологически иден­ тичная с изделием. Схематически эти два случая изображены на рис. 3.2.

Модели первого типа отличаются простотой и могут быть использованы для моделирования в реальном масштабе времени. Модели второго типа дают наиболее ценные результаты, так как позволяют исследовать поведе­ ние объекта в различных условиях и проводить оптимизацию параметров и структуры по определенным критериям. Основное внимание в книге уде­ лено моделям этого типа, т.е. поэлементным моделям, и только в § 3.6 рассматривается построение моделей типа ’’черного ящика” по эксперимен­ тальным данным.

Рис. 3.2. Типы моделей

При использовании любых математических моделей будет рассмат­ риваться так называемое имитационное моделирование, т.е. модель должна давать выходной сигнал, достаточно близкий к выходному сигналу изделия. Степень близости модели к изделию может быть оценена по раз­ личным критериям. Для моделей типа ’’черного ящика” наиболее часто используется среднеквадратический критерий, т.е. добиваются минимума функции

174

где YM — выход модели; Y —выход объекта при одинаковом входном воздействии.

Для поэлементных моделей критерием близости может быть сравнение различных характеристик —дискриминационных, пеленгационных, частот­ ных, переходных процессов и др.

Создание поэлементных моделей основывается на принципе функцио­ нального моделирования, согласно которому модель воспроизводит функцию оригинала, например алгоритм преобразования входных сигналов в выходные, при этом модель и объект не подобны в целом, так как при моделировании опускаются несущественные с информационной точки зрения подробности выполнения отдельных функциональных блоков (ламповые, транзисторные, интегральные схемы и т.п.). Такая модель состоит из блоков, описываемых некоторыми обобщенными характеристи­ ками. Более подробное моделирование, когда рассматриваются схемы по­ строения отдельных блоков, называется моделированием на уровне принци­ пиальных схем. В дальнейшем будет рассматриваться только функциональ­ ное моделирование. Такие модели являются эффективными для оценки алгоритмов обработки сигнала, оценки помехозащищенности, оценки точ­ ности слежения, оптимизации по определенным критериям и т.д.

В задачу математического моделирования входит не только математиче­ ское описание, т.е. создание математической модели объекта, но и разработ­ ка вычислительных алгоритмов, т.е. методов решения поставленной математической задачи с учетом устойчивости, точности и быстроты вычислений. Алгоритм моделирования является готовым материалом для написания программы на конкретном языке программирования.

Таким образом, в дальнейшем будет рассматриваться имитационное функциональное математическое моделирование на ЭВМ. Основные задачи при этом: построение поэлементных математических моделей и вычисли­ тельных алгоритмов.

Какие требования предъявляются к ЭВМ, используемым для математиче­ ского моделирования? Для этой цели наиболее подходят универсальные цифровые вычислительные машины типа БЭСМ-6 и серии ЕС. Эти машины отличаются большим быстродействием и большой оперативной памятью. Объем программы математической модели оптико-электроннбй системы

смоделью входных сигналов может достигать 30 кбайт. Существенно, что­ бы вся программа была расположена в оперативной памяти, так как обмен

свнешними устройствами требует много времени. Скорость счета больших универсальных машин доходит до 1 млн. операций в секунду. Но даже и при таком быстродействии моделирование сложных систем в реальном времени невозможно. Изменение масштаба времени характеризуется коэффйциентом масштаба

t м

kt = — , (3.1.2) t

где t —время работы исследуемой системы; гм —время счета на ЭВМ. Например, для сложных моделей коэффициент масштаба может дости­

гать 1000, т.е. моделирование одной секунды работы изделия занимает при­ мерно 17 минут машинного времени. Отсюда ясно, какое большое значение для моделирования имеют быстродействие и память ЭВМ.

175

ЭВМ должна быть оснащена широким набором вводных и выводных устройств. Данные в машину могут вводиться с перфокарт, перфолент, с магнитной ленты, с телеграфа и фототелеграфа, с дисплея. Выходная ин­ формация может выводиться на узкую печать, широкую печать, на перфо­ карты и перфоленты, на магнитную ленту, в виде таблиц на АЦПУ, на экран дисплея, в виде графиков на графопостроителе. Последнее представление наиболее наглядно.

Основные элементы моделей оптико-электронных систем. Для целей ма­ тематического моделирования удобно классифицировать оптико-электрон­ ные системы по следующим признакам:

—тип источника излучения; —диапазон оптического излучения; —тип анализатора изображения; —метод выделения координат объекта.

Тип источника излучения (излучающий объект, отражающий объект) определяет тип оптико-электронной системы. Используемый оптический диапазон совместно с типом системы определяет метод расчета входного сигнала. Тип анализатора изображения задает методику моделирования преобразования оптического сигнала в электрический. Метод выделения координат объекта задает структуру электронно-усилительного тракта. Все эти признаки представлены в табл. 3.1.

Пассивная система воспринимает оптическое излучение самоизлучающих объектов или объектов, подсвеченных естественным освещением. Полуактивная система воспринимает оптическое излучение искусственно подсвеченных объектов со стороны. Активная система воспринимает из­ лучение объектов, подсвеченных излучателем, расположенным в самой оптико-электронной системе.

Анализаторы изображения (АИ) делятся по степени разложения изоб­ ражения на отдельные элементы. Модулирующий анализатор изображения осуществляет модуляцию оптического излучения перед фотоприемником, интегрально воспринимающим оптический поток. Матричный анализатор производит разложение изображения на ограниченное число элементов. Растровый анализатор разлагает изображение на большое число элементов и в пределе производит непрерывную развертку (например, телевизион­ ный анализатор изображения).

Выделение объекта из окружающего фона может производиться по его яркости, контрасту относительно фона или корреляционными методами.

Обобщенная схема оптико-электронной системы самонаведения в общем

176

Рис. 3.3. Обобщенная схема оптико-электронной следящей системы

ох типа конкретной системы можно выделить следующие основные элемен­ ты: объект, фон, помехи, атмосфера, объектив, фотоприемник и анализа­ тор изображения, усилительный тракт, гиростабилизатор оптической сис­ темы в пространстве. В связи с этим полные математические модели опти- Зко-электронкых систем с разными принципами действия содержат общие основные блоки:

—модель объекта; —модель атмосферы,

—модель оптической системы, —модель анализатора изображения и фотоприемника,

—модель электронно-усилительного тракта, —модель гиростабилизатора (исполнительного элемента), —модель фонов и флуктуаций сигналов.

Получив математическое описание и алгоритмы моделирования рассмот­ ренных основных элементов, нетрудно составить полную поэлементную модель любой оптико-электронной системы.

Ниже даются методы моделирования отдельных элементов оптико­ электронных систем, а в § 3.7 рассмотрен пример построения поэлемент­ ной модели системы. При этом учитывается следующее. Построение модели объекта и атмосферы основывается на законах излучения, отражения и распространения оптического излучения в атмосфере и достаточно под­ робно рассмотрено в специальной литературе (см., например, [48, 49]) . По­ этому в данной работе рассматривается методика моделирования преобра­ зований сигнала оптико-электронной системы, начиная с ее оптического входа.

§ 3.2. Математическое моделирование преобразования сигнала в оптико-электронном тракте

Моделирование изображения в фокальной плоскости. П о с т р о е н и е и з о б р а ж е н и я т о ч е ч н о г о о б ъ е к т а . Рассмотрим преобразова­ ние оптической системой распределения яркости в пространстве предметов в функцию распределения освещенности в плоскости изображения, схе­ матически представленное на рис. 3.4. Объект расположен в плоскости

Xg Og Yg) изображение объекта образуется в плоскости XOY. Оптическая система (ОС) условно показана в виде одной линзы; / — фокусное рас­ стояние объектива; ос —апертурный угол; L — расстояние до плоскости предметов. Каждой точке объекта с координатами^^, yg )соответствует точка изображения с координатами (х, у ) .

Рассмотрим точечный объект, расположенный в начале координат Og . Изображение этого объекта по многочисленным причинам (аберрации, дифракция и т.д.) занимает некоторую область вокруг точки О, образуя

Рис. 3.4. Геометрия оптического изображения

так называемый кружок рассеяния или функцию рассеяния точки (ФРТ). Распределение освещенности внутри кружка рассеяния, являющееся функ­ цией координат, обозначим g(x, у). Если представить точечный объект

Если объект находится в точке с координатами^, у^),то его изображе­ ние имеет распределение освещенности, зависящее от координат объекта g(x, у у х \ у*) 9 где х * = Mxg , у т= Myg , а М —передаточный коэффициент оптической системы по трансформации координат, характеризующий мас­ штаб изображения и равный

(3.2.1)

С учетом переворота изображения оптической системой коэффициент^ имеет знак ’’минус”, однако в большинстве случаев математического моделирования это может не учитываться.

Функция рассеяния точки или импульсная характеристика g(xf у) является одной из важнейших характеристик оптической системы. При математическом моделировании ОЭС в соответствии с принципом функ­ ционального моделирования не рассматривается конструкция конкретных объективов, а оптическая система задается ее ФРТ. Величина кружка рас­ сеяния определяет разрешающую способность оптической системы, т.е. минимальное расстояние между двумя точечными объектами, когда они еще различаются отдельно. Для математического моделирования величина кружка рассеяния (обычно в линейных размерах) задается разработчиком оптической системы. На предварительных этапах моделирования качество оптической системы для видимого диапазона может быть оценено через

178

диаметр входного зрачка по формулам [10]

122

(3.2.2)

где г0 —радиус кружка рассеяния; ф —угловой размер кружка рассея­ ния в угловых минутах; D — диаметр входного зрачка в миллиметрах.

Если задана разрешающая способность фл в линиях на миллиметр, то величина кружка рассеяния определяется просто:

Импульсная характеристика оптической системы зависит от направле­ ния падения лучей на оптическую систему и является несимметричной функцией относительно положения точечного излучателя. В общем виде ФРТ могут быть следующих типов в порядке возрастания сложности [87]:

а) разделимая пространственно-инвариантная ФРТ

Практически, учитывая небольшое поле зрения большинства ОЭС автоматического управления, удается хорошо описать ФРТ выражениями типа (3.2.4) и (3.2.6), но в ряде случаев для учета неравномерности разрешения по полю зрения приходится использовать и пространственно-зависимые ФРТ.

А п п р о к с и м и р у ю щ и е в ы р а ж е н и я д л я ФРТ. Рассмотрим выражения, описывающие распределение освещенности в пятне рассея­ ния. Теоретически ФРТ описывается только для идеального объектива, в котором отсутствуют аберрации. Вследствие дифракции даже идеаль­ ный объектив дает изображение изолированной точки в виде пятна конеч­ ных размеров, распределение освещенности в котором описывается функ­

Для реальных оптических систем импульсную характеристику невозможно записать в виде точной формулы, поэтому она описывается прибли­ женно.

При математическом моделировании используются обычно следующие допущения.

1.Функция рассеяния точки принимается симметричной относитель­ но начала координат и относительно положения точечного излучателя в силу малости углов поля зрения оптической системы и отклонения объек­ та от оптической оси в системах автоматического управления.

2.Функция рассеяния точки аппроксимируется простыми и удобными для вычисления выражениями, не содержащими специальных функций.

Наиболее часто используются следующие аппроксимирующие формулы. Аппроксимация функцией Гаусса. Распределение освещенности в круж­

ке рассеяния задается формулой

х2 +у2

Константа с выбирается из условия, чтобы радиус горизонтального сече­ ния гауссоиды на заданном уровне от максимального (0,02-0,05) был равен радиусу кружка рассеянияг0, т.е.

Такая нормировка удобна для введения’ в математическую модель абсо­ лютного уровня сигнала, для чего достаточно вычислить величину сигнала на входе оптической системы и умножить на коэффициент пропускания оптики. С учетом (3.2.12) получим

180