книги / Теория оптико-электронных следящих систем

значение яркости В устанавливают равным единице. В вероятностном кван­ тователе сигнал преобразуется по формуле нормального распределения

где Од, тв —дисперсия и среднее значение исходного поля. Практически в программе для ЭВМ функция (3.3.20) задается таблично.

При использовании таких полей в математической модели ОЭС сигнал подвергается обратному нелинейному преобразованию. Этот метод дает экономию памяти ЭВМ, так как сжатие диапазона значений сигнала путем нелинейного преобразования позволяет использовать меньшее количество уровней квантования. Кроме того, здесь уменьшаются ошибки, свойствен­ ные линейному квантователю, за счет ограничения сигнала, имеющего ред­ кие большие выбросы.

Дифференциальная импульсно-кодовая модуляция. Уменьшение коли­ чества квантования может быть достигнуто применением разностных мето­ дов, широко используемых в технике передачи изображений. Наиболее распространенным является метод дифференциальной импульсно-кодовой модуляции (ДИКМ). В основе разностных методов кодирования сигнала лежит формирование разностей между текущим отсчетом и предсказан­ ной величиной, которая определяется по ряду предыдущих отсчетов спе­ циальным устройством — предсказателем [134]. Этот разностный сигнал имеет более узкую полосу и поэтому может быть проквантован на меньшее количество уровней по амплитуде, чем и достигается экономия памяти.

Частным случаем ДИКМ является дельта-модуляция, при которой раз­ ностный сигнал квантуется только на два уровня. Как правило, при кван­ товании разностного сигнала используют неравномерную шкалу квантова­ ния.

Для двумерных изображений и разделимой по строкам и столбцам ДИКМ разностное изображение определяется выражением [87]

пп

Afc,/=\ /“ 2 Pjbk _ ^/- 2 qjbk i _ j +

/ = ! / = !

где bk%i —элементы исходного изображения. Здесь используются 2п коэф­ фициентов предсказателя pitqj.

Если изображение имеет разделимые статистические характеристики, то предсказатель описывается двумя треугольными матрицами

для предсказания по столбцам и строкам. В этом случае матрица разност-

Если производить кодирование только построчно, то разностный сигнал

/= 1

изависит от п коэффициентов.

Восстановление исходного сигнала производится по формуле

Коэффициенты предсказателя Pi, qj выбираются по различным крите­ риям в зависимости от статистических характеристик изображения. Опти­ мальный выбор этих коэффициентов и их количества (порядок предсказа­ теля) является самостоятельной сложной задачей. В [100] показано, что повышение порядка предсказателя выше третьего не дйет дальнейшего ощутимого снижения ошибки кодирования. Для двумерного поля с экспоненциальной корреляционной функцией вычислены коэффициенты по минимуму среднеквадратической ошибки предсказания, равные (для двумерного предсказателя первого порядка)

При этом обеспечивается среднеквадратическая ошибка предсказания 4,3%.

Практические работы с ДИКМ показывают, что разностный сигнал нуж­ но представлять числом, содержащим три-четыре двоичных разряда. Поэто­ му ДИКМ может дать выигрыш в памяти ЭВМ только при кодировании цифровых изображений с большим количеством уровней квантования

ражение переводится в некоторую обратимую форму, более удобную для дальнейшего использования. Обычно применяется разложение по системе дискретных ортогональных функций.

Матрицы исходного изображения В размера N X N и преобразованного

Матрицу изображения/? можно представить в форме

пп

212

Произведения ut vf являются двумерными ортогональными функциями. Таким образом, выражение (3.3.27) задает разложение изображения по системе дискретных двумерных ортогональных базисных функций.

Выбор преобразований, выражаемых матрицами U и V, произволен. Эти матрицы могут выбираться как из одинаковых, так и из различных базисных функций. Всего в разложении будет N 2 членов. Возможны раз­ личные сочетания ортогональных систем, при которых U ФУ.

Энергия изображения сосредоточена в основном в нескольких наиболее значимых коэффициентах разложения. Следовательно, для сохранения определенной верности закодированного изображения по отношению к исходному нужно запомнить лишь несколько коэффициентов из общего количества N 2. Таким образом можно достичь значительной экономии памяти для хранения изображения. Полеченное закодированное изображе­

Как показьюают работы по цифровому кодированию изображений [87], использование ортогональных преобразований позволяет уменьшить тре­ буемую емкость памяти приблизительно на порядок.

Обзор ортогональных преобразований. Для кодирования изображений могут быть использованы различные ортогональные преобразования [87]. Наиболее распространенными являются преобразования Фурье, Уолша, Хаара, косинусное, синусное, наклонное, Карунена—Лоэва, сингулярное. Наиболее оптимальным преобразованием в смысле уменьшения нормы разности является сингулярное разложение по собственным векторам матрицы В . При этом достигается наибольшая декорреляция полученных коэффициентов, так как матрица а получается диагональной (все а у, для которых i Ф], равны нулю). Но это преобразование требует наибольше­ го количества вычислений и не имеет быстрого алгоритма.

Преобразование Карунена—Лоэва по собственным векторам ковариа­ ционной матрицы изображения использует статистические характеристики двумерного поля и минимизирует средний квадрат нормы разности (3.3.29). Это преобразование оптимально в статистическом смысле, но не имеет быстрого алгоритма.

Близкие результаты дают дискретное преобразование Фурье, косинус­ ное, синусное, наклонное. Кроме того, все они имеют быстрые преобразо­ вания и, следовательно, не требуют большого количества вычислений.

Наиболее удобны для кодирования изображений при математическом моделировании преобразования Уолша и Хаара, имеющие быстрые алгорит­ мы. Наименьшее количество вычислительных операций, равное 2 (N — 1), требует преобразование Хаара.

В большинстве случаев кодирование изображения производится только по столбцам или строкам, т.е. используются только одномерные базисные

213

SUBROUTINE FHART (Х,У N,N1)

REAL X(N),y(Nl)

W = 2.0**0.5

L=N 1

B0T0 3 1 L -L /2

DO 2 I=L1,N

2 X (I)=X (I)*W

3 J=1

DO 4 -I = l,L

A1=X(T)

A 2=X (J+l) X(I)-A1+A2

У(1)=А1-А2

4 T=J+2

DO 5 I-1,L

5 X (I+L )=y(l) IF(L.EQ.l) SO TO 6 L1=L+1

BOTOl

6 CONTINUE

RETURN END

Рис. 3.17

Рис. 3.15. Функции Хаара

Рис. 3.16. Граф быстрого преобразования Хаара Рис. 3.17. Программа быстрого преобразования Хаара

функции U или V. Тогда каждая /-я строка изображения может быть пред­ ставлена в виде

т.е. определяется ^коэффициентами разложения а^по базисным функциям Vj9заданным N значениями. Коэффициенты разложения для каждой строки определяются по формуле

214

Использование усеченного разложения для строки

к

На рис. 3.15 приведены первые восемь функций Хаара, а на рис. 3.16 и 3.17—граф и программа быстрого преобразования Хаара на языке ФОРТРАН.

Представление изображения коэффициентами разложения в ортогональ­ ном базисе одновременно с экономией памяти позволяет провести фильтра­ цию, так как исключение определенных коэффициентов разложения озна­ чает исключение из сигнала соответствующих частот.

Возникает вопрос о необходимом количестве членов в разложении (3.3.32). Эта величина зависит от структуры изображения и типа модели­ руемой ОЭС. В большинстве случаев можно получить коэффициент сжатия информации, равный N/k = 5 -НО.

Дальнейшее уменьшение необходимой памяти может быть осуществле­ но применением гибридного метода кодирования, когда полученное усе­ ченное разложение по строкам кодируется по столбцам с использованием ДИКМ. При этом может быть достигнут коэффициент сжатия, равный 25—50, но за счет большой сложности программ кодирования и обратного декодирования.

§ 3.4. Математическое моделирование обработки сигнала в электронном тракте ОЭС

Функциональные звенья электронного тракта ОЭС. Х а р а к т е р и с т и ­ к и л и н е й н ы х з в е н ь е в . При построении лоэлементных математи­ ческих моделей электронный тракт оптико-электронных систем представ­ ляется в виде совокупности отдельных функциональных звеньев (каждое со своим входом и выходом), не оказывающих влияния друг на друга. Различают линейные и нелинейные звенья. Звено назьюается линейным, если для него справедлив принцип суперпозиции, т.е. выходной эффект от суммы входных сигналов равен сумме реакций на каждый сигнал. Пусть звено производит некоторую операцию А , так что у = А(х). Тогда для линейного звена выполняются соотношения

В дальнейшем будем рассматривать линейные динамические звенья с посто­ янными параметрами, т.е. описываемые обыкновенными дифференциаль­ ными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Линейные звенья могут быть заданы различными характеристиками, связанными между собой [95].

Дифференциальное уравнение дает зависимость между входом и выхо­

215

Передаточная функция звена определяется как отношение преобразован­ ных по Лапласу входного и выходного сигналов (при нулевых начальных условиях)

s = c +/ со.

Формально передаточная функция может быть получена из дифференциаль­ ного уравнения заменой операторов (d/df)-*s. Тогда сучетом (3.4.2) имеем

Для физически реализуемых систем выполняется условие I < т.

Частотная характеристика описьюает реакцию звена на гармонический входной сигнал и определяется как отношение преобразований Фурье входного и выходного сигналов

Частотная характеристика получается из передаточной функции заменой операторов s ->/со.

Импульсная характеристика g(t) звена есть реакция на 5-функцию. Частотная и импульсная характеристики связаны между собой парой преоб­ разований Фурье

Для физически реализуемых систем g(r) = 0 при t < 0.

Различные характеристики линейного звена, по существу, описьюают его реакцию на различное тестовое воздействие: гармонический сигнал, 5-функцию и т.д. В общем случае для произвольного входного сигнала связь между входом и выходом звена описывается интегралом свертки

216

Для поэлементного функционального моделирования наиболее удобно характеризовать звено передаточной функцией и импульсной характери­ стикой.

Т и п о в ы е л и н е й н ы е з в е н ь я э л е к т р о н н о г о т р а к т а ОЭС. Наиболее часто встречающиеся линейные звенья электронного тракта описываются следующими передаточными функциями.

Интегрирующее звено с передаточной функцией

где T —период собственных колебаний при отсутствии затухания; f — коэффициент затухания.

Колебательный контур:

В ОЭС апериодическое звено описьюает гиростабилизатор, двигатель и интеграторы в системе автоматического регулирования. Апериодическое и дифференцирующее звенья описьюают частотную характеристику поло­ совых усилителей и фильтров, колебательное звено описьюает колебатель­ ные свойства гиростабилизатора, колебательный контур характеризует свойства резонансных усилителей.

Дня дальнейшего изложения необходимо рассмотреть запаздывающее звено, поэтому приведем его характеристики.

Запаздывающее звено описывается уравнением

т.е. выходной сигнал, не Изменяя формы, отстает от входного на время т. Передаточная функция описывается выражением

На комплексной плоскости частотная характеристика имеет вид окруж­ ности единичного радиуса, по которой конец вектора W(joo) многократно

217

проходит по часовой стрелке с изменением частоты от нуля до бесконеч­ ности с периодом 2я/т. Моделируется запаздывающее звено следующим образом. Если время запаздывания т = иД£ где At — шаг счета модели по времени, то вводится п промежуточных ячеек памяти и входной сигнал последовательно, на каждом такте счета, пересылается из ячейки в ячейку. Через п шагов сигнал появится на выходе, т.е. будет задержан на время т.

Рассмотрим методы моделирования линейных динамических звеньев. Моделирование линейных звеньев с использованием формул численного

линейного звена получаются разные математические алгоритмы вычисления сигнала на выходе линейного фильтра. Рассмотрим случай, когда звено задано передаточной функцией JV(s). При математическом моделировании операция дифференцирования производится с большими погрешностями, чем операция интегрирования. Поэтому линейное звено представляют в виде фильтра, содержащего только интеграторы и не содержащего звеньев чистого дифференцирования. Поскольку передаточная функция физически реализуемых систем всегда имеет вид дробно-рационального выражения (3.4.5), то выделение интеграторов производится путем деления числителя

на рис. 3.18. Такой фильтр называют рекурсивным, так как при расчете выходного сигнала наряду со значениями входного сигнала используются значения и выходного сигнала в предыдущие моменты времени [20].

218

Рис. 3.18. Рекурсивный линей­ ный фильтр

Из общей структуры ре­ курсивного фильтра полу­ чаются частные случаи для типовых линейных звеньев электронного тракта ОЭС, описываемых передаточны­ ми функциями (3.4.11) — (3.4.14). Структурные схе­ мы этих звеньев приведены на рис. 3.19.

Итак, типовые линейные звенья могут быть представ­ лены в виде структуры с об­ ратной связью, содержащей интеграторы. Точность мо­ делирования и устойчивость счета в значительной мере зависят от того метода, каким производится интег­ рирование. Рассмотрим наи­ более распространенные ме­ тоды численного интегирования [12], основанные на замене интеграла конечной суммой.

Метод прямоугольников:

а^

Метод парабол (Симпсона):

а3

Эти методы дают хорошие результаты при моделировании обработки сигнала в электронном тракте.

Точность интегрирования зависит от шага h = At и вида функции y(t) . Аналитические выражения этой зависимости довольно сложны. Обычно требуемая величина шага интегрирования подбирается опытным путем (сравнением между собой результатов счета при разных At). Точность вычислений всего звена,' как системы с обратной связью, зависит от вида дифференциального уравнения. Математическое моделирование линейных

219

Рис. 3.19. Структурные схемы типовых звеньев

динамических звеньев означает, по существу, численное решение дифферен­ циальных уравнений. Тогда метод трапеций соответствует методу Эйлера решения дифференциальных уравнений, а метод парабол — методу Симп­ сона.

При моделировании динамических звеньев очень важен вопрос об устой­ чивости счета. Это значит, что ошибки вычислений не должны накапливать­ ся, иначе процесс будет расходящимся. Устойчивость счета зависит также от шага интегрирования. В некоторых случаях для обеспечения устойчиво­ сти счета приходится выбирать шаг интегрирования гораздо меньшим, чем для получения необходимой точности. Отметим, что звенья первого порядка устойчивы при любом разумном шаге счета (здесь At определяется требуемой точностью вычислений).

Рассмотрим метод определения необходимого шага счета для устойчи­ вости колебательного звена, вытекающий из теории импульсных систем [135]. Звено устойчиво, если корни знаменателя передаточной функции, умноженные на At, расположены внутри окружности радиуса R = 1 с цент­ ром в точке (-1 , 0). Обозначим корни знаменателя р 1>2- Тогда условие устойчивости запишется в виде

[1 + Re(Ar • pi)]2 + 1т2(Дг • рх) < 1,

(3.4.24)

[1 + Re(Af • Р2)]2 + 1т2(Дг • р2) < 1,

где Re z и Im z - действительная и мнимая части корней. Поскольку звено второго порядка имеет комплексно-сопряженные корни, можно исполь­ зовать одно из неравенств.

В качестве примера найдем необходимый шаг счета для моделирования резонансного усилителя с передаточной функцией (3.4.14). Корни

220