книги / Теория оптико-электронных следящих систем

так как x0i = 1 , a x£t > 0. Здесь x ki - к-я независимая переменная в 1-м опыте.

Для ортогональности плана необходимо преобразовать модель (3.6.3)

есть средний квадрат независимых переменных. Чтобы перейти от модели

к= 1

Вобщем случае матрица F для центрального ортогонального компози­ ционного плана представлена в табл. 3.6. Легко видеть, что общее число точек плана равно

Это меньше, чем при планировании 3". Например, для п = 3 при использо­ вании в качестве ядра плана полного факторного эксперимента 2 3 полу­ чим N - 15, тогда как планирование Зп требует 27 -опытов. Заметим, что в качестве ядра плана можно использовать дробные реплики 2 ” “ р, только начиная с пяти независимых переменных, иначе в матрице F будут совпа­ дающие столбцы и план не удастся сделать ортогональным.

Рассмотрим выбор плеча а ортогональных планов. Из матрицы планиро­ вания видно, .что скалярные произведения столбцов при линейных членах и парных взаимодействиях равны нулю при любом выборе а (не зависят от а ) . От величины а зависят столбцы при членах х 2—0, их попарные произ­ ведения не равны нулю в общем случае. Приравнивая нулю сумму произ­ ведений элементов двух таких столбцов, получаем условие выбора а, обеспечивающее ортогональность плана:

271

Таблица 3.6

Матрица F

Номер опыта /

Решая (3.6.96) относительно а, получаем величину плеча, обеспечивающую ортогональность плана:

В табл. 3.7 приведены параметры ортогональных центральных компози­ ционных планов для различного числа независимых переменных.

В ы ч и с л е н и е к о э ф ф и ц и е н т о в м о д е л и п р и о р т о г о ­

272

где

т0 =N= 2" ~ р + 2п + 1 ;

т1 = 2" р + 2а2;

т3 = 2 ” - р -

/„ —единичная матрица размера и; (л ) —число сочетаний из и по 2. Отсюда

Значения элементов дисперсионной матрицы для различных п приведены в табл. 3.8.

Оценки коэффициентов модели рассчитываются независимо друг от дру­ га, но поскольку элементы дисперсионной матрицы различны, то коэффи­ циенты при разных факторах вычисляются по разным формулам:

Таким образом, в квадратичных моделях коэффициенты вычисляют с различной точностью, причем наибольшей погрешностью обладают коэффи­ циенты при квадратах переменных.

Оценка значимости коэффициентов и проверка адекватности модели производится так же, как и при использовании линейных моделей.

Оптимальные планы. К р и т е р и и о п т и м а л ь н о с т и . Будем счи­ тать, что вид модели задан, а обработка экспериментальных данных прово­ дится методом наименьших квадратов. Рассмотрим качество плана с точки зрения достигнутой точности модели. Как видно из (3.6.38) и (3.6.39), точность оценок коэффициентов и выхода модели определяется матрицей С, которая при заданном виде модели зависит от расположения точек в фак­ торном пространстве.

Задача планирования эксперимента заключается в том, чтобы наилучшим образом расположить точки в заданной области с целью выполнения опреде­ ленного критерия оптимальности. При этом результат зависит от вида области. Естественно, что найти заранее планы для всех возможных обла­ стей нельзя, поэтому теория планирования эксперимента занимается плана­ ми для специальных областей (например, дня гиперкуба), а также способа­ ми нахождения планов дня произвольных заданных областей [129].

В зависимости от конкретной задачи могут быть использованы различ­ ные критерии оптимальности плана. Два критерия оптимальности уже встречались выше.

К р и т е р и й о р т о г о н а л ь н о с т и п л а н а . Экспериментальные

полного факторного эксперимента и дробные реплики, а также специаль­ ным образом построенные планы второго порядка, как показано выше. Использование критерия оптимальности позволяет упростить вычисления (не нужно решать систему уравнений) и получить независимые оценки коэффициентов. Это значит, что замена любого коэффициента модели нулем не изменит оценок остальных коэффициентов. Такое свойство ортогональных планов очень полезно, когда точный вид модели неизвестен и необходимо отобрать переменные, существенно влияющие на выходную величину.

К р и т е р и й р о г а т а б е л ь н о с т и п л а н а требует такого распо­ ложения точек в области планирования, при котором дисперсия о1аоценки выхода в точке х зависит только от расстояния этой точки до центра плана. Такой критерий дает равнозначность всех направлений в области планиро­ вания от центра плана. Условие ротатабельности плана получается из форму­ лы (3.6.39):

Ротатабельными являются линейные планы для моделей без .взаимодейст­ вий и специальным образом построенные планы второго порядка.

Рассмотренные критерии обеспечивают полезные и удобные свойства оценок коэффициентов, однако они никак не связаны с требованием максимальной точности построения модели. В связи с развитием вычисли­ тельной техники стали применяться критерии, требующие более трудо­ емких вычислений, но обеспечивающие оптимальность планов с точки

при котором матрица С имеет минимальный след, т.е. сумма диагональных элементов минимальна. Так как диагональные элементы cti пропорциональ­ ны дисперсии оценок коэффициентов, то критерий А -оптимальности, по существу, требует минимизации средней дисперсии оценок коэффициентов модели. Математически условие А -оптимальности записывается в виде

где Хп —произвольный план; Х„ —оптимальный план; £1Х—область плани­ рования.

К р и т е р и й О п т и м а л ь н о с т и требует такою расположения точек в области планирования, при котором определитель матрицы С мини­ мален. 73-оптимальный план минимизирует объем эллипсоида рассеяния оценок коэффициентов, так как геометрический смысл определителя — объем в и-мерном пространстве. Математически критерий/7-оптимальности записьюается в виде

чек в области факторного пространства, при котором достигается наимень­ шая величина максимальной дисперсии оценки выходной переменной, т.е.

В отличие от критериев А- и /7-оптимальности, связанных с точностью коэффициентов модели, критерий G-оптимальности требует максимальной точности оценки выхода.

Наибольшее распространение получил критерий /7-оптимальности, так как такие планы при весьма общих допущениях являются одновременно А- и G-оптимальными. Заметим, что планы полного и дробного факторных экспериментов, используемые для построения линейных моделей с взаимо­ действиями любого порядка, являются одновременно D-, G- и ^4-оптималь­ ными, если область планирования есть гиперкуб с вершинами в точках ± 1 , а матрица F не содержит одинаковых столбцов (т.е. оценки коэффициентов не смешаны). Это еще одно важное свойство факторного эксперимента.

О п т и м а л ь н ы е п л а н ы д л я к в а д р а т и ч н ы х м о д е л е й . Рассмотрим построение /7-оптимальных планов для квадратичных моделей. Если область планирования есть гиперкуб, то такие планы могут быть построены аналитически при условии, что полное количество опытов не задается, а задается частота каждой экспериментальной точки относительно

276

общего числа опытов. Такие планы назьюаются непрерывными. Одной из возможных реализаций таких планов являются планы Кифера [92]. Эксперименты ставятся в следующих точках w-мерного гиперкуба: в вер­ шинах —множество точек Е0, в серединах ребер —множество точек Е \, в центрах двумерных граней — множество точек Е2. Обозначим через а частоту точек множества Ео, через Р —частоту точек множества Ех и через у —частоту точек множества Е2. Количество соответствующих точек и их частоты приведены в табл. 3.9. В последнем столбце таблицы приведено общее число г точек плана. Планы Кифера строятся только для размерно­ сти факторного пространства п < 5.

/7-оптимальные планы для квадратичных моделей не обладают свойством ортогональности, поэтому вычисление оценок коэффициентов модели проводится по общей формуле (3.6.30).

Аналитический путь построения непрерывных /7-оптимальных планов возможен лишь в простейших случаях. На практике могут встречаться задачи, когда область планирования не имеет правильной геометрической формы. В этих случаях для построения оптимальных планов используют численные методы, добиваясь минимума дисперсионной матрицы, т.е. непосредственно используют определение /^оптимальности. Расчет произво­ дится на ЭВМ методом поиска. Сейчас в литературе по планированию экспе­ римента вычислено большое число непрерывных планов.

Непрерывный план не связан с определенным количеством наблюдений, а лишь задает соотношение числа опытов в различных точках области планирования. При проведении экспериментов необходимо от частот перей­ ти к конкретному количеству опытов N, т.е. получить так называемый точный план. Если непрерывный план размещается в небольшом количестве точек г, то получить точный план, близкий к /^-оптимальному, можно просто округлением частот (так, чтобы каждая частота задавалась правиль­ ной дробью). Тогда общий знаменатель всех частот дает общее количество опытов N, а числитель каждой дроби покажет количество опытов в данной точке плана. Такой метод дает планы с количеством экспериментов N > г.

Точные планы, содержащие заданное количество опытов, причем N < г, могут быть непосредственно вычислены на ЭВМ путем прямого поиска без округления непрерывных планов. Дня сокращения поиска за начальный план берутся точки какого-либо непрерьюного оптимального плана. Таким методом можно получить насыщенные планы с числом опытов N = к + 1.

277

В качестве примера в табл. ЗЛО приведен насыщенный D-оптимальный план при т - 3 .

Пользуясь этим планом, можно вычислить коэффициенты модели

у =0 0 + 0 1 * 1 + 0 2 * 2 + 0 3 * 3 + 0 1 1 * 1 + 0 2 2 * 2 + 0 3 3 * 3^ + 0 1 2 * 1 * 2 +

Здесь к + 1 = 10, т.е. количество опытов равно размерности модели, план является насыщенным. Этот план также не ортогональный.

В насыщенных планах не остается степеней свободы дня проверки значи­ мости коэффициентов. Поэтому были рассчитаны точные планы, близкие к D-оптимальным, так называемые планы типа Вп. Эти планы содержат вершины л-мерного куба с координатами ± 1 . Эти точки образуют полный факторный эксперимент, их число 2". Кроме того, в тттВп входят центры (л - 1)-мерных граней —это точки с координатами (0 ,0 ,. .. , ± 1 ,0 ,. . . , 0).

По аналогии с ортфгональными планами эти точки можно назвать звездны­ ми с величиной плеча, равной единице (при этом ортогональность, конечно, не сохраняется). Число таких точек 2л. Общее число точек плана N = 2п + + 2 п*>к + 1 , таким образом, здесь остаются степени свободы для проверки значимости коэффициентов.

В качестве примера в табл. 3.11 приведен план В$ для определения коэффициентов в модели с тремя независимыми переменными.

278

ментные модели, а наиболее простыми — аналитические, которые часто описываются дифференциальными уравнениями первого или второго порядка.

На самом деле сложность поэлементной модели заключается только в ее громоздкости, в то время как для создания аналитической модели необходимо иметь общие закономерности, описьюающие поведение объек­ та. Поэлементная модель получается просто последовательным матема­ тическим описанием отдельных функциональных звеньев объекта, т.е. тех основных элементов, которые выделены в §ЗЛ и подробно рассмотрены в‘ § 3.2 —3.5. Получение же общих закономерностей для создания аналити­ ческих моделей чисто теоретическим путем часто бьюает невозможно, поэтому приходится использовать результаты численного эксперимента на поэлементной модели, создавать регрессионную модель на основе обра­ ботки экспериментальных данных, а уже затем конструировать аналити­ ческую модель.

Иными словами, еслирассматривать модели по степени обобщения, абстракции основных свойств объекта, то наиболее простой окажется поэлементная модель, а наиболее сложной - аналитическая, отличающаяся высшей степенью абстракции и отражающая в наиболее сжатой форме основ­ ные свойства объекта.

Поэтому основной путь познания —от простого к сложному —примени­ тельно к математическому моделированию состоит в последовательном переходе от поэлементных функциональных моделей к регрессионным и аналитическим.

Сказанное иллюстрируется иерархией математических моделей, приве­ денной на рис. 3.29. На первом этапе разработки системы имеются только некоторые начальные сведения о структуре и параметрах ОЭС, полученные путем эскизной проработки. На основании этой информации строится поэлементная функциональная математическая модель, которая на этом этапе является единственным инструментом, позволяющим получить сведения о качестве работы проектируемой ОЭС. На поэлементной модели проводится исследование статических и динамических характеристик (пеленгационных, дискриминационных, переходных процессов) и уточне­ ние структуры и параметров ОЭС для получения желаемых характеристик. Моделирование проводится по цифровым изображениям, которые на данном этапе обычно получаются путем генерации на ЭВМ двумерных случайных полей. После достижения приемлемых характеристик проводит­ ся оценка работы ОЭС в различных условиях.

Второй этап начинается с момента появления первых образцов разраба­ тываемой системы. Целью этого этапа является идентификация поэлемент­ ной модели с объектом при одинаковых воздействиях путем настройки параметров модели. Моделирование проводится в основном по цифровым изображениям, полученным фотометрированием фотоснимков. Уточненная модель используется для сопровождающего математического моделирова­ ния, т.е. моделирования совместно с физическими испытаниями ОЭС, а также для моделирования в широких условиях применения.

Одновременно с этими двумя этапами разрабатьюаются модели более общего типа. С использованием методов теории планирования эксперимен­ та строится регрессионная модель выходных сигналов ОЭС, применяемая

280