книги / Теория оптико-электронных следящих систем

Здесь остатки ряда удовлетворяют условию

так как для четной двумерной корреляционной функции справедливо соот­ ношение Rx (0, 0) = Ry (0, 0) = 0.

Обозначим

Структура линейной следящей двумерной системы с перекрестными связя­ ми приведена на рис. 3.37.

Рис. 3.37. Структурная схема следящей сис­ темы с перекрестными связями

Положим для определенности W (s) = 1/s. Тогда уравнения системы в операторной форме запишутся в виде

Система устойчива, если корни характеристического уравнения имеют отрицательную вещественную часть. Вещественные корни имеют место при выполнении условия D > 0, или с учетом (3.7.31), (3.7.32)

292

то корни характеристического уравнения отрицательные. Последнее нера­ венство эквивалентно условию

реляционной функции двумерного поля, при которых система управления является устойчивой.

Аналогичный результат можно получить из рассмотрения поля сил кор­

Вид.фазовой траектории, а следовательно, и устойчивость системы зависят от типа особой точки х = у = 0. Тип особой точки определяется корнями характеристического уравнения [94]

устойчива; если же корни одинаковых знаков, то особая точка —узел, траектории проходят через начало координат, начальное рассогласование отрабатывается следящей системой. Условие одинаковых знаков корней характеристического уравнения (3.7.36) обеспечивается при выполнении неравенства (3.7.34), которое является, таким образом, необходимым условием для устойчивости двухканального коррелятора.

Рассмотренный анализ влияния перекрестных связей не учитывает ло­ кальных неоднородностей поля. Для учета последних было проведено прямое математическое моделирование с использованием поэлементной

степенью анизотропии. В разомкнутой системе по дискриминационным ха­ рактеристикам (см. рис. 3.36) вычислены коэффициенты к и д, приведен­ ные в табл. 3.14, Проверка условия устойчивости (3,7.34) дает для перво­ го поля

к \ к 2 = 0,049 < 0,616 = МтМз

идля второго

кх к 2 = 0,99 > 0,7 = !Лф2.

293

Для второго поля условие устойчивости не выполняется. Моделирование замкнутой системы показало, что при работе по второму полю начальное рассогласование не отрабатывается, происходит срыв слежения. Это иллюст­ рируется рис. 3.38, где приведены фазовые траектории слежения. Начальное рассогласование (точка А \ одинаковое для обоих полей, отрабатывается на первом поле (траектория приходит в начало координат), и процесс является расходящимся для второго поля.

Рис. 3.38. Фазовые траектории слежения

Здесь рассмотрена устойчивость двумерной системы при начальных ошибках, не превышающих величины линейной зоны дискриминационной характеристики. Срыв слежения при больших отклонениях рассмотрен ниже при исследовании аналитической модели.

Регрессионная модель коррелятора. П о с т р о е н и е л и н е й н о й м о д е л и д л я п я т и п е р е м е н н ы х . Поэлементная математиче­ ская модель может быть успешно использована для исследования влияния декоррелирующих факторов на точность работы коррелятора. Декоррели- рующими факторами будем называть все внешние возмущения, приводя­ щие к искажению текущего изображения относительно эталонного. К ним относятся прежде всего размасштабирование ДМ, поворот на угол крена 7 , сдвиг в ортогональном канале Ау, ракурсные искажения - повороты на углы визирования т? и курса ф. Наличие перечисленных рассогласований текущего изображения относительно эталонного приводит к падению крутизны и сдвигу нуля дискриминационной характеристики и даже к ее полному разрушению при большой величине искажений. Поэтому оценка влияния декоррелирующих факторов и ее математическое описание явля­ ются одной из типичных задач математического моделирования на по­ элементной модели ОЭС.

Предварительная оценка проводится обычно в однофакторном экспе­ рименте при варьировании какого-либо одного из декоррелирующих фак­ торов. Целью такого моделирования является выявление качественного вида экспериментальных зависимостей для их дальнейшего уточнения в многофакторном эксперименте. На рис. 3.39 приведены графики измене­ ния крутизны S и сдвига нуля х с дискриминационной характеристики при варьировании размасштабирования ДМ. Под размасштабированием

294

понималась величина

(3.7.37)

где МТ9 Мэ - масштабы текущего и эталонного изображений.

Результаты однофакторного эксперимента показали, что при малых величинах декоррелирующих факторов можно ограничиться линейным

1,0 0.4

0 ,5 -0 ,2

Рис. 3.39. Влияние размасштабирования на пара­ метры дискриминационной характеристики

описанием экспериментальных зависимостей, при больших рассогласо­ ваниях необходимо использовать уравнения регрессии более высокого порядка.

Рассмотрим построение линейной регрессионной модели изменения кру­ тизны характеристики для пяти независимых переменных: Xi = AM - рассогласование по масштабу; х 2 = Ау —рассогласование по крену; х 3 = = Аф — рассогласование по курсу; х4 = Ат? - рассогласование по углу ви­ зирования; x s = Ау —сдвиг в ортогональном канале. В уравнениях регрес­ сии наряду с линейными членами учтем парные взаимодействия, т.е. выберем модель вида

Здесь S = SySmax —нормированное значение крутизны; «5тах —крутизна при отсутствии декоррелирующих факторов; Модель (3.7.38) содержит свободный член, который априори равен единице, пять линейных членов и десять парных взаимодействий. Полный факторный эксперимент содер­ жит N = 2s =32 опыта. Для сокращения количества опытов была исполь­ зована главная полуреплика 25" 1, которая содержала 16 опытов. Гене­ ратор задавался соотношением

295

Найдем совместные оценки, получаемые в таком плане, путем умно­ жения контраста (3.7.40) на переменные модели (3.7.38) :

Здесь линейные эффекты смешаны с четверными взаимодействиями, а пар­ ные взаимодействия — с тройными. Но так как тройные взаимодействия и выше можно считать равными нулю, то в этой полуреплике линейные эффекты и парные взаимодействия оцениваются раздельно, что и надо для нашей модели.

Составим полуреилику 25 -1 . Для этого используем полный факторный эксперимент 24, задаваемый строкой

(1 ), д, ЪуаЬу ct асу Ъсуabcydt adt bd, abdf cdf acdy bcdf abed.

Главная полуреплика содержит строки только с четными или нечетными сочетаниями букв. Построим полуреплику с четными сочетаниями, для чего строку плана 24 умножим на букву е в тех сочетаниях, где количество букв нечетное. Получим одну из главных полуреплик 25“ 1

(1 ), aet bet aby сву асуbct abce, det ad, bdt abde, cd, acdey bcdet abed.

Используя кодовую строку, построим матрицу планирования, проставив в ней плюсы там, где соответствующий фактор находится на верхнем уров­ не, т.е. имеется в сочетаниях кодовой строки. Матрица планирования при­ ведена в табл. 3.15. Чтобы получить матрицу F , надо матрицу планирования

296

тов, производит вычисление дискриминационной характеристики, ее ли­ неаризацию и нормировку, накопление массива значений крутизны 5, вычисление нормированных и действительных коэффициентов регрессии КР с проверкой их значимости.

В результате проведения 16 опытов на поэлементной модели были полу­ чены значения крутизны дискриминационной характеристики (выход модели у *), приведенные в последнем столбце табл. 3.15. Коэффициенты регрессии вычислялись по формуле (3.6.86)

16

2 i= i

(3.7.43)

16

Значения оценок нормированных коэффициентов регрессии приведены в табл. 3.17 (вторая строка). Эти оценки являются коэффициентами урав­ нения регрессии для нормированных переменных, т.е. уравнения вида

Отсюда видно, 'JTO коэффициенты регрессии при переходе к действитель­ ным переменным вычисляются по формуле

Коэффициенты регрессии для действительных переменных с учетом габл. 3.16 приведены в третьей строке табл. 3.17. Такиим образом, зави­ симость крутизны от декоррелирующих факторов в линейном прибли­

298

дискриминационной характеристики, однако некоторые парные взаимо­ действия ее увеличивают. Наибольшее влияние оказывают разномасштабирование и перекрестная связь, наименьшее —угол визирования.

Проверить значимость коэффициентов и адекватность модели по фор­ мулам § 3.6 в этом эксперименте нельзя, так как нет достаточного коли­ чества степеней свободы:

значимость коэффициентов (ср = 32 —16 = 16).

В заключение отметим, что коэффициенты регрессии можно было бы вычислить и обычным однофакторным экспериментом, варьируя по оче­ реди все факторы на двух уровнях. Для этого также потребовалось бы 16 опытов (первый опыт общий при отсутствии рассогласований). Но точность оценок здесь была бы низкая, так как каждый коэффициент определялся бы по результату только одного опыта. В многофакторном эксперименте каждый коэффициент определяется по результатам всех

Для достижения такой точности в однофакторном эксперименте пришлось бы каждую зависимость снимать по 16 опытам, т.е. всего провести 16 • 16 = 256 опытов. Таким образом, многофакторный эксперимент поз­ воляет значительно сократить объем экспериментальных исследований.

П о с т р о е н и е к в а д р а т и ч н о й м о д е л и д л я т р е х п е р е ­ м е н н ы х . Исследование зависимости крутизны дискриминационной характеристики от декоррелирующих факторов в линейном приближе­ нии показало, что основное влияние оказьюают разномасштабирование, крен и ортогональный сдвиг (курсовой угол эквивалентен и углу кре­ на) . Поэтому для дальнейшихисследований после корректировки пара­ метров поэлементой модели были оставлены три фактора: = ДЛГ, х2 = Д?> *з = Д.У- С целью получения регрессионной зависимости в более широкой области факторного пространства была выбрана модель второ­ го порядка

« 1 4 « 1 5 « 2 3 « 2 4 « 2 5 « 3 4 « 3 5 « 4 5

Для проведения эксперимента был выбран точный план, близкий к /^-оптимальному, типа 2?3, матрица планирования которого приведена в табл. 3.11. Поскольку план не ортогональный, оценки коэффициентов необходимо вычислять по общей формуле решения системы нормальных уравнений

Основной операцией при этом является вычисление диверсионной мат­ рицы С

Матрица F размера 14 X 10 получается из матрицы плана путем добав­ ления слева столбца для свободного члена, состоящего из единиц, и спра­ ва — столбцов для квадратов и взаимодействий, получающихся перемно­ жением соответствующих столбцов. Информационная матрица М размера 10 X 10 имеет вид

300