книги / Теория оптико-электронных следящих систем

1/Г= со0 —резонансная частота; $*/Т - Асо —полуширина полосы пропускания на уровне 0,707.

т.е. корни определяются резонансной частотой и полосой пропускания усилителя. Используя условие устойчивости (3.4.24) и выражение для корней (3.4.25), получаем значение шага счета

при условии А/2 < /о . Например, для усилителя с параметрами / 0 =1500 Гц, А/= 150 Гц находим AГтах =2 • 10"5 с. Для обеспечения запаса по устой­ чивости примем Ar = 1 • 10'5 с.

Сравним полученный шаг счета с периодом резонансной частоты Го =1//о =0,667 -Ю"3 с.

На один период приходится N точек счета

N - T0/ A t « 67,

что совершенно излишне с точки зрения точности моделирования (достаточ­ но 10 точек на период), но необходимо для устойчивости счета. В подобных случаях с целью увеличения шага счета и повышения скорости моделирова­ ния необходимо переходить к разностным методам, рассмотренным ниже.

П р е д с т а в л е н и е з в е н а в в и д е н е р е к у р с и в н о г о ф и л ь ­ т р а . Рассмотрим моделирование линейных динамических звеньев, когда в качестве характеристик звена используется импульсная характеристика

Учитывая, что g(t) = 0 при t < 0, а также, что, начиная с некоторого t >Т, можно считать ^(г) = 0, интеграл (3.4.27) запишем с конечными пределами

линейного звена. Для получения цифровой модели перейдем к соответст­ вующему дискретному эквиваленту, заменив интеграл суммой с использо­ ванием методов численного интегрирования.

221

Здесь переменными являются п и к, поэтому сумму можно представить в другой форме, обозначив

ив соответствии с (3.4.23) С0(*) = 1,4,2, 4........ 2,4,1.

Замена интеграла суммой, по существу, означает переход от непрерыв­ ный системы к дискретной. Математическим аппаратом для описания дискретных (импульсных) систем является z-nреобразование

к =0

где z = esA* —оператор преобразования. Рассмотрим оператор

Z”1 - e ~ sAt,

совпадающий по форме с передаточной функцией (3.4.16) запаздывающего звена при т = At, т.е. производящего задержку на один шаг счета. Тогда z можно рассматривать как оператор, который производит задержку сигнала

222

Дискретная передаточная функция определяется, как отношение z-npe- образования выходного дискретного сигнала к z-преобразованию входно­ го, и формально получается из (3.4.35) делением обеих частей равенства на х (п) :

где

а(к) = C(k)g(k).

Структурная схема дискретного фильтра, соответствующего передаточ­ ной функции (3.4.36), приведена на рис. 3.20. Здесь последовательность

Рис. 3.20. Нерекурсивный линейный фильтр

дискретных значений входного сигнала поступает на линию задержки с N отводами, задержка между которыми равна A t. К отводам подключены весовые усилители с коэффициентами усиления а(к). Выходной сигнал равен сумме сигналов усилителей. Такой фильтр является нерекурсивным, так как дня расчета выходного сигнала используются дискретные отсчеты входного сигнала. В связи с этим не возникает вопроса об устойчивости — нерекурсивный фильтр устойчив всегда. Кроме того, этот метод может быть использован для моделирования систем с переменными параметрами, когда импульсная характеристика зависит от двух переменныхg(г, т).Тогда формула (3.4.31) запишется в виде

Недостатком метода дискретной свертки является большой объем вычислений по сравнению с предыдущим методом рекурсивного фильтра, пропорциональный ширине импульсной характеристики.

Замена непрерывных линейных систем эквивалентными импульсными. Д и с к р е т н а я а п п р о к с и м а ц и я . Для линейных систем с постоян­ ными параметрами значительную экономию вычислений дает применение разностных методов. Сущность этих методов состоит в замене непрерыв­ ных линейных систем эквивалентными импульсными, поведение которых можно описать простыми рекуррентными соотношениями.

Метод дискретной аппроксимации [20] состоит в замене операторов непрерывного интегрирования операторами дискретного интегрирования. Для этого методом, изложенным выше, звено приводится к структуре рекурсивного фильтра, показанного на рис. 3.18 и описываемого форму­ лой (3.4.20).

223

Рассмотрим метод Тастина представления операторов дискретного интегрирования. Интегрирующее звено первого порядка описывается уравнением

где y n__! —значение интеграла на предыдущем шаге счета; J (п) —прираще­ ние интеграла на последнем шаге счета.

Вычислим значение J (л) как площадь трапеции с основаниями х п, х п_ г

которое можно записать в другой форме, введя оператор задержки на один шаг счета z ~1:

2

Отсюда получаем передаточную функцию оператора дискретного интегриро­ вания

Интегрирующее звено т-то порядка представляется в методе Тастина как последовательное соединение m интегрирующих звеньев первого порядка

Более точным является метод Рагаззини—Бергена [20], в котором oneраторы интегрирования разного порядка имеют разные передаточные функ­ ции. Приведем без вывода дискретные передаточные функции для интегра­ торов первых трех порядков:

224

Представления операторов непрерывного интегрирования операторами дискретного интегрирования называются z -формами. Много различных z -форм рассмотрено в [20] и [126].

Заменяя в (3.4.20) операторы интегрирования соответствующими z-фор­ мами, получаем рекуррентные разностные соотношения, которым в общем случае соответствует дискретная передаточная функция вида

Рассмотренный метод дискретной аппроксимации означает, по существу, замену непрерывной системы импульсной со многими импульсными эле­ ментами (по одному на каждое интегрирующее звено). Такое многократ­ ное прерывание и сглаживание сигнала при прохождении его через систему создает погрешности вычислений. Поэтому надо стремиться представлять структуру линейной системы в виде совокупности простых типовых звеньев, чтобы не вводить интеграторы высокого порядка.

z - п р е о б р а з о в а н и е . Рассмотренные методы моделирования дина­ мических звеньев в итоге сводятся к методам дискретизации непрерывных интеграторов путем использования формул численного интегрирования или z-форм. Погрешность вычисления зависит от выбранного типа дискре­ тизации, т.е. в конечном счете от типа аппроксимации сигнала между диск­ ретными отсчетами: прямоугольниками, трапециями, параболами. Такой подход типичен для теории импульсных систем, содержащих непрерывную часть, поскольку необходимо знать значение сигнала в промежутках между отсчетами.

Рис. 3.21. Рекурсивный цифровой фильтр

Если не интересоваться значениями сигнала в этих промежутках, а такая картина наблюдается при математическом моделировании, когда система считается в дискретные моменты с шагом Af, то можно использовать спе­ циальные точные методы, созданные для синтеза цифровых фильтров. Используя эти методы, можно создавать цифровые фильтры, не имеющие соответствующих аналогов в непрерывных фильтрах. В настоящее время цифровые фильтры используются не только для целей моделирования на

ЭВМ, но и в реальной аппаратуре в связи с проникновением вычислительной техники во многие системы (использование микропроцессоров, мини-ЭВМ

ипр.). Рассмотрим два метода синтеза цифровых фильтров.

Вметоде z -преобразования синтезируется цифровой фильтр, импульсная характеристика которого в дискретные моменты времени совпадает с им­ пульсной характеристикой непрерывного фильтра [31]. Найдем связь между передаточной функцией непрерывного фильтра и дискретной пере­ даточной функцией цифрового фильтра.

Пусть передаточная функция непрерывного фильтра имеет вид

тА (

т.е. задана в виде суммы элементарных передаточных функций. Импульс­ ная характеристика такого фильтра находится как обратное преобразова­ ние Лапласа передаточной функции

В дискретные моменты времени nAt импульсная характеристика соответ­ ствующего цифрового фильтра записывается в виде

так как в дискретные моменты обе импульсные характеристики должны совпадать.

Передаточная функция импульсного фильтра получается путем z -преоб­ разования импульсной дискретной характеристики [31]

Здесь использована формула для суммы убывающей геометрической прогрессии

с первым членом ах = 1 и знаменателем q = e~°iAt z ~l .

Таким образом, если передаточная функция непрерывного фильтра зада­

где

b( —e~aiAt.

Полученный цифровой фильтр имеет структуру, приведенную на рис. 3.21. При синтезе цифрового фильтра необходимо иметь в виду следующее.

Поскольку коэффициенты фильтра (3.4.52) зависят от шага счета A t , то

226

такой фильтр имеет коэффициент передачи, зависящий от шага счета, в то время как непрерывный фильтр имеет постоянный коэффициент пере­ дачи, равный Af при со = 0. Чтобы цифровой фильтр при любом шаге счета имел постоянный коэффициент передачи, необходимо вводить нормиро­ вочный множитель. Для выбора этого множителя будем считать, что циф­ ровой и аналоговый фильтры должны иметь одинаковые коэффициенты передачи на нулевой частоте.

Отсюда получаем соотношение для вычисления нормирующего множителя

Представление передаточной функции в виде (3.4.47) необходимо для метода z -преобразования, иначе бесконечная сумма в (3.4.50) не сворачи­ вается в конечное выражение. Если условие (3.4.47) не выполняется, на­ пример для фильтра с передаточной функцией (3.4.12), то для синтеза цифрового фильтра можно использовать метод, изложенный ниже.

Практически не обязательно каждый раз производить разложение пере­ даточной функции непрерывного фильтра на элементарные дроби. Можно использовать готовые таблицы z -преобразования. Очень хорошие таблицы соответствия передаточных функций W(s)9W(z) и импульсных характе­ ристик#^) приведены в [126].

Б и л и н е й н о е п р е о б р а з о в а н и е п е р е д а т о ч н о й ф у н к ­ ции. Пусть имеется аналоговый фильтр с передаточной функцией W(5). Его частотная характеристика W(jto) находится путем вычисления W(5) в точках на мнимой оси плоскости 5. Если в функции W (5 ) заменить опе­ ратор 5 рациональной функцией от z, которая отображает мнимую ось в 5-плоскости на единичную окружность в z-плоскости, то полученная в ре­ зультате функция W* (z), вычисленная вдоль единичной окружности, при­ мет те же значения, что и функция w(s) при вычислении вдоль мнимой оси ^31]. Напомним, что окружность единичного радиуса есть частотная характеристика оператора запаздывания z ~х.

Простейшее рациональное преобразование, отображающее ось /со на еди­

функции W(соа ) и 1/(сОд A t) принимают одинаковые значения.

Рассмотрим это подробнее. Покажем, что функция (3.4.55) действи­ тельно отображает мнимую ось на единичную окружность. Пусть

U 2 + V 2 = 1.

Рассмотрим привязку частотных шкал. Частотная шкала из плоскости s в плоскость z трансформируется следующим образом:

что следует из (3.4.57)

Угол, который образует радиус При повороте вдоль единичной окруж­ ности, равен

2соа

(3.4.58)

1 - Ша Запишем это уравнение относительно аналоговой частоты:

в дискретном фильтре сод At. Следовательно, выражение

со ДГ

003 = 4 ~ 2

дает привязку частотных шкал. Отметим, что шкала частот аналогово­ го фильтра линейная, цифрового - нелинейная.

Последовательность действий при использовании этого метода следую­ щая.

228

1 . Задают критические частоты требуемого цифрового фильтра сод.

2.Вычисляют соответствующие аналоговые частоты по формуле (3.4.56)

3.Рассчитывают передаточную функцию W'(s), имеющую на новых час­ тотах свойства цифрового фильтра.

4.Производят подстановку

В качестве примера рассмотрим построение цифрового фильтра для дифференцирующего звена с передаточной функцией

Ts

W(s) =

l + Ts

1

В данном случае одна критическая частота —частота среза, равная сод =—.

A t Т

Соответствующая аналоговая частота соа - tg---- . Новая постоянная време-

1 A t 2 7

ни равна Га = — =ctg-----, а передаточная функция

Для этого фильтра выполняется нормировка на высоких частотах

W(s) -* W(z).

s - + 00 z — 1

229

Данный метод дает совпадение частотных характеристик аналогового и цифрового фильтров для критических частот и не дает совпадения импульс­ ных характеристик.

О б щ и е з а ме ч а н и я по ц и ф р о в о й филь трации . Сравним рас­ смотренные методы. Наиболее простым методом, требующим небольшой подготовительной работы по расчету коэффициентов, является представ­ ление звена в виде рекурсивного фильтра с использованием формул числен­ ного интегрирования. Этот метод целесообразно использовать во всех слу­ чаях, где не требуется очень высокой точности, особенно для моделирова­ ния звеньев первого порядка. Шаг счета At обычно выбирается из условия

где Т —постоянная времени фильтра. При моделировании звеньев второго порядка и выше возникает вопрос об устойчивости счета. Для обеспечения приемлемого шага At необходимо переходить к методам дискретных фильтров.

Применение метода дискретной свертки с представлением звена в виде нерекурсивного фильтра позволяет обойти проблему устойчивости и, кро­ ме того, моделировать звенья с переменными параметрами. Шаг счета также выбирается из условия (3.4.62). Недостатком метода является большой объем вычислений на одно значение выходного сигнала.

Метод дискретной аппроксимации позволяет уменьшить шаг счета при моделировании колебательных систем без потери устойчивости, что позволяет значительно сократить время счета. Здесь требуется подготови­ тельная работа по расчету коэффициентов. Частотные и фазовые характе­ ристики цифровых фильтров получаются близкими к соответствующим аналоговым, что важно при моделировании. Шаг счета выбирается из соотношения (3.4,62).

Методы z -преобразования и билинейного преобразования дают наиболь­ шую экономию вычислений, так как позволяют моделировать практически с любым шагом без потери устойчивости. Обычно шаг счета выбирается из соотношения (3.4.62) для колебательных систем и из соотношения

для звеньев первого порядка. Этими методами можно синтезировать цифровые фильтры, не имеющие непрерывных аналогов, а также исполь­ зовать их для построения различных цифровых резонаторов и фильтров с резким спадом на границе полосы пропускания. Недостатком является большое отличие частотных и особенно фазовых характеристик от соот­ ветствующих непрерывных.

Необходимо отметить, что при использовании любого метода частотные характеристики цифровых фильтров и аналоговых совпадают только в

определенном диапазоне частот, так как частотные характеристики цифро­ вых фильтров периодические с периодом О = coAt = 27Г, что является

следствием периодичности оператора z = esAt. Рабочая область частот цифрового фильтра равна £2 = 0 -гтг; хорошее совпадение частотных харак-

230