книги / Теория автоматического управления

Пусть на вход безынерционного нелинейного элемента с косо­ симметричной статической характеристикой

где тх — математическое ожидание входного сигнала х (/); х (/) — центрированная случайная составляющая входного сигнала, ма­ тематическое ожидание которой равно нулю.

Найдем статистически эквивалентное звено в виде параллельного

а другое — только составляющую х (t). Соответственно выходной сигнал эквивалентного звена можно представить в виде суммы:

Коэффициенты k0 и k ± называются коэффициентами статисти­ ческой линеаризации соответственно для математического ожидания и для центрированной случайной составляющей.

Параметры k0 и k x линейного звена выбирают, исходя из усло­ вия эквивалентности его выходного сигнала уэ (t) сигналу у (t) на выходе реальной нелинейности. В качестве условия статистиче­ ской эквивалентности (т. е. эквивалентности в среднем) используют один из двух критериев:

первый заключается в требовании равенства математических ожиданий и дисперсий обоих сигналов, т. е.

второй требует обеспечения минимума среднеквадратичного отклонения сигнала уэ (/) от сигнала у (t).

что имеет место и обратное влияние: при возрастании составляю­ щей тх уменьшается коэффициент k x для случайной составляющей.

Основной задачей, решаемой при помощи метода статистической линеаризации, является р а с ч е т т о ч н о с т и н е л и н е й ­ н о й с и с т е м ы п р и с л у ч а й н ы х в о з д е й с т в и я х . Изложим методику расчета точности применительно к системе ста­ билизации (см. рис. 9.2).

Пусть на входе линейной части системы приложено стационар­

которое содержит постоянную (или медленно изменяющуюся) со­ ставляющую mg и быстроменяющуюся случайную составляющую

g (t) с известной спектральной плотностью Sg (со). Из-за этого воз­ мущения в системе в каждый момент времени будет возникать сиг­ нал ошибки е (/) = х„ (/), который также будет случайным сигна­ лом. Причем, сигналошибки также может быть представлен в виде суммы двух составляющих:

можно записать выражения для двух составляющих сигнала ошибки:

димо использовать еще два уравнения статистической линеариза­ ции нелинейного элемента:

Решая совместно уравнения (9.90) — (9.93), можно найти по­ казатели точности системы т в и D e.

В заключении отметим, что данный метод применим только в тех случаях, когда в нелинейной системе отсутствуют автоколебания. Если автоколебания в системе возможны, то необходимо применять метод совместной гармонической и статистической линеаризации, который изложен в специальных монографиях по теории нелиней­ ных систем.

Пример. Определим дисперсию сигнала ошибки в системе стабилизации, состоящей из идеального реле и линейной части

если на входе линейной части действует случайное возмушение с нулевым математическим ожиданием и спектральной плотностью

Найдем вначале коэффициенты статистической линеаризации реле. Так как mg = 0, то и тг = 0. При тг = 0 согласно рис. 9.16, б по первому критерию kx = clae, а по второму критерию кг = 0,8 с/аЕ. Примем для дальнейших расчетов среднее значение этих коэффициентов k x = 0,9 с!аг.

Дисперсия сигнала ошибки согласно выражению (9.91)

Оно увеличивается при возрастании коэффициента kn и дисперсии воз­ мущения D. С ростом управляющего воздействия с среднеквадратичное зна­ чение сигнала ошибки уменьшается.

Контрольные задания и вопросы

1.Назовите основные особенности нелинейных систем управления.

2.Как изменяется выходной сигнал х (t) нелинейной системы в режиме автоколебаний? Какими параметрами он характеризуется?

3.Назовите основные виды нелинейных элементов.

5.В какой системе координат строится фазовая траектория системы вто­ рого порядка?

6.Как вид фазовой траектории связан с характером переходного про­ цесса устойчивой и неустойчивой системы?

7.Как определить по графику фазовой траектории амплитуду и ча­ стоту автоколебаний?

8.Постройте график выходного сигнала ун (0 трехпозиционного релей­

ного элемента, на входе которого действует синусоидальный сигнал.

10.Вычислите точное значение коэффициента q (см. табл. 9.1) для ус­ ловий задания 9 и сравните его с приближенным, полученным графически.

11.Объясните, почему для нелинейностей, имеющих ограничение вы­

12.Какими свойствами должна обладать линейная часть нелинейной системы, чтобы можно было полагать, что в контуре циркулирует почти гар­ монический сигнал?

13.Как аналитически (с помощью критерия Михайлова) определить амплитуду и частоту автоколебаний?

14.Как графически (с помощью критерия Найквиста) определить ам­ плитуду и частоту автоколебаний?

15.Устойчивость какого состояния нелинейной системы можно оценить

спомощью критерия Попова?

16.Как обобщенно характеризуется нелинейность при оценке абсолют­ ной устойчивости? Какое обстоятельство подчеркивается словом «абсолют­

ная»?

17.Дайте геометрическую трактовку критерия Попова.

18.Как влияет угловой коэффициент hH на устойчивость равновесия системы (при неизменной линейной части)?

19.Определите максимально допустимое значение £н для системы, ли­

нейная часть которой состоит из трех инерционных звеньев с Т 1 = Т 2 = Т 3 (см. пример 1 в 5.4), если kn = 4. (Используйте критерий Попова для систем

смонотонно убывающей а. ф. х.).

20.Поясните, как и за счет чего достигается вибрационная линеариза-

Рис. 10.1. Функциональная структура автоматической системы прямого цифрового управления

налами уь xh щ действуют и дискретные сигналы u*L и у*р представ­

ляющие собой последовательности электрических импульсов, а сама система управления поэтому относится к классу дискретных.

В дискретной системе управления один или несколько сигналов являются дискретными и представляют собой последовательность кратковременных импульсов. В состав дискретной системы наряду со звеньями непрерывного действия входят элементы, преобразую­ щие непрерывные сигналы в дискретные, и элементы, выполняю­ щие обратное преобразование. Преобразование непрерывного сиг­ нала в дискретный называется квантованием. Различают три вида квантования сигналов: по уровню; по времени; по уровню и вре­ мени (совместно).

Квантование по уровню заключается в фиксации вполне опреде­ ленных дискретных значений непрерывного сигнала (рис. 10.3, а). При этом непрерывный сигнал (тонкая линия) заменяется ступен­ чато изменяющимся сигналом (жирная линия). Смежные дискрет-

чину At = Т, называемую интервалом дискретности (интервалом квантования по времени, периодом повторения).

При совместном квантовании по уровню и по времени фикси­ руются дискретные по уровню значения, ближайшие к значениям непрерывного сигнала в дискретные моменты времени (рис. 10.3, в), причем приоритетным является квантование по времени.

В зависимости от применяемого вида квантования все дискрет­ ные системы разделяют на три класса: релейные, импульсные и циф­ ровые. В релейных системах квантование осуществляется только по уровню, в импульсных — по времени, а в цифровых — и по уровню и по времени.

Квантование по уровню производится специальными элемен­ тами — квантователями. Простейшими квантователями являются двух- и трехпозиционные реле. Они квантуют непрерывный сигнал соответственно по двум и трем уровням. При достаточно большом числе уровней и малом интервале квантования, обеспечиваемых в УВМ, релейную систему можно приближенно рассматривать как непрерывную.

Квантование по времени осуществляется с помощью импульс­ ного элемента. Импульсный элемент преобразует непрерывный вход­ ной сигнал в последовательность импульсов, амплитуда, длитель­ ность или период повторения которых зависят от значений вход­ ного сигнала в дискретные моменты времени. При этом преобра­ зующее действие квантователя можно рассматривать как процесс модуляции последовательности одинаковых импульсов по закону изменения входного непрерывного сигнала, а сам квантователь по времени — как импульсный модулятор.

В зависимости от того, какой из параметров модулируемой последовательности импульсов изменяется по закону изменения модулирующего сигнала х (/), различают модуляции: амплитудно­ импульсную (АИМ), широтно-импульсную (ШИМ) и частотно-им­ пульсную (ЧИМ). При АИМ значениям модулирующего сигнала

где (Од = 2п/Т — частота дискретизации или частота повторения. Совместное квантование сигналов по уровню и по времени в циф­ ровых системах осуществляется при помощи АЦП. В АЦП кроме квантования по уровню и по времени происходит кодирование дис-