книги / Теория автоматического управления

Глава 9

ХАРАКТЕРИСТИКИ И ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

9.1. Особенности нелинейных систем

Автоматическая система управления является нелинейной, если хотя бы один ее конструктивный элемент (или одно ее алгоритми­ ческое звено) описывается нелинейным уравнением (см. 2.1).

Практически все реальные системы управления содержат один или несколько нелинейных элементов (нелинейностей). Нелиней­ ными могут быть как элементы неизменяемой части системы, так

иэлементы изменяемой (синтезируемой) части.

Впервом случае говорят о сопутствующих нелинейностях. К ним относятся, например, исполнительные органы с ограниченной про­ пускной способностью (задвижки, клапаны), исполнительные уст­

ройства с ограниченным диапазоном воздействия (электрические и гидравлические исполнительные механизмы с ограниченным хо­ дом, регулируемые источники напряжения с насыщением), кине­ матические передачи с зазором или трением. Нелинейной характе­ ристикой часто обладает и объект управления.

Нелинейная форма характеристик указанных элементов, как правило, нежелательна, но они функционально необходимы для работы системы.

Некоторые нелинейные элементы вводят в систему преднаме­ ренно — для улучшения качества управления. Такими нелиней­ ностями являются, например, релейные управляющие устройства. Они обеспечивают высокое быстродействие процесса управления, выгодно отличаются от других управляющих устройств простотой, надежностью и экономичностью. Применяются также нелинейные корректирующие устройства.

Различают два вида нелинейных элементов: существенно не­ линейные и несущественно нелинейные. Нелинейность считается несущественной, если ее замена линейным элементом не изменяет принципиальных особенностей системы, и процессы в линеаризо­ ванной системе качественно не отличаются от процессов в реальной системе. Если такая замена невозможна, и процессы в линеари­ зованной и реальной системах сильно отличаются, то нелинейность

является существенной.

Автоматические системы с существенными нелинейностями об­ ладают рядом принципиальных особенностей, которые не присущи

Рис. 9.1. Система стабилизации температуры с нелинейным управляющим устройством

прерывно колебаться вокруг некоторого среднего значения, рав­

очень быстро. При этом температура быстро возвращается к задан­ ному значению и «проскакивает» зону нечувствительности реле, а двигатель снова и снова то увеличивает, то уменьшает подачу топлива.

Для устранения этих автоколебаний и улучшения динамических свойств системы в ней с помощью потенциометра RP0. с осущест­ влена внутренняя отрицательная обратная связь по положению регулирующего органа — углу поворота а задвижки 3.

Примером нелинейной системы является также система стабили­ зации уровня жидкости в баке (см. 1.4). Существенно нелинейным элементом этой системы является управляющее устройство, состоя­ щее из контактов /С 1 и R2 и потенциометра RP (см. рис. 1.9).

Нелинейные системы описываются нелинейными дифференци­ альными уравнениями, теория которых разработана недостаточно полно по сравнению с теорией линейных дифференциальных урав­ нений. Существует ряд точных и приближенных методов, позволяю­ щих решать лишь некоторые частные задачи анализа нелинейных систем. Наибольшее распространение в инженерной практике по­ лучили методы фазового пространства, гармонической линеариза­

Рис. 9.2. Обобщенная алгоритмическая схема нелинейной системы управле­ ния

О,

Рис. 9.3. Примеры нелинейных элементов

Простейшими нелинейными элементами являются статические (безынерционные) нелинейности. У них выходная величина ун за­ висит только от входной величины х„, причем эта зависимость строго однозначна.

Примерами статических нелинейностей служат трехпозиционное управляющее устройство (см. рис. 9.3, а, б) и регулирующая за­ движка с «мертвым» ходом и ограниченной пропускной способ­ ностью (рис. 9.3, в, г).

У динамических нелинейностей выходная величина ун зависит

как от входной величины хИ, так и от ее производной хИ. Характе­ ристика динамической нелинейности всегда неоднозначна. Дина­ мической нелинейностью является, например, кинематическая пе­ редача с зазором (рис. 9.3, д, е).

Рассмотренные статические и динамические нелинейности от­ носятся к классу нелинейностей с кусочно-линейными характери­ стиками.

Рис. 9.4. Нелинейные управляющие устройства с переменной структурой

В управляющих устройствах автоматических систем наряду с релейными элементами часто используются так называемые осо­ бые нелинейности: множительное звено, элементы с переменной структурой, элементы логического типа.

Для улучшения качества систем применяются управляющие устройства с переменной структурой, в которых специальный блок изменения структуры (БИС) может включать в основной контур системы звенья с различными динамическими свойствами. Напри­ мер, в устройстве, схема которого приведена на рис. 9.4, а, БИС в зависимости от значений сигнала ошибки и его производной пе­ реключает закон регулирования с пропорционального на интег­ ральный. Изменение структуры может происходить также в зави­ симости от других (внутренних) сигналов основного контура. Другое устройство (рис. 9.5, б) при больших сигналах ошибки ра­ ботает как трехпозиционный регулятор, а при малых — как ПИрегулятор.

Алгоритмы изменения структуры записывают при помощи пе­

9.3. Метод фазовых траекторий

Метод фазовых траекторий представляет собой графо-аналити­ ческий способ исследования нелинейных систем. Сущность метода заключается в описании поведения систем при помощи наглядных геометрических представлений — фазовых портретов.

Свободное движение нелинейной динамической системы управ­ ления с одной управляемой величиной х (t) в общем случае можно описать с помощью п дифференциальных уравнений первого по­ рядка (см. 2.9):

Мгновенное состояние системы и ее дальнейшее поведение одно­ значно определены, если в данный момент времени t = tt известны значения всех п переменных Xj. Эти значения можно рассматривать

точкой, а линию, по которой она перемещается при изменении со­ стояния системы,— фазовой траекторией.

решение системы (9.3) — определенная совокупность искомых функ­ ций времени х х (/); х 2 (t)\ ; хп (/). Поэтому каждой группе на­ чальных условий соответствует только одна начальная точка и единственная фазовая траектория, а множеству групп начальных условий соответствует целое семейство траекторий, которое на­ зывается фазовым портретом системы. Этот образный термин, пред­ ложенный акад. А. А. Андроновым, оправдан тем, что семейство фазовых траекторий действительно дает наглядное представление о поведении системы во времени.

Метод фазового пространства наиболее удобен для анализа си­ стем второго порядка, так как их фазовые траектории распола­

венно по дифференциальному уравнению, не решая его.

Пусть описание системы представлено в виде системы двух урав­

Рис. 9.5. Переходные^процессы и фазовые траектории нелинейной системы1 at б — устойчивой; в, г —^неустойчивой; д, е — на границе устойчивости

подвижна, а исследуемая система управления находится в состоя­ нии равновесия.

Особые точки могут быть обособленными или образовывать це­ лые особые отрезки на оси x v Такие отрезки называются отрез­ ками покоя. У систем с релейными характеристиками длина от­ резка покоя равна зоне нечувствительности 2Ь.

Самые важные для анализа нелинейных систем свойства фазовых траекторий заключаются в следующем:

/. Затухающему (устойчивому) переходному процессу (рис. 9.5,а) соответствует фазовая траектория, сходящаяся к началу ко­ ординат (рис. 9.5, б) или к отрезку покоя.

2. Неустойчивому процессу (рис. 9.5, в) соответствует фазовая траектория, удаляющаяся от начала координат (рис. 9.5, г).

3. Периодическому процессу (рис. 9.5, д) соответствует замкну­ тая фазовая траектория (рис. 9.5, е), называемая предельным

циклом.

Предельный цикл может быть устойчивым или неустойчивым. Если все соседние фазовые траектории стягиваются к предельному циклу, то он является устойчивым и соответствует автоколебаниям. Если же соседние траектории отходят от цикла, то он является не­ устойчивым.

По графику устойчивого предельного цикла можно определить два основных параметра автоколебательного режима — частоту и амплитуду. Частота соа приблизительно равна отношению от­ резка, отсекаемого траекторией на оси л:2, к отрезку, отсекаемому на оси х ъ а амплитуда хт равна отрезку на оси x v

Фазовый портрет нелинейной системы, обладающей кусочно­ линейной или разрывной характеристикой, состоит из нескольких областей с различными фазовыми траекториями. Линии, отделяю­ щие на плоскости одну область от другой, называются линиями пе­ реключения.

В точках пересечения фазовыми траекториями линий переклю­ чения происходит излом траекторий. Это происходит из-за смены правой части уравнения (9.5).

Пример. Построим фазовый портрет и оценим динамику системы стаби­ лизации температуры (см. рис. 9.1), алгоритмическая схема которой приве­ дена на рис. 9.6, а. Объект управления представлен инерционным звеном первого порядка, исполнительный двигатель — идеальным интегрирующим звеном (без учета механической и электрической инерции двигателя), изме­ рительная мостовая схема и задвижка — безынерционными статическими звеньями. Нелинейным элементом системы является трехпозиционное реле. Входная величина реле — результирующая магнитодвижущая сила (ампервитки) основной обмотки и обмотки обратной связи, выходная — напряже­ ние цд, подаваемое на якорные зажимы двигателя.

Для анализа целесообразно исходную схему преобразовать к расчетной схеме (рис. 9.6, б), на которой входная величина реле имеет ту же размер­ ность, что и управляемая величина Т При этом зона нечувствительности реле b (рис. 9.6, в) должна быть также выражена в градусах Цельсия. Она равна Ъ = b j k и, где Ьг — зона нечувствительности, выраженная в ампервитках.

Линейная часть системы (без учета внутренней обратной связи по по­ ложению задвижки) описывается дифференциальным уравнением второго