Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1267 вузов, 4649 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Теория автоматического управления

..pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
12.11.2023
Размер:
16.96 Mб
Скачать
☆

а

Рис. 9.6. Исходная (а) и расчетная (б) алгоритмические схемы системы ста­ билизации температуры и характеристика реле (в)

При отсутствии внутренней обратной связи сигнал хн = е.

Будем рассматривать только отклонения температуры Т от ее заданного

значения

Т3,

обозначая их символом х. Тогда сигнал ошибки е =

— х ,

а

уравнение замкнутой системы в отклонениях будет иметь вид

 

 

d2 х

 

 

 

 

 

 

 

(9-9)

Т0

d t2 ■ hd-t^ - = w w ,

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

' +

с

при

x <

— bt

 

 

 

/ W =

О

при

| x | <

bt

 

(9. 10)

 

, — с

при

x > b

 

 

 

Уравнение (9.9) эквивалентно

системе двух уравнений первого порядка,

записанной

в

форме

 

Коши:

 

 

 

d x j d

t = х2;

 

 

 

 

 

(9.1

1)

d x2/d t =

[ — x2 +

 

knf {xx)\ITo,

 

 

 

 

 

где x x =

x =

AT

=

T — T3, x 2 =

x x.

 

 

Разделив второе уравнение на первое, получим нелинейное уравнение

фазовых

траекторий

 

 

 

 

 

 

d x2/d X, =

Г - 1 [ -

1 +

k j (х,)/х2].

(9.12)

В соответствии с видом функции (9.10) разделим фазовую плоскость (рис. 9.7) на три области. В области /, соответствующей значениям \ х\ <С b,

уравнение

(9.12) принимает вид

 

dx =

— T ^ d x i .

(9.13)

 

Рис. 9.7. Фазовый портрет системы стабилизации температуры

оно легко интегрируется. Его решение

 

Ч = —

-г С01 -

 

 

 

 

(9.14)

где

С0 1 — постоянная

интегрирования.

 

 

 

 

 

Таким образом, в средней области / фазовые траектории представляют

собой прямые линии с отрицательным наклоном

1/Г 0.

< Ь, а / (*х) =

— с

и f

В областях II и I I I , где соответственно х >

b и х

(*i) =

+ с,

уравнение (9.12) принимает такой вид

 

 

 

d x2/d хг =

( — 1

kjflx^jlT0.

 

 

 

 

(9.15)

 

Разделяя

переменные х х и х 2,

получим

 

 

 

 

d хх =

— Т 0х2 d х2/(х2 ± kjf).

 

 

 

(9.16

 

После интегрирования выражения (9.16) находим

уравнение фазовых

траекторий

 

 

 

 

 

 

 

 

* i=

— (Т0х2 ± Т0клс\п |х2 ± Ллс|) +

С0п(И 1).

 

(9-17г

где верхние знаки относятся к области //,

а нижние — к области III .

 

 

На рис. 9.7 приведены фазовые траектории, построенные при различных

значениях постоянных С0 и следующих

параметрах

системы: Т0 =

Ю с,

kj\

= 0,04

°С/В - с; с =

50 В, Ь = 2 °С.

 

 

 

 

 

Жирной линией выделена фазовая траектория, соответствующая на­

чальному

отклонению температуры

АТ = х0 =

+ 10 °С.

 

 

По фазовому портрету видно,

что после любых начальных отклонений

температуры и ее производной в системе происходит затухающий колеба­ тельный процесс, который продолжается до тех пор, пока отклонения тем­ пературы не станут меньше зоны нечувствительности b = 2 °С.

9 . 4 . М е т о д г а р м о н и ч е с к о й л и н е а р и з а ц и и

Метод гармонической линеаризации является приближенным методом исследования режима автоколебаний нелинейных систем. Этим методом можно определить условия возникновения и пара­ метры автоколебаний как в системах второго порядка, так и в более сложных системах.

Метод заключается в замене существенно нелинейного элемента с характеристикой / (х„) эквивалентным линейным звеном с коэффи­ циентом k„. В замкнутой автоматической системе, работающей в режиме автоколебаний, условием эквивалентности служит ра­ венство амплитуд и фаз выходного сигнала эквивалентного звена и первой гармоники выходного сигнала реального нелинейного элемента. При этом предполагается, что сигнал на входе нелиней­ ного элемента является синусоидальным. Такое предположение справедливо во всех случаях, когда линейная часть системы доста­ точно инерционна и не пропускает высокочастотные гармоники.

Рассмотрим с у щ н о с т ь м е т о д а

г а р м о н и ч е с к о й

л и н е а р и з а ц и и подробнее. Пусть,

как и прежде, автомати­

ческая система состоит из отделимых друг от друга линейной и не­ линейной частей (см. рис. 9.2), и нелинейная часть описывается функцией (9.1). Предположим, что контур системы разомкнут (на выходе линейной части) и что на входе нелинейного элемента дейст­

вует синусоидальный

сигнал

хн (0 = хн тsin со*.

(9.18)

При этом на выходе нелинейного элемента будет возникать пе­ риодический сигнал ун (/), форма которого зависит от характера нелинейности и в общем случае существенно отличается от сину­ соидальной. Так, например, на выходе двухпозиционного реле без зоны нечувствительности (рис. 9.8, а) образуется периодический сигнал прямоугольной формы (рис. 9.8, б).

Уравнение нелинейной части (9.1) при синусоидальном воздейст­ вии (9.18) можно записать в таком общем виде:

y»(t) = f U ( t ) , х ( t ) ] = f [ X H m s i n & > t , x„mco cosco/].

(9.19)

f Периодический сигнал yH(t) может быть разложен в ряд Фурье (2.18) и тем самым представлен в виде суммы гармонических состав­ ляющих

у* k (t) = ak cos G)W + b*sin (okt = ykms\n{(Dkt + ^ k),

(9.20)

где коэффициенты а*

и bk определяются по формулам (2.19) и (2.20),

а параметры

 

 

Уш = V й* + bfe ,

Ф* = arctg (aklbk), (k= 1, 2,

°°)- (9.21)

У большинства встречающихся в автоматике нелинейных эле­ ментов статическая характеристика кососимметрична относительно

313

Рис. 9.8. Пример преобразования гармонического сигнала нелинейным эле­ ментом

начала координат, т. е. f (х„) = — / (— хн), и для них всегда по­ стоянная составляющая а0/2 = 0, коэффициенты всех четных гар­ моник а гк= bik = 0 и y 2km - 0.

Возможность и правомерность замены реального нелинейного элемента, функционирующего в замкнутой системе в режиме гар­ монических колебаний, эквивалентным линейным звеном, основаны на следующих общих закономерностях:

/. Амплитуды укп всех гармоник выше первой почти всегда зна­

чительно меньше амплитуды первой гармоники сигнала

уа (/);

fУkm Уш> (Л = 3; 5;

).

(9.22)

2. Линейная часть большинства нелинейных систем обладает свойством фильтра низкой частоты.

\ I (/со) | » | Wa (/*©) |, (k = 3; 5; .), (9.23)

т. е. все гармоники, кроме основной, существенно ослабляются линейной частью и благодаря этому сигнал ул (t) на ее выходе окажется близким к синусоиде.

На основании этих двух предпосылок можно при анализе замк­ нутой системы учитывать только первую гармонику, и сигнал ун (()

314

на выходе элемента с кососимметричной характеристикой пред­

ставлять приближенно так:

F

Ун (0 & У»1 (0 = ai cos

sin at = ylm sin (at -f %).

(9.24)

Учитывая, что

 

 

s in at =

x H(t)/x„ m, c o s

at = x „ (/)/*„ mw

(9 .2 5 )

и в в о д я о б о з н а ч е н и я

 

 

У (* н ? т ) = b J X n mt ^ lK ^ H

=

(9 .2 6 )

можно вместо выражения (9.24) записать

 

У» (t)

у (хн т) Хц (t) -j- (]i (Хн т) хн (t)/a

(9.27)

или в операторной форме

 

 

Ун (0 «

У (Хн т) Хн (0 +

<7i (х„ J рхн (Q/ю.

(9.28)

Таким образом, при выполнении указанных выше предпосылок нелинейное уравнение (9.19) может быть заменено линейным урав­ нением (9.27). Эта операция называется гармонической линеариза­ цией, а коэффициенты q (x„m) и qx (xHm) — коэффициентами гар­ монической линеаризации.

Коэффициенты гармонической линеаризации зависят от вида нелинейности f и могут быть определены по формулам (2.19), (2.20) и (9.26). Коэффициенты q и qt для наиболее часто встречающихся нелинейностей приведены в табл. 9.1.

Гармоническая линеаризация принципиально отличается от обычной линеаризации (см. 2.3), так как коэффициенты гармони­ чески линеаризованного элемента непостоянны и зависят от ампли­ туды хИт входного сигнала. Эквивалентная прямолинейная характе­ ристика (см. рис. 9.8, а, тонкая линия), устанавливающая связь между входным сигналом х„ и первой гармоникой с/Н1 выходного сигнала, имеет различный наклон при разных амплитудах вход­ ного сигнала. Однако при определенном режиме периодических колебаний, когда значения со и х„т фиксированы, коэффициенты гармонической линеаризации имеют также постоянные значения. Благодаря этому для решения некоторых задач анализа нелиней­ ных систем могут быть использованы понятия и методы теории ли­ нейных систем.

Так, из уравнения (9.28) можно получить эквивалентную пере­

даточную функцию нелинейного элемента

 

Wa (р, х„ т,

со) = у„ (р)/хн (р) = q (х„ т) + pi (х„ т) р/а,

(9.29)

а подстановкой

в нее р = j со — эквивалентную а. ф. х.

 

W «(XHm) = q (хн т ) + jq! (*„ т).

(9-30)

Модуль функции (9.30), равный

 

А »(Хн m) = ^ W ( x ^ W + W J x ^ W Г

(9-31)

315

Коэффициенты гармонической линеаризации

Таблица9.1

типовых нелинейностей

 

а

о

* хт/Ь

г

 

Ч/к

 

*mlb °>8

 

/

г

* J b

-О,в

Рис. 9.9. Графики зависимости коэффициентов гармонической линеаризации от амплитуды входного сигнала

определяет отношение амплитуды первой гармоники выходного сиг­ нала к амплитуде входного сигнала, а аргумент функции

фн (*Н т) = arctg [<7i (хИm)/q {хв m)]

(9.32)

— фазовый сдвиг между первой гармоникой и входным сигналом. Отметим, что у всех нелинейностей с однозначными статиче­ скими характеристиками коэффициент qx (х„т) равен нулю, и они

не создают отставания по фазе.

Графики коэффициентов q и qx (рис. 9.9) построены по форму­ лам табл. 9.1 в безразмерной форме. В качестве единицы измерения

амплитуды

Хит принят параметр Ь, а для самих

коэффициентов

введен нормирующий множитель Ыс или 1Ik.

 

 

Кривая

1 на рис. 9.9, а соответствует нелинейности 1

(см.

табл. 9.1),

кривая 2 — нелинейности 2. Кривая

1 на рис.

9.9,6

соответствует нелинейности 4, 2 — нелинейности 5. На рис. 9.9, в, г представлены графики соответственно для нелинейностей 3 и 6.

Для нелинейностей 1—4, имеющих ограничение с, коэффици­ енты гармонической линеаризации по мере увеличения амплитуды х11п стремятся к нулю, так как амплитуда первой гармоники вы­ ходного сигнала остается постоянной. Для нелинейностей 5 и 6

сростом амплитуды хНт ослабевает влияние нечувствительности Ь,

икоэффициент q стремится к коэффициенту k линейного участка.

Нелинейности 3 и 6, имеющие неоднозначные характеристики, создают отставание по фазе. С ростом амплитуды х„т коэффициент

qx этих

звеньев уменьшается, и

соответственно уменьшается

от­

ставание

по

фазе.

непосредственно к и с п о л ь з о в а н и ю

Перейдем

теперь

м е т о д а г а р м о н и ч е с к о й

л и н е а р и з а ц и и для

ис­

следования режима

автоколебаний.

 

Если известны передаточная функция линейной части

 

Гл (Р) = Кп (р)Юл (р)\

(9.33)

и эквивалентная передаточная функция (9.29) нелинейной части, то можно записать эквивалентную передаточную функцию разомк­ нутого контура нелинейной системы

W(p, хт, со) = Wn (p)Wn (p,

хт, ^) = J ^ £ L [ q { x m) +

+ Й1 ( Х т ) р / и \

(9-34)

и характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы

F (р,

хт, со) = D„ (р) + Кл (р) [q (хт) +

qi (хт) р/со] =

0.

(9.35)

В режиме автоколебаний амплитуда

хт и частота

а»,

как из­

вестно,

остаются постоянными. Следовательно, и функция W (р,

хт, to) в этом режиме постоянна, а выражения (9.34) и (9.35) ли­ нейны и их можно анализировать обычными методами теории ли­ нейных систем.

Существованию в нелинейной системе автоколебаний соответст­ вует нахождение линеаризованной системы (9.35) на колебатель­ ной границе устойчивости. Для определения колебательной гра­ ницы можно использовать любой из обычных критериев устойчи­ вости, изложенных в главе 5.

Наиболее удобно исследовать автоколебания при помощи к р и ­

т е р и я М и х а й л о в а .

Для того чтобы установить, возможны

ли в системе автоколебания

вида х (t) = хта sin соа^ с

постоянной

амплитудой хта и частотой соа,

необходимо

в характеристическое

уравнение (9.35) подставить чисто мнимый корень р = /соа:

£>Л (/©а) + К л (/СОа) [q (Хт а) +

</i ( х т а) /С0а/(0а] = 0

(9.36)

и решить его относительно неизвестных хта и соа.

 

Решение уравнения (9.36)

упрощается

благодаря

тому, что

в левой части всегда могут быть выделены действительная и мнимая составляющие, которые порознь тоже равны нулю:

p t(wa, хта) = 0\

(9.37)

Q (^а, Xma) = 0.

Одновременное выполнение равенств (9.37) соответствует про­ хождению характеристической кривой F (/'со, х,п) через начало координат.

Если уравнения (9.37) не имеют положительных действитель­ ных корней (оа и хта, то автоколебания в системе невозможны.

После отыскания параметров соа и хта необходимо проверить, соответствуют ли они устойчивым автоколебаниям. Для этого ис­ пользуют следующее условие устойчивости автоколебаний:

(дР1дхта)* (dQ/d<ua)*— (dP/do)a)*j(dQ/dxma)*;>0,

(9.38)

где звездочка означает, что в частные производные,

полученные

из выражений (9.37), необходимо подставить найденные численные значения параметров соа и хта.

Если линейная часть описывается уравнением высокого порядка или содержит запаздывание, то аналитическое решение системы (9.37) затруднительно или невозможно. В этих случаях автоколе­ бания можно отыскать при помощи критерия Найквиста.

Согласно к р и т е р и ю Н а й к в и с т а система находится на колебательной границе устойчивости, если а. ф. х. разомкнутого контура проходит через точку (— 1, /0). Следовательно, условием существования автоколебаний является равенство

Г л (/С 0 а ) U 7 „ ( * m a ) = - 1

(9 .39 )

или

 

UM/(Oa) = — V W H(xma).

(9.40)

Левая часть уравнения (9.40) представляет собой а. ф. х. всех линейных звеньев системы, а правая — обратную характеристику нелинейного элемента, взятую с противоположным знаком.

Уравнение (9.40) удобно решать графически. Для этого необхо­ димо построить указанные характеристики в одной системе коор­ динат (рис. 9.10, а). В точках пересечения кривых выполняется равенство (9.40). Эти точки определяют параметры автоколебаний. Отметка текущей частоты на кривой Wn (/со) определяет частоту автоколебаний соа, а отметка текущей амплитуды на кривой, IIW* {х,п) — амплитуду автоколебаний хта.

Если характеристики не пересекаются, то автоколебания от­ сутствуют.

Факт устойчивости или неустойчивости найденного режима авто­ колебаний устанавливают при помощи следующего п р а в и л а : если точка на кривой HWK(х т), близкая к точке пересечения, но сдвинутая в направлении возрастания параметра хт, не охваты­ вается характеристикой Wn (/со), то автоколебания устойчивы, если же охватывается, то — неустойчивы (см. рис. 9.10, а, точка М 2 соответствует устойчивым автоколебаниям, точка М г — неустой­ чивым).

a j Q (®h

Рис. 9.10. Определение амплитуды и частоты автоколебаний графическим способом

Пример 1. Определим амплитуду и частоту автоколебаний в системе стабилизации температуры, работающей без внутренней обратной связи (см.

пример в 9.3), при следующих

параметрах системы: /?л =

0,04 °С/В-с; с —

= 50 В, Ь =

1 °С,

Т0 =

10 с,

7д = 0,5

с.

 

Передаточная функция линейной части (с учетом инерционности испол­

нительного

двигателя) равна

 

 

 

 

(Р) = кл!р (ТоР +

1) (7 >

+ 1),

 

 

(9.41)

а эквивалентная

функция нелинейного

элемента — трехпозиционного реле

равна (см. табл.

9.1)

 

 

 

 

 

 

Г н (р.

х н т ) = я

(*т) = 4 c '\J x 2m - b

2 1югт.

(9.42)

Характеристический

полином системы

 

Р (Ру хт) = Т 0Тдр3 +

(То -f- Тд) р2

 

р kjiq (xm)•

(9.43)

Подставим в полином (9.43) р = /соа и приравняем его действительную

и мнимую составляющие нулю

 

 

 

 

Р ( “ а-

х ш а)

=

К Я ( Хт а) -

(Т’о +

Г д) “ а = °'>

(9.44)

«(®а-

* т а)

=

® . ( 1 - 7 ’оГдО)*) =

0.

 

Из второго уравнения системы (9.44) можно определить частоту автоко­

лебаний

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<оа = 1 /V 7 V 7 ,

 

 

 

 

 

 

(9.45)

которая в данном случае зависит только от постоянных времени.

Подставляя значение

ша в

первое

уравнение системы

(9.44), получим

уравнение

с

одним

неизвестным — амплитудой хта:

 

(кл4с л / x2m a - b

2 /п х2т а) -

(Г 0 +

ГД)/Г 0ГД = 0,

(9.46)
Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности