книги / Теория автоматического управления

способ решения.

На рис. 9.10, б построены а. ф. х. линейной части и обратная характе­

опять стремится к — оо.

Характеристики линейной и нелинейной частей пересекаются в двух

М 2 (на нижней ветви) — устойчивым. Амплитуда автоколебаний прибли­ зительно равна хта « 8, а частота (оа « 0,375 с"1.

9.5. Оценка абсолютной устойчивости с помощью критерия Попова

При решении практических задач анализа и синтеза нелинейных систем управления часто возникает необходимость оценки устой­ чивости состояния равновесия системы и определения допустимых вариаций формы и параметров статической характеристики нели­ нейного элемента. Эти две задачи связаны с понятием и критерием абсолютной устойчивости нелинейной системы.

Пусть в контуре нелинейной системы (см. рис. 9.2) содержится нелинейный элемент с характеристикой f (хн), имеющей любую конфигурацию, но не выходящей за пределы определенного сектора [0, kH] (рис. 9.11, а). Состояние равновесия нелинейной системы называется абсолютно устойчивым, если оно асимптотически устой­ чиво (см. гл. 5) при любой нелинейности, относящейся к определен­ ному классу. Нелинейности считаются одного класса, если их ха­ рактеристики f (хн) располагаются в секторе между осью абсцисс и прямой с угловым коэффициентом kn (см. рис. 9.11, а).

На первый взгляд, может показаться, что для оценки абсолют­ ной устойчивости нелинейной системы, состоящей из линейной части с Wn {р) и нелинейности с f (хн), достаточно оценить устойчи­ вость линейной системы с передаточной функцией kHWn (/?). Од­ нако это предположение выполняется только для некоторых част­ ных видов Wn (р)у а в общем случае оно несправедливо, и требуются специальные критерии.

Удобный критерий для суждения об абсолютной устойчивости нелинейных систем предложил в 1959 г. румынский уче­ ный В.—М. Попов. Его критерий основан, как и критерий Най­ квиста, на использовании а. ф. х. и имеет простую геометрическую трактовку.

На рис. 9.11, б показан случай, когда критерий Попова выпол­ няется, а на рис. 9.11,6, г — случаи, когда не выполняется.

С помощью критерия Попова решают и обратную задачу: строят заданную характеристику W* (/со), затем проводят как можно

ближе к этой характеристике прямую так, чтобы получить наимень­ ший отрезок [0; — 1/&н], и таким образом находят допустимое зна­ чение углового коэффициента /гн.

По наклону прямой Попова, «прижатой» к кривой W*n (/о),

можно судить о допустимом классе нелинейности: если прямая вер­ тикальна, то нелинейность может быть только однозначной, а если она наклонена, то нелинейность может быть и однозначной и не­ однозначной (с гистерезисом).

Линейная часть реальных нелинейных систем управления часто представляет собой последовательное соединение инерционных звеньев с а. ф. х.

модуль которой с ростом со монотонно убывает. Исследование абсо­ лютной устойчивости таких систем можно свести к анализу устой­ чивости соответствующей линейной системы: допустимое значение углового коэффициента kH находить через предельное значение общего передаточного коэффициента (см. 5.6).

Пример. Оценим с помощью критерия Попова абсолютную устойчивость равновесия нелинейной системы, состоящей из трехпозиционного релейного

а

Представим а. ф. х. (9.60) в виде суммы действительной и мнимой частей:

Решим теперь обратную задачу: определим допустимое по условию устой­ чивости равновесия значение зоны нечувствительности Ъ. Для этого прове­

неустойчивым. -

9.6. Основные сведения о вибрационной и статистической линеаризации

Как следует из предыдущих разделов данной главы, наличие нелинейностей в контуре системы может существенно ухудшить качество управления, а в некоторых случаях сделать ее вообще не работоспособной. Поэтому при проектировании нелинейных систем обычно стремятся либо уменьшить влияние нелинейности на ди­ намику системы, либо обеспечить получение автоколебаний с за­ данной частотой и амплитудой. Коррекция и улучшение свойств нелинейной системы могут быть осуществлены изменением характе­ ристик как линейной части, так и нелинейного элемента системы.

Изменение характеристики линейной части достигается спосо­ бами, изложенными в гл. 7.

Изменение характеристики нелинейного элемента может быть получено несколькими способами. Некоторые статические нели­ нейности можно компенсировать при помощи соответствующих обратных нелинейностей. Для этого параллельно или последова­ тельно с основной нелинейностью f (х„) включают компенсирующую нелинейность, имеющую обратную характеристику f " 1 (хн). Экви­ валентное соединение при этом будет линейным.

Эффективным средством уменьшения влияния нелинейностей на свойства систем является наложение на основной, как правило, низкочастотный сигнал, дополнительного высокочастотного сиг­ нала. Такие принудительные высокочастотные колебания, назы­ ваемые вибрационными, существенно снижают отрицательное влия­ ние люфтов, зазоров, сухого трения в механических передачах на динамику нелинейной системы.

Рассмотрим этот способ подробнее.

релейного элемента (рис. 9.13, б), т. е. хЛт> \х0 (/)|. Кроме того, необходимым условием работоспособности такой системы является подавление линейной частью составляющей с частотой сод и более высоких гармоник:

представлять собой сумму медленно меняющейся составляющей y0(t) (рис. 9.13, в), равной среднему значению сигнала уя (/), и быстро меняющейея уд (t):

Ф /д Ф К так как для нелинейного элемента не выполняется прин­ цип суперпозиции.

Функции /о и /д можно приближенно определить, если разло­ жить суммарный выходной сигнал yH(t) в ряд Фурье (2.18). При этом полагают, что на интервале разложения, равном периоду Т сигнала хд (t), составляющая y0(t) практически не меняется, т. е. y0(t) « const. Тогда по аналогии с основной процедурой гармони­ ческой линеаризации [см. формулу (9.27) 1 можно вместо нелиней­ ной зависимости

Коэффициент g = fя определяется аналогично — по формуле (9.26). Составляющая у0 соответствует нулевому члену разложе­ ния периодического сигнала ун (t) в ряд Фурье, т. е.

т-772

Очевидно, что этот член будет зависеть только от вида функции f, медленной составляющей х0 и от амплитуды Хят высокочастотного сигнала, т. е.

Так, например, для рассматриваемого двухпозиционного реле без зоны нечувствительности (см. рис. 9.13,6) зависимость (9.69) принимает вид

Таким образом, видим, что условия прохождения основного сигнала х0 через нелинейный элемент зависят от амплитуды допол­ нительного сигнала л:д.

Для большинства однозначных нелинейностей график функции F0 (х0) имеет достаточно плавную форму (даже для релейных эле­ ментов). На рис. 9.13, г показана характеристика F0 (х0) идеаль­ ного реле при различных амплитудах хлт. Эффект сглаживания нелинейностей для медленной составляющей, достигаемый наложе­ нием высокочастотных колебаний, называется вибрационной линеа­

ризацией.

Плавность функции F0 (лг0) позволяет осуществить также обыч­ ную линеаризацию

ного элемента для медленной составляющей. Например, для двух­

, ^Эффект сглаживания тем сильнее, чем больше амплитуда вы­ сокочастотного сигнала. Однако следует учитывать, что с увели­ чением амплитуды хлт уменьшается передаточный коэффициент ft„.

Кроме описанного линеаризующего эффекта с помощью перио­ дического внешнего воздействия на нелинейную систему можно добиться подавления или устранения ее собственных автоколеба­

перейти из режима автоколебаний с частотой <оа в режим вынуж­ денных колебаний с частотой <ад. Это явление называется захваты­ ванием частоты. Так как вынужденные колебания имеют обычно меньшую амплитуду и большую частоту, чем автоколебания, то такое устранение автоколебаний также улучшает качество нели­ нейных систем.

Вынужденные высокочастотные вибрации нелинейного элемента могут вызываться как внешним генератором периодических коле­ баний, так и за счет собственных автоколебательных свойств не­ линейной системы. Для реализации второго способа в системе ор­ ганизуется внутренний автоколебательный контур, охватывающий нелинейный элемент. Параметры контура выбираются так, чтобы частота автоколебаний была достаточно большой, а их амплитуда превышала медленную составляющую х0 (t).

Одним из вариантов осуществления вибрационной линеариза­ ции за счет внутренних свойств системы является создание так на­ зываемого скользящего режима.

Вибрационная линеаризация в скользящем режиме. Проиллю­

стрируем сущность вибрационной линеаризации в скользящем режиме на примере релейной системы стабилизации температуры (см. рис. 9.1).

Фазовые траектории по обе стороны линии переключения опре­ деляются такими же уравнениями (9.17), как и в системе без внут­ ренней обратной связи. Но на наклонной линии переключения всегда образуется особый отрезок АВ , который в своих крайних точках касается двух фазовых траекторий (показаны штриховыми линиями). Вне этого отрезка фазовые траектории подходят к линии переключения с одной стороны, отходят с другой, а на самом от­ резке АВ — с обеих сторон. Это означает, что изображающая точка, попав на отрезок АВ, не сможет «уйти» с него, а так как производ­

ная х Ф 0, то изображающая точка продолжит свое движение к на­ чалу координат, скользя по линии переключения. Такой режим работы системы называется скользящим.

При скользящем режиме происходят бесконечно быстрые пе­ реключения реле из одного положения в другое. При этом вели­ чина х колеблется с бесконечно малой амплитудой около некото­ рого среднего значения, которое уменьшается до нуля. Средняя составляющая сигнала х подчиняется линейному дифференциаль­ ному уравнению (9.76) и может быть найдена как его решение

Убывание сигнала х по экспоненте означает, что в скользящем режиме нелинейная система подчиняется линейным законам, и ее можно приближенно рассматривать как линейную систему первого порядка. К этому выводу можно прийти и путем следующих рассуждений. Средняя составляющая сигнала хн в скользящем режиме приблизительно равна нулю, а среднее значение сигнала х конечно. Поэтому передаточный коэффициент прямой цепи на рис. 9.6, б можно считать равным бесконечности. Соответственно передаточная функция замкнутой системы в скользящем режиме согласно основ­ ному свойству предельной системы [см. формулу (2.145) ] будет равна обратной передаточной функции звена обратной связи:

Так как все реле обычно имеют зону нечувствительности или зону неоднозначности и поэтому срабатывают с некоторым запаз­ дыванием, то скользящий режим в реальных системах осущест­ вляется не в виде плавного скольжения, а в виде высокочастотных колебаний около линии переключения. При этом частота и ампли­ туда сигнала х имеют конечное значение, а реле вибрирует с боль­ шой частотой.

Статистическая линеаризация. Линеаризующий эффект в не­

линейных системах получается также при воздействии на них высокочастотных случайных сигналов.

330