книги / Теория автоматического управления
..pdfа
Рис. 6.10. Амплитудная (а) и фазовая (б) частотные характеристики разомк нутого контура модели (6.21)
Выразим с помощью соотношений (6.33) и (6.34) параметры Т01 и k через Т и £. Тогда передаточная функция (6.31) и частотные функции (6.38) и (6.39) примут вид
Г р. к (р) = |
1/(Г2р2 + 2£Гр); |
(6.40) |
Ар. к (« )= |
1/7"со д/Т2со2 + 4£2; |
(6.41) |
Фр . к (to) = |
------- — arctg (Т со/2£). |
(6.42) |
На рис. 6.10 показаны характеристики (6.41) и (6.42) как функ
ции |
относительной |
(безразмерной) |
частоты Q = соТ = со/со0, где |
||
со0 = |
УТ — частота |
собственных |
незатухающих |
колебаний |
замк |
нутой системы (при £ = 0). |
А р. к (юСр) = |
1 (см. 5.4), |
можно |
||
Используя известное условие |
|||||
из (6.41) получить выражение для относительной частоты среза
Qcp = шсрТ = л /л Д + 4 р - 2 ? |
(6-43) |
211
Для реальных значений 0,25 < £ < 0,55
соС « V* —2|2 /Г = сор, |
(6.44) |
т. е. частота среза разомкнутого контура приблизительно равна резонансной частоте замкнутой системы.
Подставляя приближенное значение частоты среза (6.44) в фор мулу фазовой характеристики (6.42), можно установить связь ме жду запасом устойчивости по фазе Дф (рад) и коэффициентом демп фирования £:
? = 0,5 tg Д<р/У1 + 0,5 (tg Дф)2 |
(6.45) |
Относительную частоту среза соерГ = соСр/со0 также можно вы разить через запас устойчивости по фазе:
Г(0Ср = l / y i + 0,5 (tg Дф)2 |
(6.46) |
В рассматриваемом диапазоне значений £ эти зависимости можно линеаризовать и представить в удобной для практических расчетов форме:
|£ » 0 ,5 Д ф ; Т » (1,2 —0,5Дф)/соср. |
(6.47) |
Таким образом, с помощью формул (6.47) удается |
параметры \ |
и Т колебательной модели (6.21) замкнутой системы определить через обобщенные параметры (оСр и Дф частотной характеристики разомкнутого контура, форма и положение которой выбираются при решении задачи синтеза (см. гл. 7).
Формулы для приближенной оценки показателей качества си стемы. Объединяя зависимости (6.30), (6.35) и (6.47), получим
следующие простые формулы для приближенной оценки показате лей качества системы регулирования по известным (заданным или выбираемым) параметрам ее разомкнутого контура:
о « 0,2 у/гТо1; |
о » |
0,2/Дф; |
|
i„»;67V , t„ « |
|
3 ^/соср; |
(6.48) |
Л1 да 1,1 У&Тщ ; |
М « |
1,1/Дф. |
|
Аналогично можно получить формулы для частоты среза и пе риода затухающих колебаний:
| юСр « (Ор « л/кТ01— 0,5 /Т01;
Гз = 2я/со3» 2яГ01/У/гГ01 —0,25.
Формулы (6.48) и (6.49) обеспечивают достаточную для инже нерных расчетов точность в диапазоне 30° < Дф < 60°, который соответствует значениям 0,25 < £ < 0,55.
212
Грубую оценку длительности переходного процесса можно дать и только по частоте среза:
| / п « (7-т- 10)/(оср. |
(6.50) |
Базовые параметры k и Т01 приближенной модели (6.31) в тех случаях, когда разомкнутый контур реальной системы имеет более сложную передаточную функцию, чем (6.31), определяют следую щим образом:
если реальная система астатическая с |
|
||||||
Wp. к (р) ~ &1&2* |
|
*kdp (7\р + 1) (Т2р + 1) |
.{Тпр-\- 1), |
||||
|
|
|
|
|
|
|
(6.51) |
где Т х > Т 2 > |
|
> |
ТПУ то |
базовые |
параметры |
||
k-^kik2- |
■kn |
|
|
п |
Тс, |
|
|
и |
Toi = |
£ |
|
(6.52) |
|||
|
|
|
|
1= |
1 |
|
|
если статическая |
с |
|
|
|
|
||
itV K( p ) - M v |
|
- W |
i P |
+ n i ^ p |
+ i) |
(Тпр + 1), (6.53) |
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
k = kxkr |
■kJT1 и TOI= £ 7 Y |
|
(6.54) |
||||
|
|
|
|
|
i= 2 |
|
|
В более сложных случаях, когда числитель Wv. к (р) представ ляет собой полином от /7, то пользоваться моделями (6.31), (6.21) и соответствующими им формулами (6.48), (6.49) можно лишь с оп ределенной осторожностью.
Пример. Оценим приближенно показатели качества статической системы регулирования с передаточной функцией разомкнутого контура
Wp. к (р) = |
V |
кЦ Ъ р + |
1) (Т2р + |
1) (Т3р + |
1), |
(6.55) |
|||||
где £р. к = 8; |
Т г = |
10 с; |
Т 2 = |
1,5 |
с; Т 3 = |
0,5 |
с. |
||||
Определим |
параметры |
упрощенной |
модели |
(6.31): |
|||||||
k = |
V к1Тх = 0,8; |
Т01 = Т2+ |
Т3= |
2 с. |
|
(6.56) |
|||||
В соответствии |
с |
(6.35) параметр модели (6.21) |
|||||||||
| = |
1/2 л/ W |
^ = |
1/2 л/ o J T |
= 0,4 |
|
|
(6.57) |
||||
и находится в |
пределах 0,25 ^ |
^ ^ |
0,55, для которых справедливы приме |
||||||||
няемые ниже приближенные формулы. |
|
|
|
||||||||
Согласно |
(6.48) |
перерегулирование |
|
|
|
||||||
а « |
0,2 л / И ^ Г = |
0,2 VO,8-2 = |
0,25 = 25 |
%, |
(6.58) |
||||||
длительность |
переходного |
процесса |
|
|
|
||||||
<п « |
6Г01 = |
6-2 = |
12 с, |
|
|
|
|
(6.59) |
|||
показатель колебательности |
|
|
|
|
|
||||||
М « |
1,1 |
|
|
= |
1,1 |
Vo,8 - 2 = |
1,375 |
|
(6 .60) |
||
213
6.3. Интегральные показатели качества
Каждый из рассмотренных выше прямых и косвенных показа телей качества характеризует лишь одно какое-либо свойство си стемы, лишь один признак переходного процесса или частотной-ха рактеристики. Причем, все показатели связаны с настроечными па раметрами регулятора сложными зависимостями, имеющими, как правило, противоречивый характер: изменение параметра приводит к улучшению одних показателей качества и к ухудшению других. Это обстоятельство существенно затрудняет выбор параметров ре гулятора. Поэтому в инженерной практике широко используются интегральные показатели или оценки качества.
Интегральные оценки представляют собой определенные интег ралы по времени (в пределах от 0 до оо) от некоторой функции уп равляемой переменной х (/) [или сигнала ошибки е(/)]:
Q = S U * (0 , t\dt. |
(6.61) |
о |
|
Подынтегральная функция /0 выбирается таким образом, чтобы интеграл (6.61) лучше характеризовал качество системы и проще выражался через коэффициенты передаточной функции замкнутой системы. Чтобы интеграл был сходящимся, в функцию /0 вводят не абсолютные значения х (t) или е (/), а их отклонения от конеч ных, установившихся значений.
Простейшей интегральной оценкой является линейная интег
ральная оценка |
|
=?[*(«>)- ж (ОН*, |
(6.62) |
о |
|
которая равна площади, заключенной между прямой х(оо) и кри вой переходного процесса х (/) (рис. 6.11, а). Интегральная оценка (6.62) учитывает как величину динамических отклонений, так и длительность их существования. Поэтому чем меньше оценка, тем лучше качество процесса управления.
Разность под знаком интеграла (6.62) равна динамической или переходной составляющей сигнала ошибки:
*(оо)—x(t) = xз—е ( о о ) —x(t) = e(t)—е ( о о ) = е„ (*), (6.63)
поэтому интегральную оценку (6.62) чаще определяют в таком виде
оо |
|
Од — $ е„ (0 d t = 5 [е (t)—е (оо)] d t. |
(6.64) |
О |
|
Интеграл (6.64) соответствует площади под кривой переходной составляющей сигнала ошибки, вызванной изменением задающего
214
Рис. 6.11 Интегральные оценки качества
воздействия (см. рис. 6.11, а) или возмущающего воздействия, (рис. 6.11,6). Площадь под кривой еп (/) будет тем меньше, чем быстрее заканчивается переходный процесс и чем меньше отклоне ния сигнала л: (^) от х3. Поэтому настроечные параметры регуля тора необходимо выбирать таким образом, чтобы интегральная оценка была минимальна.
Недостатком линейной интегральной оценки (?л является то, что ее можно применять лишь для заведомо неколебательных, апе риодических переходных процессов. Интеграл (6.64), вычисленный для знакопеременной кривой /, (рис. 6.11, в) будет существенно меньше интеграла, вычисленного для апериодической кривой 2 (хотя качество переходного процесса 2 явно лучше).
В связи с этим для колебательных переходных процессов при меняют такие интегральные оценки, знакопеременность подынтег ральной функции которых тем или иным способом устранена. Та кими оценками являются, например, модульная интегральная
оценка |
|
QM= ? |e n (0| d t |
(6-65) |
О |
|
и ее модификация |
|
Q - = W | e n ( O I < W . |
(6.66) |
О |
|
Оценка (6.66) придает больший вес тем значениям сигнала ошибки, которые имеют место в конце переходного процесса.
Оценки (6.65) и (6.66) можно использовать только при иссле довании систем на моделях, так как их вычисление через коэффи циенты передаточной функции [без нахождения е„ (/) 1невозможно.
При анализе и синтезе систем регулирования с колебательными свойствами наиболее широко используется квадратичная интеграль ная оценка
Q« = ? e £ (9 d * , |
(6.67) |
о |
|
которая равна площади под кривой г2 (рис. 6.11, г).
Квадратичная оценка (6.67) так же, как и линейная, учитывает величину и длительность отклонений. Однако из-за возведения сигнала е„ (7) в квадрат первые (большие) отклонения приобретают в конечном значении интеграла существенно больший вес, чем по следующие (малые) отклонения. Поэтому минимальные значения оценки (6.67) всегда соответствуют колебательным процессам с ма лым затуханием.
С целью устранения этого недостатка применяют улучшенную квадратичную оценку
Q « = f [ 4 (t) + Г„4 (0] d t, |
(6.68) |
о |
|
которая, кроме самих отклонений, учитывает с весовым коэффи циентом Т\ производную отклонений. Обычно весовой коэффициент
Тв выбирают равным желаемому времени нарастания /н или при нимают в пределах
t„/6 < Т в < U 3, |
(6.69) |
где /п—желаемая длительность переходного процесса. Преимуществом квадратичных оценок (6.67) и (6.68) является
возможность их вычисления без предварительного отыскания пере ходного процесса непосредственно по коэффициентам передаточной функции замкнутой системы, записанной для сигнала ошибки в сле дующей стандартной форме
ф е (р) ^ |
= ^ г *<р) д |
_________ 1 |
|
*э (Р) |
хв (р) |
1+ w p (р) г 0 (р) |
|
_ fropm+ |
bxp™-1+ |
. . . -f bm |
,g 7Q4 |
do Pn + axpn- '+ |
. + an |
' |
|
Для вычисления квадратичной оценки (6.67) необходимо пред варительно найти изображение еп (р) переходной составляющей
216
БП(/) сигнала ошибки, которое при единичном ступенчатом воз
действии *з (t) |
или |
(/) равно |
|
е„ (р) = - j |
[Фе (Р) —Фе (0)1. |
(6.71) |
|
Далее изображение (6.71) записывают как отношение следующих полиномов:
J, /р\ ___ счРп 1 -| clPn 2 1~• • |
• ~t~сп-1 |
|
С (р) |
(6.72) |
||
',,w |
d„p'4-d1p'*-4-. |
.+ dn |
~ |
D (p) |
||
|
||||||
Для вычисления квадратичной оценки (6.67) по изображению (6.72) используют равенство Парсеваля (2.36), которое в данном
случае имеет вид |
|
|
||||
QK. = ? |
e2n (/)cH = - J - $ |
| е„ (/со) |2 d <о = |
||||
0 |
|
|
|
— оо |
|
|
1 |
г |
I c m |
do . |
(6.73) |
||
2л |
J |
| |
D (/со) |
|||
|
|
|||||
Значения интеграла (6.73) для стандартных подынтегральных выражений в виде отношения полиномов (6.72), степени которых равны п и п—1 удобно находить по общей формуле
Q |
1 |
I | £>(/.») Is |
dm = — |
I |Otf®)l* |
КВ ---- |
||||
|
2л |
2я |
Ар
= ( - !)" + ! 2dnA
где
D (/со) = dQ(/ш)л+ di (/<o)n_1 + . . + d„_x (/со)1 -f cLn\
V (/CD) = I С (/(0) I2 = Do (/CD)2 <*-» + Di (/CD)2 (n- 2>+
+ |
• + 0 / 1 - 2 ( h r + |
|
V„-l |
|
|
d±d9d^ |
V Q V J V Z |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
d^d^d^ |
d f t d y d ^ |
||
|
0 |
|
|
|
|
|
4 |
CO |
|
|
|
43 О |
0 |
|
л |
= |
0 |
|
|
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
0
0
dn-zdn
d n - ^ d n
(6.74)
(6.75)
(6.76)
Для получения коэффициентов полинома V (jсо) следует вна чале найти квадрат модуля полинома С (/оо), а затем все слагаемые
217
с четными степенями со привести к виду с четными степенями (/со), поменяв при необходимости знаки слагаемых.
Определитель А представляет собой старший определитель Гурвица, и поэтому при приближении системы к границе устойчивости определитель А 0, а оценка QKB оо.
Формулу (6.74) можно использовать и для вычисления улучшен ной оценки (6.68). Необходимо лишь интеграл (6.68) разбить на два интеграла, а изображение производной привести к виду (6.72).
Следует отметить, что абсолютные значения любой интеграль ной оценки сами по себе не представляют интереса. Они служат
лишь |
для |
сопоставления различных вариантов настройки одной |
и той |
же |
системы. |
Все рассмотренные интегральные показатели используют не |
||
только для оценки качества, но и для о п р е д е л е н и я о п т и |
||
м а л ь н ы х з н а ч е н и й |
н а с т р о е ч н ы х п а р а м е т |
|
р о в |
системы. Оптимальными |
считают такие значения, которые |
соответствуют минимуму интегрального показателя |
||
Q |
min. |
(6.77) |
Предположим, что необходимо найти оптимальные значения каких-либо двух параметров (например, kt и 71/), входящих в пере даточную функцию системы (6.70). Для этого надо с помощью фор мулы (6.74) выразить показатель Q как функцию параметров £* и
Q = f(ki. T t), |
(6.78) |
|
а затем взять частные производные и приравнять их к нулю: |
||
dQ(ki, |
Tt)/dki = 0; 1 |
(6 79) |
dQ(kt, |
Ti)/drt = 0.\ |
|
Решая систему (6.79), можно найти искомые оптимальные зна
чения ki0пт И Т{опт.
При сложном характере функции (6.78) задачу минимизации решают численными методами.
Отметим, что в некоторых случаях функция Q (kiy Tt) может не иметь минимума. Тогда варьируемые параметры выбирают по наи меньшему значению интегрального показателя Q внутри или на границе области, задаваемой из других условий (запас устойчиво сти, точность в установившемся режиме и т. д.).
Пример 1. Определим квадратичную интегральную оценку (6.67) для системы регулирования, представленной в виде колебательной модели (6.21), и найдем оптимальное соотношение между параметрами k и Т0\ разомкну
того контура |
(6.31). |
|
Передаточная функция системы по каналу х3 —х (см. |
рис. 6.8, а) |
|
Фх з(Р) = |
\ !(Т*р* + 2\Тр + 1 ), |
(6.80) |
где |
|
|
Т2 = T01/k-, 2\T = k~'-, 1=112
Передаточная |
функция |
этой системы по каналу х3 —е |
|
|
||
Фез (р) = 1 - |
Ф* з (Р) = |
(Т*р2 |
-|- 2 £ 7 » /(Т У + |
2\Тр + 1). |
|
(6.81) |
Изображение переходной составляющей сигнала ошибки при единичном |
||||||
ступенчатом воздействии х3 (t) = |
1 (t) имеет вид |
|
|
|
||
«п (Р) = — [Фез (р) - |
Фез (0)] = -- Ц р . + ^ |
Т -- = |
С (Р) |
(6.82) |
||
|
|
|
Т2р2 + 2%Тр+1 |
D{p) |
|
|
где п = 2, с0 = d0 = Т 2, |
С) = |
d! = 2g7\ d2 = |
1. |
|
|
|
Для применения основной расчетной формулы (6.74) запишем изобра жение (6.82) в частотной форме и преобразуем полиномы числителя и знаме
нателя изображения к |
виду, соответствующему |
(6.75); |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|е„ (/<■>) !2 = |
С (/ю) |
|
|С(/со)|2 |
|
| Т2(/со) + |
2|Г |2 |
|
|
||||||||||
D (/со) |
|
IО(/<■>) I2 |
| Г2 (/со)2 + |
2|Г |
(/со) + |
112 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
(Г2со)2 + (2£Г)2 |
|
_ |
|
— Г4 (/со)2 + |
4 |2Г2 |
|
|
(6.83) |
||||||||
|
|Г 2(/со)2 + |
2 |Т (/с о )+ 1 |2 |
“ |
|
|Г 2(/со)2 + |
2 |Т (/с о )+ 1 |2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Сравнивая |
последнюю запись |
полиномов D (/со) и |
V (/со) |
с |
их |
общей |
||||||||||||
формой (6.75), видно, что в данном случае; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
« = |
2; |
v0 = — (%== — Т4; |
о, = с 2 = 4 |2Г2; |
|
|
|
|
|
|
(6.84) |
||||||||
Д, = |
Т2; |
d1 =2%T\ |
dt = \ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Определители (6.76), входящие в (6.74), равны |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
А = |
йг0 |
= 21ТУ |
Аи = |
ад |
= |
— Г4 — 4 |2Т4. |
|
|
|
|
|
(6.85) |
||||||
Согласно |
основной |
формуле |
(6.74) искомая |
интегральная |
оценка |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
Л* |
|
|
|
_ 'fA_4127*4 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1Т- |
|
|
|
(6.86) |
||||
<?KB=(-l)n+1-2dnA = |
( - |
1)3 |
|
2Т22\Т |
4£ |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Найдем оптимальное значение коэффициента демпфирования §: |
|
|||||||||||||||||
dQKJ d l = Т |
- |
Т /4£2 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.87) |
||||
отсюда ^опт = |
0,5. |
Следовательно, |
оптимальное |
соотношение |
между |
пара |
||||||||||||
метрами к и Т0\ имеет вид |
kT01 = |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример 2. Определим теперь для системы, рассмотренной в примере 1, |
||||||||||||||||||
значение коэффициента £, соответствующее минимуму |
улучшенной |
интег |
||||||||||||||||
ральной |
оценки |
(6.68). |
|
|
как |
сумму |
двух интегралов: |
|
|
|
||||||||
Представим |
интеграл (6.68) |
|
|
|
||||||||||||||
<?кв = |
<2/ + |
<32 = $ |
|
+ |
$ |
Г 2 е2 ( 0 < П . |
|
|
|
|
|
|
(6. 88) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Значение |
интеграла |
получено в примере 1. Для вычисления второго |
||||||||||||||||
интеграла |
запишем изображение производной еп (/): |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
^ { ёп (/)} = реп (р )-8 п(0) = р |
|
Т2р + 2IT |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Т2р2 + |
2|Тр + 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.89) |
||||
= — Ц(Т2р2+ |
2|7’р + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
219
1^{еп«)}1 = |
Г* (/о)2+ 21Т |
(/со) +1 |
| Т - (/со)2+ 21Г (/со) + 11* ' |
||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.90) |
В данном примере |
|
|
|
|
|
|
|
||
п = 2; d0 = Г2; |
dx = 2£Г; d2= |
1; |
= 1; |
i>i = Г, |
I |
(6.91) |
|||
Д = dxd2= 2|Г; |
Д„ = |
— d0vL= |
— Т2. |
|
|||||
|
|
||||||||
Применяя формулу (6.74), |
получим |
|
|
|
|||||
Q2= Т\1А1Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.92) |
Приравняем производную сумму интегралов нулю: |
|
||||||||
dQKJ d 1 = Т — Г/412- |
7’2/412Г = |
0. |
|
|
(6.93) |
||||
отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 V 1+ Тв/г2 |
|
|
|
|
|
(6.94) |
|||
При предварительно |
выбранном |
значении Т Ъ = Т , которое соответст |
|||||||
вует желаемой |
длительности |
переходного |
процесса tn « |
37\ оптимальное |
|||||
демпфирование |
| 0Пт ~ 0,707, |
а оптимальное соотношение |
kT0i & 0,5. |
||||||
6.4.Оценка чувствительности систем
кпараметрическим возмущениям
Впредыдущих разделах при анализе устойчивости и качества автоматических систем предполагалось, что значения параметров объекта и управляющего устройства остаются в процессе эксплуа тации системы постоянными. Однако в реальных промышленных условиях из-за ряда причин (изменение температуры, износ обо рудования, старение изоляции и т. д.) параметры системы посте пенно изменяются, и их действительные значения всегда отличаются от расчетных. Влияния вариаций параметров системы на ее стати ческие и динамические свойства системы называют параметриче скими возмущениями, а возникающие при этом отклонения характе ристик системы от расчетных значений — параметрическими по грешностями (ошибками).
Чувствительность — это свойство системы изменять свои вы ходные координаты и показатели качества при отклонении того или иного ее параметра от исходного или расчетного значения. Для обозначения противоположного свойства пользуются термином грубость. Системы, сохраняющие свои свойства при любых пара метрических возмущениях, называют грубыми или робастными.
Количественными оценками чувствительности служат функции и коэффициенты чувствительности. Функция чувствительности пред ставляет собой частную производную какой-либо передаточной характеристики [например, h (t)y Ф (р) ] или какого-либо показа-
220