книги / Теория автоматического управления
..pdfРис. 6.5. Запасы устойчивости системы
даются запасом по амплитуде АЛ > 0,5 -f- 0,6 и по |
фазе Дер > |
|
> 30 -т- 60°. При этом обеспечивается, как правило, |
и удовлетво |
|
рительное |
качество процесса управления. |
|
Запасы |
устойчивости необходимо принимать в связи с тем, что |
|
некоторые параметры объекта управления могут произвольно из меняться в процессе работы системы. Например, постоянные вре мени электрических машин экскаваторного привода из-за измене ния температуры окружающего воздуха могут существенно откло няться от своих номинальных (расчетных) значений. Расхождения между фактическими значениями параметров объекта и значениями, при которых выполняется анализ устойчивости системы, могут иметь место и по другим причинам. Так, при математическом опи сании объекта применяется определенная идеализация — отбра сываются второстепенные факторы. Погрешности возникают также при экспериментальном определении и при линеаризации характе ристик объекта.
При решении задач синтеза систем (см. гл. 7) запасы устойчиво сти удобней задавать в логарифмических координатах (см. рис. 6.5, б). В этом случае запас устойчивости по амплитуде опре деляют по выражению
AL = 20| lg Л (соя) |. |
(6.8) |
Указанным выше значениям АЛ соответствует AL > 6 -f- 8 дБ. Корневые показатели. Для косвенной оценки качества управ
ления используют также корневые показатели, определяемые
Рис. 6.6. Корневые показатели качества |
|
|
по расположению |
корней р ъ р 2, |
, рп характеристического |
уравнения замкнутой системы |
|
|
flop" + flip"-1 + |
+ ап= 0 |
(6.9) |
на комплексной плоскости (рис. 6.6, а).
Наиболее общим корневым показателем качества является
среднее геометрическое значение модулей корней
« о = + У Ч IhPi р Т (б-10)
которое легко вычисляется через крайние коэффициенты характе ристического уравнения
а„ = + VaJao • |
(6.11) |
Среднегеометрический |
корень а 0 определяет на действительной |
оси комплексной плоскости а —/р (см. рис. 6.6, а) точку, являю щуюся геометрическим центром всех корней характеристического уравнения. Величина а 0 имеет размерность с"1 и служит обобщен ной мерой быстродействия системы: чем меньше показатель а 0, тем ближе «созвездие» корней к мнимой оси и тем больше длитель ность переходного процесса.
Для колебательной системы второго порядка, рассматриваемой в 6.2, показатель а 0 равен частоте незатухающих колебаний со0.
В числитель подкоренного выражения в формуле (6.11) входит коэффициент ал, который зависит от передаточного коэффициента k разомкнутого контура: для статических систем ап = 1 + &, аста тических ап = k. Отсюда можно сделать вывод: чем больше коэффи циент k , тем лучше быстродействие системы (при прочих равных условиях — одинаковой конфигурации «созвездия» корней).
Основное влияние на характер переходного процесса оказывают корни, расположенные ближе к мнимой оси, которые дают наибо-
202
лее длительные составляющие переходного процесса и называются
доминирующими.
Расстояние от мнимой оси до ближайшего к ней корня назы вается степенью устойчивости т]. Если ближайший корень дейст вительный (см. рис. 6.6, а, корень то доминирующей состав ляющей переходного процесса будет экспонента с показателем сте пени pk = — г):
х*(*) = С*е-ч', |
(6.12) |
если же ближайшими к мнимой оси являются два сопряженных комплексных корня, то доминирующей будет одна колебательная составляющая, которая затухает также по экспоненциальной со ставляющей (6.12). В обоих случаях длительность переходного процесса (для 6П 0,05 Ck) определяется приближенной формулой
[*п<3/т|, |
(6.13) |
где знак равенства относится к случаю действительного домини рующего корня, а знак неравенства — к случаю комплексных до минирующих корней.
При выборе настроечных параметров регулятора всегда стре мятся скомпенсировать (исключить из уравнения) доминирующие (наименьшие корни), которым соответствуют наибольшие постоян ные времени объекта, и тем самым улучшить быстродействие си стемы.
Колебательные свойства системы регулирования предопреде
ляет та k-я пара комплексных корней pk = ak d= /Рь |
для которой |
наибольшее отношение |
|
|i* = IP*|/|«Al |
(6Л4) |
или наибольший угол д между двумя симметричными лучами (см. рис. 6.6, а). В данном случае такой парой, предопределяющей до минирующую колебательную составляющую переходного процесса, являются комплексные корни р 2 и р3.
Отношение рд мнимой части р к действительной части а домини рующей пары комплексных корней называют степенью колебатель
ности.
В практических расчетах чаще используют корневой показатель колебательности
тА = ot*/pfe= 1/рд, |
(6.15) |
также определяемый через доминирующую пару комплексных кор ней. При выборе настроек регуляторов стремятся получить значе
ния т = 0,2 -г - 0,5.
Специальными математическими исследованиями установлено, что в системе любого порядка наиболее быстрый апериодический переходный процесс имеет место, когда все п корней равны между собой. Максимальное быстродействие системы достигается при не большой колебательности (а < 10 %). Для этого все комплексные корни (и один действительный при п нечетном) должны распола гаться на одинаковом расстоянии т] от мнимой оси, а мнимые части
должны образовать арифметическую |
прогрессию |
с разностью |
др = PJ. Причем, для каждого порядка уравнения существует |
||
оптимальное отношение Др/т): для 2-го |
порядка оно |
равно 1, для |
3-го — 1,45, 4-го — 0,79, 5-го — 1,5. |
|
|
В специальной литературе приводятся рекомендации по выбору коэффициентов характеристического уравнения из условия макси мального быстродействия.
Определение показателей т] и р, по уравнению с известными ко эффициентами является в общем случае такой же трудоемкой за дачей, как и отыскание самих корней. Легче решается обратная задача — определение коэффициентов уравнения и параметров си стемы, при которых все корни лежат в области с заданной степенью устойчивости (рис. 6.6, б) или колебательности (рис. 6.6, в). Для этого может быть использован метод D -разбиения (см. гл. 5). Только вместо обычной замены р = /со в характеристическом уравнении необходимо сделать подстановку р — — т] + /со или р = = — (|ш|/р) + /со, где г| и р — заданные числа.
Выполняя далее все обычные операции метода D -разбиения, можно получить области заданной степени устойчивости и колеба тельности в пространстве варьируемых коэффициентов и парамет ров системы.
Корневые показатели а 0, г|, рд и тА важны для понимания про блемы качества и ее связи с проблемой устойчивости, но исполь зуются реже других, так как их непосредственное определение для
конкретной |
системы высокого порядка (п > |
3) представляет собой |
|
сложную вычислительную задачу. |
|
|
|
В л и я н и е р а с п р е д е л е н и я |
к о р н е й |
н а х а |
|
р а к т е р |
п е р е х о д н о г о п р о ц е с с а и на |
устойчивость |
|
хорошо иллюстрирует диаграмма (рис. 6.7), построенная И. А. Выш неградским для нормированного характеристического уравнения третьего порядка
р 3 A i f P A zp-\-1 = 0. |
(6.16) |
Область устойчивости в плоскости параметров А г и А 2 состоит из трех областей, соответствующих различному распределению корней. Область /, ограниченная линией abc, соответствует трем действительным (и не равным друг другу) корням и апериодиче скому переходному процессу. Область / / , ограниченная линией
204
Рис. 6.7. Диаграмма Вышнеградского
abd, соответствует паре комплексных корней и одному действи тельному корню, причем действительный корень ближе к мнимой оси, чем комплексные. Переходный процесс в этом случае монотон ный. В области / / / , заключенной между границей устойчивости и линией abc, также пара комплексных корней и один действитель ный, но к мнимой оси ближе расположены комплексные корни. Переходный процесс колебательный.
На диаграмме показано также распределение корней для раз граничительных линий. В точке b, в которой А г = А 2 = 3, все три корня действительные и равные друг другу.
В заключение отметим, что при наличии нулей передаточной функции замкнутой системы оценка качества только по ее полюсам (корням характеристического уравнения) может привести к сущест венным ошибкам. Наличие нулей способствует увеличению перере гулирования и уменьшению длительности переходного процесса.
Существуют и другие показатели процесса управления, например, чувствительность, наблюдаемость и управляемость.
Основные приемы аналогового и цифрового моделирования не прерывных линейных систем, которые используются для получе ния переходных характеристик h (t) и прямой оценки качества, рассмотрены в 6.6.
6.2. Приближенная оценка качества по частотным характеристикам
Исходные соотношения. Возможности оценки качества по ча-
стогным характеристикам основаны на существовании однознач ной связи между временными и спектральными характеристиками сигналов, которая выражается обратным и прямым преобразова ниями Фурье (2.28) и (2.29).
Воспользуемся преобразованием (2.28) и найдем переходную функцию h (/) замкнутой системы с а. ф. х. Ф (/©). Изображение
по Фурье X (jo)) выходного сигнала х (/) согласно (2.117) |
|
X (j<o) — Хз (/«)) Ф О’®), |
(6.17) |
где Х 3 (/to) — изображение задающего воздействия х3 (/) |
произ |
вольного вида. Изображение единичного ступенчатого воздействия
х3 (t) |
= 1 (t) можно получить как частный случай изображения |
|||
(2.38) |
экспоненциального |
импульса (2.37) при хИ= 1 |
и а = 0: |
|
Хз (/©) = |
1//(о. Тогда |
|
|
|
|
|
оо |
|
|
х |
(t) = |
h (t) = —5— Г — |
Ф(/(о)е/й>/ба». |
(6.18) |
|
|
2я -JОО /© |
|
|
Представляя а. ф. х. Ф (/со), связывающую рассматриваемое входное воздействие с выходным сигналом, в виде суммы действи тельной и мнимой частей
Ф (/■<») = Р (со)-f/Q (а) |
(6.19) |
и раскладывая множитель е'ы1 по формуле Эйлера (2.21), можно интеграл (6.18) преобразовать к более удобному виду
|
оо |
|
|
h(t) = — |
fP(m ) |
sin(0< dto. |
(6.20) |
Л |
J |
(О |
|
|
о |
|
|
Действительная характеристика Р (со) представляет собой обычно сложную функцию, и поэтому интегрирование (6.20) воз можно только приближенно: либо численными методами с приме нением ЭВМ, либо путем предварительной аппроксимации сложной характеристики Р (со) кусочно-линейными функциями — суммой трапеций (метод проф. В. В. Солодовникова) или суммой треуголь ников (метод акад. А. А. Воронова).
Любой из названных методов достаточно громоздкий и трудоем кий, поэтому переходную характеристику h (t) стремятся получить путем аналогового или цифрового моделирования системы (см. 6.6).
Приближенную оценку прямых показателей качества а и tn (без вычисления и построения переходной характеристики) удобно осуществлять на основе гипотезы об эквивалентности динамических свойств замкнутой системы регулирования свойствам колебатель-
206
ного звена второго порядка (см. 3.4). Рассмотрим подробнее сущ ность этой гипотезы и методику оценки показателей качества реаль ной системы через параметры ее упрощенной колебательной модели.
Связь показателей качества с параметрами приближенной мо дели. Простейшей моделью, пригодной для приближенного описа
ния динамики одноконтурной системы и приближенной оценки по казателей качества процесса управления по основному каналу х3—х может служить инерционное звено второго порядка
| W„ (р) = &/(Т2р2 + 2\Т р +1), |
(6.21) |
обладающее колебательными свойствами (коэффициент демпфирова ния | < 0,7) и передаточным коэффициентом к, равным (для аста тической системы) или близким (для статической) единице. Прибли женная замена реальной системы регулирования, у которой а. ч. х. | Фс (/со) | имеет, как правило, характерный резонансный пик при частоте сор (см. рис. 6.4, а), заключается в подборе параметров Т и I модели (6.21) таким образом, чтобы обеспечить в существенном диапазоне частот 0 < со < 2сор наиболее близкое совпадение а. ч. х. системы и ее модели, т. е. чтобы
|Ф с(/с о )|« |№ м (/со)|. |
(6.22) |
При этом обычно достаточно обеспечить совпадение трех пара
метров |
а. ч. х.: |
начальных значений I Фс (/0) 1да | Г м (/0)|, резо |
нансных частот |
сор.с да сор(Ми максимальных значений |Ф с (/сор)| да |
|
да I |
(/о)р)|, определяющих, как известно, частотный показатель |
|
колебательности |
М [см. (6.5)]. |
|
Очевидно, что при адекватности (6.22) частотных характеристик будут близки друг другу и переходные характеристики реальной системы и ее приближенной модели:
М О « М О - |
(6-23) |
С помощью модели (6.21) удается любой реальный контур регу лирования, представляющий собой в общем случае сложную ди намическую систему высокого порядка, описать достаточно про
стыми формулами. Так, а. ч. х. замкнутого контура |
|
Лс (со) = | Фс (/со) | « Л„ (©) = l / V ( T = f W W V |
(6.24) |
а переходная функция |
|
hc {t) » /t„ (0 = 1 — (У 1 — 6* Г 1er ^ /T sin (У 1 —£* - у |
+ |
+ arccos 6). |
(6.25) |
В выражения (6.24) и (6.25) входят лишь два числовых пара метра Т и £, которые связаны с частотами незатухающих (со0), за-
207
Рис. 6.8. График зависимости показателей качества от коэффициента демпфи рования
тухающих (<в3) и резонансных (сор) колебаний и с частотным пока зателем колебательности М известными соотношениями (см. 3.4):
©о=1 IT) соз= л / 1 - 1 2 /Т] (op = V l — 2| 2/Т; |
(6.26) |
М = А (сор)М (0)= 1/2|д/1 — £2 |
(6.27) |
По модельной переходной характеристике (6.25) можно полу чить аналитические выражения для двух главных показателей ка чества:
перерегулирования (%)
и длительности переходного процесса (при 5 %-й зоне) |
|
*пС Г 1п 20/£ «377|. |
(6.29) |
График зависимости важнейших частотных и временных пока зателей качества от коэффициента демпфирования показаны на рис. 6.8. В диапазоне реальных (часто используемых на практике) значений 0,25 < £ < 0,55, которым соответствуют показатели ко лебательности 2,1 > М > 1,1, эти зависимости могут быть с точ ностью, достаточной для практических задач, аппроксимированы следующими простыми выражениями:
(6.30)
С помощью приближенных формул (6.30) можно динамические показатели качества замкнутой системы выразить через параметры
ееразомкнутого контура.
Зависимости показателей качества от параметров разомкну
того контура. Так как при синтезе систем регулирования всегда
стремятся показатели замкнутой системы оценивать по характери стикам ее разомкнутого контура, которые более просты и непо средственно выбираются разработчиком, то для модели (6.21) замкнутой системы желательно найти соответствующую модель разомкнутого контура. Нетрудно убедиться, что простейшим разомкнутым контуром, который при замыкании образует колеба тельное звено (6.21), является реальное интегрирующее звено
\ W p.K(p) = k/p(T01p + \) . |
|
|
|
|
(6.31) |
|
Действительно, передаточная функция |
замкнутой |
системы |
||||
(рис. 6.9, а) по основному каналу |
|
|
|
|
||
Фм (р)= |
ЧУ к(Р) |
k |
/ Т 01 |
- + т » |
|
|
1+ «У к (Р) |
T0iP2 + p + k |
V |
k |
' Г |
||
|
|
|
|
|
|
(6.32) |
где k — передаточный коэффициент разомкнутого контура; T0i — постоянная времени инерционного звена контура (обычно объекта).
Очевидно, что модель (6.32) замкнутой системы по каналу за дания будет эквивалентна колебательному звену (6.21), если пара-
Рис. 6.9. Алгоритмическая структура (а) и частотные характеристики (б, в) приближенной модели колебательной системы регулирования
метры разомкнутого контура связаны с параметрами этого звена следующими соотношениями:
| Toi'k = Т2; |
Щ = 21Т |
(6.33) |
или |
|
|
\kT ol = 1/4S2; |
Г01 = 772|. |
(6.34) |
Параметры Т и g колебательной модели (6.21) замкнутой си стемы регулирования можно выразить в явном виде через пара метры k и То 1 разомкнутого контура системы:
Т = 1/ю0 = л/ T J k , |= 1 /2 V ^ T - |
(6.35) |
Из формул (6.35) вытекают следующие о б щ и е |
з а к о н о |
ме р н о с т и :
1.Частота ю0 собственных незатухающих колебаний замкнутой системы, равная Т~1 и характеризующая инерционность си стемы, тем больше, чем больше общий передаточный коэффици ент k разомкнутого контура и чем меньше его постоянная вре мени.
2.Колебательность замкнутой системы, характеризуемая ве личиной | -1, тем сильней, чем больше произведение передаточ ного коэффициента k и постоянной времени Та1 разомкнутого
контура.
При выполнении соотношений (6.33) — (6.35) передаточная функция замкнутой системы (см. рис. 6.9, а) по каналу хв—х имеет вид
Фи. в (р) |
____________ __ |
ТохР2 |
Г У + 2|7> |
|
|
Н -^р-кО») |
T olP* - p + k |
Г У + 2|Гр + |
1 |
||
|
|||||
|
|
|
|
(6.36) |
|
соответствующая ей а. ч. х. |
|
|
|
||
А». в(<о) = -у/Т4а>4-г 4 |27’2ю2 /д/(1— Т2(о2)2 + 4?27'2о>2 |
(6.37) |
||||
Типичная форма амплитудных характеристик (6.24) |
и (6.37) |
||||
по каналам задания и возмущения показана на рис. 6.9, б, в. Ре зонансный пик характеристики А и. в (со) всегда больше, чем Аы (®),
и |
частота |
<мр. в > |
юр. В |
диапазоне 0,25 < |
| < 0,55 а>,р. в |
~ |
(1,2 |
2,0) Юр. |
связь |
между частотными |
характеристиками |
|
Проанализируем |
||||
замкнутой системы и ее разомкнутого контура. Передаточной функ ции (6.31) соответствуют амплитудная характеристика
Ар. к (©) — I |
к (/©) I — k/u> ^ Т ojco -4* 1. |
(6.38) |
и фазовая |
|
|
фР. к(© )= — -2— arctgToiCo. |
(6.39) |
|