книги / Теория автоматического управления

объекта. Естественно, что динамическая точность управления при этом ухудшается.

Идея нейтрализации запаздывания объекта реализуется также с помощью упредителя Смита, которым охватывают типовые ре­ гуляторы (рис. 7.4, б). Нетрудно убедиться, что при большом пе­ редаточном коэффициенте (kp оо) регулятор с упредителем Смита эквивалентен регулятору Ресвика (см. рис. 7.4, а) с Фопт (р) = 1.

Систему с упредителем Смита технически реализовать легче, так как не требуется моделировать обратную передаточную функ­ цию объекта.

Хотя регулятор Ресвика (7.12) практически осуществить ни­ когда не удается, анализ его свойств позволяет оценить предельные возможности управления объектами с запаздыванием. Так, для наилучшего воспроизведения задающего воздействия х3 при от­ сутствии помехи (т. е. при Ф0Пт (р) = 1) регулятор (7.12) принимает

Функциям (7.15) и (7.16) соответствуют идеальные переходные процессы прямоугольной формы, заканчивающиеся за минимально

Наиболее трудно управляемыми являются объекты, содержа­

и для них лучше всего применять именно регулятор Ресвика или упредитель Смита, обеспечивающие структурную компенсацию запаздывания. Регулятор (7.14) для объекта (7.17) принимает вид

т о в с з а п а з д ы в а н и е м :

242

передаточный коэффициент регулятора должен быть обратно пропорционален передаточному коэффициенту объекта и вре- мени запаздывания.

При высокочастотных воздействиях регулятор (7.18) действует как дискретный: после каждого очередного изменения управляю­ щего воздействия у выжидает в течение интервала т0 и тем самым повышает устойчивость системы.

7.3. Структурно-параметрическая оптимизация систем без запаздывания

Критерий и метод оптимизации амплитудной характеристики. При проектировании систем управления объектами, не содержа­ щими чистого запаздывания, наибольшее применение получили два критерия — модульный оптимум (МО) и симметричный оптимум (СО).

Критерий модульного оптимума, называемый также критерием амплитудного или технического оптимума, заключается в выпол­ нении следующих требований к форме амплитудной характеристики | Ф (/со) | замкнутой системы по каналу х3—х (см. рис. 6.4 и 6.9, б): характеристика в как можно более широком диапазоне частот должна быть горизонтальной и равной единице; наклонный уча­ сток характеристики должен быть как можно более крутопадаю­ щим. Другими словами, критерий модульного оптимума требует, чтобы настраиваемая система приближалась по своим частотным передаточным свойствам к идеальному фильтру низкой частоты, имеющему, как известно, прямоугольную частотную характери­ стику с соПр = (о0. Тогда при отсутствии помехи на входе, система будет наилучшим образом воспроизводить задающее воздействие х3 и подавлять возмущение хв. При наличии на входе высокочастот­ ной помехи частоту пропускания ю0 системы выбирают также до­ статочно большой, но по компромиссному условию совместной фильтрации всех действующих сигналов (см. гл. 8).

Настройка системы по критерию МО обеспечивает малое пере­ регулирование и достаточно быстрое протекание переходного про­ цесса со следующими показателями качества:

Верхние пределы показателей качества соответствуют идеаль­ ному фильтру низкой частоты, который практически нереализуем.

Амплитудную характеристику, близкую по форме к прямоу­ гольной характеристике идеального фильтра, имеет так называе­ мый фильтр Баттерворта, у которого а. ч. х.

243

замкнутой системы при коэффициенте демпфирования | = 0,7

соответствующую частному случаю фильтра (7.22) с п — 2. Таким образом, в рамках приближенной модели (6.21) критерию

МО соответствует значение коэффициента демпфирования

замкнутой системы (при £ = 0), характеризующая полосу пропу­ скания фильтра; Тог — постоянная времени разомкнутого кон­ тура системы.

Для колебательной модели (6.21) нестрогий критерий МО обес­ печивает одновременно минимумы интегральной оценки (6.67) и улучшенной интегральной оценки (6.68) с весовым коэффициентом

Тв = 1.

При настройке систем более высокого порядка ( п > 2) по кри­ терию МО можно обойтись без приближенной модели (6.21). Для этого передаточную функцию замкнутой системы по каналу

Чтобы обеспечить желаемую форму амплитудной характери­ стики, близкую к прямоугольной, коэффициенты нормированной функции (7.27) выбирают в соответствии со стандартными полино­ мами Баттерворта (табл. 7.1). Именно при таких сочетаниях ко­ эффициентов Ai амплитудная характеристика фильтра принимает

244

Т а б л и ц а 7.1 Коэффициенты фильтров Баттерворта

вид (7.22), причем Т = Тм, а относительная частота й 0 = са0Т = 1 соответствует значению амплитудной функции, равному 0,7 (при

&т = 0 • Масштабный множитель Тм не влияет на форму переходного

процесса и служит обобщенной мерой быстродействия системы. Его значение можно выбрать исходя из требуемых показателей

где п — порядок полинома Баттерворта.

Найденное по этим формулам значение Ты обеспечивают за счет выбора по формуле (7.28) соответствующего общего передаточного коэффициента разомкнутого контура k, который входит в свобод­

В системах, параметры которых выбраны в соответствии со стан­ дартными полиномами Баттерворта, перерегулирование

Указанные выше значения длительности переходного процесса tn и перерегулирования о строго выдерживаются только в тех слу­ чаях, когда числитель передаточной функции (7.26) не содержит слагаемых с оператором р. Тем не менее и для систем с более слож­ ным полиномом числителя можно пользоваться рекомендуемыми

245

значениями коэффициентов Баттерворта. При этом также обеспе­ чивается достаточно хорошее качество переходного процесса. Кроме того, настройки, соответствующие полиномам Баттерворта, могут использоваться как исходные (отправные) для отыскания оптимальных настроек систем, передаточные функции которых имеют числитель в виде полинома от р.

Пример 1. Пусть исходная часть системы, состоящая из функционально необходимых элементов, описывается передаточной функцией

Не учитывая наличие полинома в числителе этой передаточной функ­ ции, подберем настроечные параметры так, чтобы безразмерные коэффи­ циенты А г и А 2 полинома знаменателя соответствовали фильтру Баттер­

ворта.

Определим вначале масштабный множитель 7'м, ориентируясь на при­ ближенное соотношение (7.30):

(для заданного быстродействия) значение общего передаточного коэффици­ ента

246

(4.61) — (4.65), используемых для управления следующими инер­ ционными объектами второго—третьего порядка без запаздывания:

меньшей постоянной времени Т01 приближенно заменяет собой несколько инерционных звеньев с еще более малыми постоянными

Моделями (7.40) — (7.43) обычно пользуются для приближен­ ного описания объектов, входящих в типовые контуры регулиро­ вания систем управления электроприводами (контуры регулирова­ ния напряжения, тока и частоты вращения).

В зависимости от типа и порядка объектов (7.40) — (7.43), а также соотношений между их постоянными времени, настройка

контура регулирования осуществляется либо по критерию МО, либо по критерию СО (табл. 7.2). Настроечные параметры регуля­ торов Агр, Т'я и Гд (см. 4.3), обеспечивающие получение определен­ ных показателей качества, в дальнейшем (см. 7.3 и 7.4) будем на­ зывать гарантирующими. Такой термин в рассматриваемой задаче точнее, чем используемые часто понятия «оптимальные» (в отечест­ венной литературе) и «наиболее благоприятные» (в немецкой ли­ тературе) настройки.

Если у объекта второго порядка (7.41) Тог < 4 7*0!, то предпоч­ тителен критерий МО. Для выполнения требований критерия при­ меняют ПИ-регулятор (4.63)

с постоянной времени интегрирования Т'я, равной наибольшей

Тем самым достигается полная компенсация (устранение из уравнения динамики) этой наибольшей постоянной времени. Пе­ редаточная функция разомкнутого контура принимает вид

и совпадает с передаточной функцией (6.31) разомкнутого контура колебательной модели (6.21), для которой, как показано выше, критерий МО сводится к условию g = 0,7. Отсюда в соответствии с формулой (6.34) при | = 0,7 передаточный коэффициент разомк­ нутого контура

Учитывая, что для рассматриваемого контура с ПИ-регулято- ром

получим, кроме (7.46), второе условие настройки на МО:

На рис. 7.5, а показаны л. а. ч. х. L (<о) разомкнутого контура и переходная характеристика h (/) замкнутой системы с объектом (7.41) и ПИ-регулятором, настроенным на МО. Передаточная функ­ ция замкнутого контура, настроенного на МО, имеет вид

Если большая постоянная времени Г02 превышает меньшую Т01 в 20 раз, то объект (7.41) по своим свойствам приближается

248

hit)

Рис. 7.5. Частотные и переходные характеристики одноконтурной системы

регулирования, настроенной по критериям модульного (а) и симметричного

(б) оптимумов

к реальному интегрирующему звену (7.40) и описывается функцией

Таким объектом можно управлять с помощью П-регулятора

настроенного на МО. Для этого передаточный коэффициент регу­ лятора kp должен быть таким же как при Г02 < 4 Г01- Но в системе с П-регулятором по каналу ув—е (см. рис. 4.7, б) возникает стати­

условиям структурной устойчивости замкнутой системы (см. 5.6) нельзя использовать ПИ-регулятор с настройкой Т'к = Т0х, пол­ ностью компенсирующей единственную постоянную времени. По­ этому для таких объектов применяют настройку Т„ ф Т0ъ обес­ печивающую лишь частичную компенсацию постоянной вре­ мени Г01. Найдем наилучшие соотношения настроечных парамет­ ров для частичной компенсации. Передаточная функция разомкну­ того контура, состоящего из астатического объекта (7.40) и ПИ-ре- гулятора с Т„Ф Гоц имеет вид

(7.56)

Ей соответствует передаточная функция замкнутой системы

Применяя к знаменателю функции (7.57) соотношения Баттерворта (см. табл. 7.1), можно получить следующие настройки ПИ-

причем Гм = 2 Го1.

При полученных настройках передаточные функции (7.56) и

л. а. ч. х. L (©) (рис. 7.5, б), поэтому изложенный подход к выбору настроек получил название симметричного оптимума.

Передаточной функции (7.60) соответствует переходная харак­ теристика замкнутой системы, показанная на рис. 7.5, б. Переход­ ный процесс в контуре, настроенном на СО, характеризуется сле­

Для статического объекта третьего порядка (7.43) с постоянными времени, незначительно отличающимися друг от друга, можно при­

настроенный по критерию МО, с полной компенсацией двух наи­ больших постоянных времени. Причем, большую (Г03) из этих двух постоянных времени необходимо компенсировать постоянной Ги, а меньшую (Г02) — постоянной Т'А. Если хотя бы одна из боль­ ших постоянных времени объекта (7.43) превышает наименьшую в 4 раза, то ПИД-регулятор необходимо настраивать по критерию СО, с полной компенсацией лишь одной постоянной времени Г02.

Для сравнения передаточных свойств контуров, настроенных по разным критериям, найдем передаточные функции замкнутой системы по каналу ув—х:

" р ОО (2П .Р2 + 2Го1р + 1 )(Г о2р + 1 )