книги / Теория автоматического управления

От модели объекта, записанной по способу ПС, можно перейти к описанию по способу ВВ. Например, матричная передаточная функция объекта между вектором управления у (/) и вектором вы­ хода х в (t), согласно уравнениям (2.156) и (2.159), равна (при 2 (0 = 0 и g (t) = 0)

Изменение вектора состояния х (t) во времени при известном векторе управления у (t) определяется следующим решением не­ однородного уравнения (2.156):

определяющая так называемую фундаментальную систему решений однородного уравнения х (t) = А х (t):

Каждый элемент Ф£|- (/) фундаментальной матрицы описывает процесс перехода i-й переменной состояния, когда /-я переменная состояния имеет начальное значение х,- (0) = 1.

Первое слагаемое в выражении (2.174) переходного процесса определяет свободную составляющую х св (0, зависящую только от начальных условий х (0) и собственных свойств объекта, т. е. от матрицы А, а второе слагаемое — вынужденную составляющую

Свободную и вынужденную составляющие вектора х (t) можно определить с помощью преобразования Лапласа. Продемонстрируем этот способ на примере определения свободной составляющей. Однородное дифференциальное уравнение, описывающее свобод­ ное движение, имеет вид

отсюда

х (t) = х св (0 = .S?'1 {х (р)} = i?"1 {[р/— Л г 1 л: (0)} = eAl х (0).

(2 Л79)

Из сравнения выражения (2Л79) с первым слагаемым в формуле (2Л74), характеризующим лгсв(0. следует, что фундаментальная матрица всегда имеет вид

Элементы матрицы Ф (t) можно определить разложением мат­ ричной экспоненциальной функции (2Л80) в степенной ряд

матрицы А , которые определяются по ее характеристической мат­ рице

Эти собственные значения отыскиваются как корни характери­

левая часть которого представляет собой многочлен степени п относительно X

Собственные значения Xt матрицы А совпадают с полюсами pi передаточной функции (2.173) объекта. Это утверждение следует из известного свойства определителя квадратной матрицы

Пример. Составим уравнения состояния и выхода смесительного бака (рис. 2.18) емкостью V (м3), в который одновременно подаются два регули­ руемых потока жидкости Qx и Q2 (м3/с), содержащие один и тот же компонент с постоянными концентрациями с10 и с20 (кг/м3). В качестве выходных пе­ ременных этого объекта управления будем рассматривать расход Q, концен­ трацию с компонента в выходном потоке Q и уровень h (м) жидкости в баке, а в качестве входных — расходы Q± и Q2.

Тогда, учитывая соотношения (2.191), можно исходные уравнения (2.187) и (2.188) записать в отклонениях от установившегося режима:

gpOo X! (f)-QoX2(t).

2К0

Обозначая V0/Q0 = Т и исключая из второго уравнения х г (/), можно получить искомые уравнения состояния:

Выходные переменные Q (t), с (/) и h (t) однозначно выражаются через переменные состояния (в отклонениях):

Очевидно, что для рассматриваемого объекта матрицы А, В я С равны:

Для экспериментального исследования динамических свойств систем управления широко применяется машинное моделирование, осуществляемое на различных видах ЭВМ. Используются два ос­ новных метода машинного моделирования: метод аналогового моде­ лирования, реализуемый на АВМ, и метод цифрового моделирова­ ния, реализуемый на ЦВМ.

При аналоговом моделировании решение динамической задачи воспроизводится в виде электрического переходного процесса, адек­ ватного свойствам исследуемой системы управления. Результат

Рис. 2.19. Операционные элементы аналоговых моделей:

а — потенциометр; в — операционный усилитель; д — операционный усилитель интегри­ рующий; б, г, е — соответствующие условные обозначения элементов

решения наблюдают на экране осциллографа или регистрируют с помощью записывающих приборов.

Цифровое моделирование заключается в выполнении определен­ ной последовательности вычислительных процедур, соответствую­ щих численному решению дифференциальных уравнений системы. Результат решения получается на экране дисплея или выводится на печатающее устройство.

При аналоговом и цифровом моделировании систем управления наиболее широко применяется методика структурного моделиро­ вания, согласно которой в машинной модели воспроизводится фи­ зическая структура исследуемой системы, расчлененная на эле­ ментарные математические операции (интегрирование, умножение на постоянный коэффициент, суммирование и др.). Эти элементар­ ные операции реализуются при аналоговом моделировании на опе­ рационных усилителях, а при цифровом — соответствующими про­ граммными блоками.

Как было показано в 2.9, любая сложная динамическая система п-то порядка, описываемая обыкновенным дифференциальным уравнением (2.165) или передаточной функцией (2.163), может быть представлена в виде структурной схемы, состоящей только из ин­ теграторов, сумматоров и блоков умножения сигналов на постоян­ ный коэффициент (см. рис. 2.17).

Простейшим элементом аналоговой модели является потенцио­ метр (рис. 2.19, а), умножающий входное напряжение их на по­ стоянный коэффициент а:

Основным элементом при аналоговом моделировании является операционный (решающий) усилитель — электронный усилитель

или задержки дискретных значений реализуется при программиро­ вании вычислений с помощью оператора присваивания

согласно которому в ячейке памяти происходит пошаговая замена предыдущего значения на последующее.

Формула (2.207) и схема на рис. 2.20, д соответствуют алго­ ритму приближенного численного интегрирования непрерывного

риант обратной разности или прямоугольников с упреждением). Поскольку в этом алгоритме каждое последующее значение выра­ жается через предыдущее, он называется рекуррентным.

Приближенное решение исходных дифференциальных уравнений с помощью их цифровых моделей дает удовлетворительные ре­ зультаты только в тех случаях, когда шаг интегрирования А/ достаточно мал по сравнению с постоянными времени исследуе­ мой системы и темпом изменения сигналов х (t) и у (t) во вре­ мени.

Например, для дифференциального уравнения первого порядка

Контрольные задания и вопросы

1. В чем заключается свойство однонаправленности передачи воздейст­ вий отдельным элементом (например, электрическим четырехполюсником)?

2.Назовите внешние и внутренние переменные, а также параметры ма­ тематической модели электромагнита (см. рис. 2.2, б).

3.Какие типовые воздействия используются при изучении динамики элементов и систем?

4.Поясните понятия переходного и установившегося режима на гра­ фике процесса,у (/), возникшего на выходе статического элемента после сту­ пенчатого воздействия на его вход.

5.Как будет выглядеть график амплитудного спектра отдельного гар­

времени и его спектральную плотность мощности (2.41) по частоте и убеди­

формулу (2.47)].