книги / Управление колебаниями

342 П Р И К Л А Д Н Ы Е З А Д А Ч И О П Т И М И З А Ц И И К О Л Е В Л И П П [Г Л . 8

Переставляя строки и столбцы данного определителя,

и только в том случае, если среди частот он нет двух оди­ наковых.

Перейдем к проверке второго условия. В силу структу­

ры матрицы Л уравнеппе det (Л — ХЕ) = 0 эквивалентно ураннепшо

k Д + tOi) = 0,

все корны которого имеют нулевую действительную часть. Следовательно, оптимальпое по быстродействию управ­ лений v(t) для задачи перемещения (8.3.5) существует,

если все маятники имеют различные частоты со< собствен­ ных колебаний.

При этом условии существует также и решение задачи об оптимальном по быстродействию гашении колебаний для системы (8.3.5). Задача гашения колебаний отличает­ ся от задачи перемещения тем, что х(Т) не фиксировано, поэтому в системе (8.3.5) можно опустить уравнение для х. Тогда в матрице Л и в верхнем определителе (8.3.0) выпадут последние строка и столбец, так что указанный

личных о,- следует из нзложеппого выше.

Рассмотрим теперь задачу разгона. Требуется выбором управлении wit) перевести систему (8.3.2) из произвольно­ го начального положения в состояние поступательного дви­ жения без колебаний со скоростью viT) = с = (0, (}] за на­ именьшее время Т. Граничные условия при t = T имеют

Рассматриваем задачу оптимального быстродействия для системы (8.3.5) с управлением vit) и с граничными условиями (8.3.5) при f = 0 и (8.3.7) при t = T. Уравне­ ние для х опускаем. Для доказательства существования оптимального управления достаточно [176] доказать су­ ществование допустимого управления (условие общпостп положения, как показано выше, здесь выполнено), пере­ водящего систему (8.3.5) из произвольного начального состояния в конечное состояние (8.3.7). Выше доказано существование управления, переводящего систему (8.3.5) из произвольного начального состояния (в том числе из состояпия поступательного движения) в состояние покоя; это — оптимальное управление для задачи гашения коле­ баний. Колебательная система (8.3.5) инвариантна по от­ ношению к замене t-*- — t. Поэтому существует также управление, переводящее систему из состояния покоя в состояние поступательного движения со скоростью с. Та­ ким образом, существует допустимое управление, перево­ дящее систему пз произвольного начального состояния в состояние поступательного движения (через состояние покоя). Тем самым доказало существование оптимального по быстродействию разгона системы маятников с различ­ ными частотами и*.

В силу линейности системы оптимальным в смысле быстродействия будет кусочно постоянное управление, принимающее значение 0 или 1. Рассмотрим сначала ре­ жимы с двумя интервалами постоянства v (t):

разгона Т = t\+ £2. = 2лЛЗо) равно наименьшему време­ ни, за которое можно разогнать один маятник с наимень­ шей собственной частотой 0 < 1 (см. (7.2.15)).

В случае произвольного 0 оптимальное управление со­ держит большее число переключений. Построим управле­ ние с четырьмя интервалами: постоянства скорости, обо­ значая их длительности через U, £2, £3 , £4. На интервалах длиной £[, £3 имеем у = 1 , на остальных интервалах и = 0 , причем у(0) = 0, v(l') = 1 . Подставим v{t) в соотношения (8.3.11)

COS (£1 + £2 + £3 + £4) —COS (£2 + £3 + £4) +

+ COS ( £ 3 + £4) — COS £4 = — 1,

Система (8.3.12) отпосптельпо £1, £2 решалась па ЭВМ, Результаты расчетов приведепы на рис. 8.10. На рис, 8.10, п даны зависимости £1, £2 от со <= [0,2, II. Отме­

тим, что при со = 0,2 режим с четырьмя участками по­ стоянства управления переходит.в оптимальный режим с двумя участками, при этом

со = (От — I )-1= 0,2, 171 = 1, £2 = £4 = 0, £1 = £ 3 = я/Зсо.

На рис, 8.10, б пткпяя кривая соответствует наимень­ шему времени 7’*, за котороеможно разогнать более длинный маятник с собственной частотой о, !Г* = 2зх/(3(о). Верхняя кривая 8.10, б дает время разгона двух маятни­ ков, полученное в результате численного решения систе­ мы (8.3.12), Т = 2(£i + £2).

§4. Оптимальна» амортизация динамических систем

1.Типичные задачи оптимальной амортизации. Важ­ ным классом прикладных задач оптимизации колебатель­ ных систем являются задачи, связанные с проектировани­ ем амортизаторов — механических устройств, служащих для защиты различных приборов и конструкций от виб­ рации и ударов. В современной технике широко распро­ странены объекты, движущиеся с большими ускорения­

щему времени выполнено много исследований, посвящеппых теории амортизационных систем. Изложение методов апалнза и оптимизации виброзащптных и противоудар­ ных систем, а также обширная библиография работ иа эту тему содержатся в монографиях [108, 109, 207, 266].

Возросшие требования к качеству амортизационных систем обусловили появление работ, посвящеппых пост­ роению оптимальных амортизаторов различных типов. Критерии оптимальности определяется целью аморти­ зации.

Приведем несколько типичных постановок задач опти­ мизации амортизационных систем. Рассмотрим механиче­ скую систему, состоящую из твердого тела, укрепленного в корпусе при помощи1амортизационного устройства. Кор­ пус двпжется прямолппейно, тело может перемещаться относительно корпуса в направлении его движения (рис. 8.11). Пусть массы амортизируемого тела и корпуса, в котором оно расположено, равпы соответственно т и М. Будем считать, что к корпусу приложена сила (неуправ­

ляемое внешнее воздействие), зависящая от времени но

348 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ. 3

некоторому закону а(£). Сила /, с которой амортизатор действует на амортизируемое тело, зависит только от его смещения относительно корпуса х и относительной ско­ рости dx/dt. Конкретный вид функции fix, dx/dt) опреде­ ляется конструкцией амортизационного устройства, а сама эта функция часто в технической литературе называется характеристикой амортизатора.

Движение описанной системы определяется дифферен­ циальными уравнениями

Му + mix + у) = оШ, mix -I- у) — fix, х),

где у — смещение корпуса относительно инерциальной системы отсчета. Исключая из этих уравнений перемен­ ную у, получим уравнение, описывающее движение амор­ тизируемого тела относительно корпуса

g(0

М’

Часто при исследовании амортизационных систем предполагается известной не сила оШ, приложенная к

корпусу, а непосредственно ускорение корпуса y{t) как функция времени. В этом случае уравнение относитель­ ного движения амортизируемого тела имеет вид

(8.4.2)

В литературе, посвященной амортизационным систе­ мам, принято говорить о внешнем воздействии динамиче­ ского (силового) типа, если известна сила ail), приложен­ ная к корпусу, и о воздействии кинематического типа,

если известно ускорение корпуса yit) [109]. Из (8.4.1) и (8.4.2) вытекает, что в обопх случаях относительное дви­ жение амортизируемого тела описывается уравнением

внешнего воздействия кинематического типа и uix, х) —

= —fix, х)/ц, F(t) = —ait)/M для динамического внешне­ го воздействия.

Важнейшими величинами, определяющими качество амортизационной системы, являются максимум модуля относительного отклонения амортизируемого тела

<€Ч'о*°°)

и максимум модуля абсолютного ускорения (т. е. пере­ грузки) амортизируемого тела. Последний с точностью до постоянного множителя равен максимальному значению

абсолютной величины функции и(х, х)

Величины /], /г являются функционалами внешнего

воздействия Fit) п характеристики амортизатора uix, х). Через xit) в выражениях (8.4.4), (8.4.5) обозначено реше­ ние дифференциального уравнения (8.4.3), отвечающее заданным начальным условиям

Рассмотрим две типичные задачи оптимизации амор­ тизационных систем.

За д а ч а 1. Пусть движение системы описывается уравнением (8.4.3) с начальными условиями (8.4.6). Тре­

буется среди определеипого класса Y функций и(х, х)

найти оптимальную характеристику амортизатора щ(х, х) такую, что

Такая задача была впервые поставлена в работе 174]. Эта постановка соответствует требованию минимизации габаритов корпуса при условии, что перегрузка пе пре­ вышает заданной величины U, гарантирующей надежную работу амортизируемого объекта.

За д а ч а 2. Среди определенного класса Y функций

и{х, х) найти оптимальную характеристику амортизатора

и°(х, х) такую, что

(в°, F) = min J, (и, F), Jl (в", F) < D.

350 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ. 8

Эта задача соответствует требованию минимизации пе­ регрузки при ограничениях на допустимые размеры кор­ пуса. Задачи 1 и 2 являются двойственными друг к другу в том смысле, что, зная решение одной из mix, можпо с помощью несложного пересчета получить решение дру­ гой. Это вытекает пз мопотопной зависимости оптималь­ ного значения минимизируемого функционала в обеих задачах от параметра, описывающего ограничение. Реше­ нию задач 1 и 2 при различных внешних воздействиях посвящепы исследования [49, 50, 54, 55, 74, 77, 142, 190, 191, 206, 207, 254, 266] и другие.

Отдельно отметим так называемую задачу о предель­ ных возможностях, амортизации, состоящую в вычислении оптнмальпои характеристики u(t) как функции времени. При этом получается минимально возможное при задан­ ных начальных условиях значение критерия качества амортизации. Сравнение значений максимума перегрузки или отклонения, обеспечиваемых амортизатором той или иной конструкции, с предельно возможными позволяет сделать вывод об эффективности данного амортизатора и о целесообразности его применения. Решение задачи о предельных возможностях может быть использовано для приближенного синтеза оптимальной характеристики амортизатора в виде функции фазовых координат [266].

В оппсапных выше задачах функция FW, характери­ зующая внешнее воздействие, предполагалась заданной. Однако, практически редко имеется полная информация о законе изменения ускорения корпуса пли приложенной к нему силы, и целесообразно проектировать амортизацион­ ную систему в расчете на некоторый класс внешних воз­ действий. Рассмотрим две задачи о выборе оптимальной характеристики амортизатора, рассчитанного на класс внешних воздействий, являющиеся естественным обобще­ нием задач 1 и 2. Пусть относительно функции Fit) из­ вестно, что она принадлежит некоторому множеству Ф возможных внешних воздействий.

max J8(i;01 F )< ,7 ,