книги / Управление колебаниями

получим

а(Т) — (i[{T) < 4arcsin(l/2) — 2 =

= 2я/3 - 2 « 0,0944 (у = 1 ), (6.3.8) а(Т) — (ц(Т) < я — 2 « 1,1416 (*у = 0).

Максимальное абсолютное отличие (6.3.7), (6.3.8) опти­ мального и квазпоптималыгого функционалов достигается при к -><», т = я. Относительное отличие, согласно (6.2.32), (0.3.5), равно

Расчеты показывают, что для 7 = 1 квазпоптнмальный ре­

следует, что отличие этих режимов по функционалу пути максимально при Т = я и достигает я/3. При Т -> °° эта разность стремится к нулю. Отличие по функционалу квазноптнмальпых режимов с тремя участками постоянства скорости (tfi = l) при 7 = 1 и 7 = 0 оказывается макси­ мальным при т = я и также равно я/3. Эта величина ха­ рактеризует выигрыш, достигаемый за счет возможности обратного движения точки подвеса в случае 7 = 1 .

3. Квазпоптнмальные режимы в задаче .быстродейст­ вия, Эти режимы построены аналогично квазиоптимальпым режимам в задаче о максимальной дальности. Задан­ ный путь а считаем не равным ,2 як, к — целое, так как при а = 2 я/с имеется простой оптимальный режим.

Рассмотрим режим с 2т' + 1 участками постоянства скорости vit) (т > 1). Для а < 2 я7я оптимальное управле­ ние определяется формулами (6.2.31)—(6.2.35) и имеет не более 2 лг + 1 участков. Для а > 2ят рассмотрим следую­ щее управление.

Представим заданную величину а из (6.2.34) в виде, диалогичном (6.3.1)

а— а\+ а%, а1= 2it(k— т+. 1), <х%= 2яЫ—1) + ъ.

(6А 10)

S 31 КВЛЗИОПТИМЛЛЬНЫЕ РЕЖИМЫ 263

щи (6.3.14), после чего длины интервалов находятся сог­ ласно (6.3.15), (6.3.16).

4.О задаче синтеза. Выше предполагалось, что на­

Решение задачи оптимальпого быстродействия для си­ стемы (6.2.1), (6.2.2) и второго уравнения (6.1.5) с на­ чальными условиями (6.3.18) и условиями (6.2.3) при t = Т эквивалентно построению оптимального синтеза. Ре­ шение этой задачи существует, единственно и определя­ ется из принципа максимума, если выполнены следующие два условия: условие общности положения и условие при­ надлежности точки v = 0 внутренности области ограниче­ ний на управление [176, 53]. Второе условие, как нетруд­ но видеть, выполнено (см. (6.1.2)), если Y X ) . Условие общпости положения сводится к проверке неравенства нулю следующего определителя Д, составленного из век­ торов-столбцов Ь, АЪ, А2Ь, где А — матрица линейной си­ стемы, Ъ— вектор коэффициентов при управлении. В рас­ сматриваемом случае

Следовательно, оптимальное управление при Y > 0 су­ ществует, единственно и может быть найдено из принци­ па максимума. Построение синтеза оптимального управле­ ния может быть проведено по той же схеме, что и изложенное выше решение для пулевых начальных дан-

пых. Одпако анализ соответствующих трансцендентных уравнений оказывается значительно более сложным. За­ дача синтеза оптимального быстродействия для произволь­ ной линейной системы третьего порядка исследовалась в работах [151—153]. Для колебательных систем, близких к рассмотренной выше, синтез оптимального управления псследован в работах [147, 216—219].

§ 4. Оптимальное перемещение двухмассовой колебательной системы

1. Постановка задачи. Рассматривается плоское движе­ ние механической системы, состоящей из двух твердых тел с массами М и т (см. рис. 6.1). Тело с массой М мо­ жет двигаться поступательно без трепня вдоль оси Ох под действием управляющей силы F. Тело с массой т пред­ ставляет собой физический маятник, его момент инерции относительно оси подвеса Р равен /, расстояпие от оси подвеса до центра инерции С равно L. На тело с массой

т действует сила тяжести и сила реакции, под действием которых оно совершает колебания в плоскости ху. Сила Fit) может быть направлена параллельно горизонтальной оси Ох в сторону возрастания iF > 0) или в сторону убы­ вания х iF< 0). Для описания движения выберем в каче­ стве независимых координат абсциссу х центра инерции массы М и угол ср отклонения маятника от вертикальной оси (рис. 6.1). Обозначим через v скорость тела Л/, а через о — угловую скорость мятника, через g — ускорение силы тяжести. Уравнения движения системы имеет вид

x = v, ср = со.

Первое из уравнений (6.4.1) есть уравнение движения центра масс системы, а второе — уравнение моментов от­ носительно осн подвеса. В случае малых колебаний, ког­ да угол ф мал Ы н ф « ф, cos ф » 1), уравнения (6.4.1) уп­ рощаются. Линеаризованные уравпеппя движения (6:4.1) имеют вид

(Л/ + т)х — mLcp — F, /ф + mgLy = т-Ьх. (6 .4 .2)

мещающее систему (6.4.1) с ограничением (6.4.3) из со­

за мппимальпое время Т.

Отмстим, что уравпетпш (6.4.1), (6.4.2) справедливы всегда, сслп связь является удерживающей, т. е. масса тп является твердым телом (физическим маятником). Рас­ смотрим случай пеудержпвающей связи: тело тп является точечной массой, подвешеппой па перастяжпмой гибко!! нити длппы L. Здесь возможеп сход со связи: расстояние между массами может стать мепыпе L. Чтобы сход со свя­ зи не имел места и уравнения (6.4.1), (6.4.2) оставались справедливыми, сила реакции связи R должна быть поло­ жительной (Л > 0). Запишем уравнение движения массы М

и разрешим уравпеппя (6.4.1) относительно производных, ограничиваясь случаем точечпой массы, когда I = тпЬ2. Получим

ш = L -’tfc o s ф — тпьРЬsin ф cosф — Ш + m)gsinф] X

X(M + m sin ^ )-1, x = v, ф = со.

Из соотпошепий (6.4.6), (6.4.7) найдем

R = m(F sin ф + MaPL + Mg cos ф)(Л/ + msiiAp)-1. (6.4.S)

В случае малых колебаний, когда угол ф достаточно мал, условие R > 0 всегда выполнено при любых ограни­ ченных F и М >0. В нелинейном случае при неудержи­ вающей связи нужно проверить выполнение условия R 5 s ^ 0 при помощи равенства (6.4.8).

$4] П Е Р Е М Е Щ Е Н И Е Д В У Х М А С С О В О Й С И С Т ЕМ Ы 267

сти отрезка ограничения (6.4.10). Следовательно, принцип максимума есть пеобходимое и достаточное условие опти­ мальности [176, 53].

Функция Гамильтона Я для системы (6.4.10) в случае

Здесь pi — сопряженные переменные, удовлетворяющие системе уравнений

Таким образом, задача определения оптимальных ре­ жимов сведена к решению краевой задачи для системы дифференциальных уравнений (6.4.10), (6.4.13), в которые нужно подставить управлепие из (6.4.14). Краевые усло­ вия даны формулами (6.4.11). Кроме того, должно быть удовлетворено условие Н{Т) > 0 , и сопряженные перемен­ ные не должны быть все равны тождественно нулю.

Из условия (6.4.14) следует, что оптимальное управле­ ние u(t) представляет собой релейную функцию, прини­ мающую значения ± 1 . Число точек переключения и их положение неизвестны и должны быть определены в про­ цессе решения.

Сначала отыскиваются значения параметра я, для ко­ торого управления с одним переключением (два интерва­ ла постоянства управления) оптимально. Затем для про­ извольных значений а будут построены квазиоптимальные управления с одной точкой переключения, которые переходят в оптимальные при специальных значениях па­ раметра. Далее будет дано точное решение поставленной линейной задачи оптимального быстродействия (задачи 5). В заключение будет рассмотрена нелинейная задача (за­ дача 4).

3. Оптимальные режимы с одним переключением. Рас­ смотрим управлепие вида (6.4.14) с одной точкой t = Т/2 разрыва (переключения) функции nU), т. е.

и(*) = 1 при 0«S*<272, u(t) = - 1 при T/2<t^T .

системы на интервале 0 < t < 772 описывается формулами

(6.4.10) с начальными условиями (6.4.11). Аналогично оп­

Найденное решение (6.4.16), (6.4.17) должпо быть не­ прерывно при t = Т/2. Непрерывность величии у , со имеет место при любых а, а для х, ф условие непрерывности бу­ дет выполнено, если

Таким образом, режимы управления с одной точкой переключения удовлетворяют условиям принципа макси­ мума только для значений безразмерного пути а, опреде­ ляемых формулой (6.4.19). Для указанных значении пара­ метра а необходимое время Т дается формулой (6.4.19). Для доказательства оптимальности полученного управле­ ния, согласно изложенному выше, достаточно убедиться в существованииотличного от нуля вектора сопряженных переменных, удовлетворяющего системе уравнений (6.4.13) и такого, что управление (6.4.14) имеет вид (6.4.15) и при этом Ш.Т) > 0. Существование этого вектора доказывается непосредственно путем подстановки функций

Pi = —с, р2 = с(г— Т/2), ръ = 0, р4 = 0 (c = const<0)

в уравнения (6.4.13), (6.4.14). Вычисление функции Га­ мильтона (6.4,12) дает Н(Т) > 0.

4. Квазпоптнмальные управления. Как показано выше, для счетного множества значений параметра а, даваемых формулой (6.4.19), релейный режим управления (6.4.15) с одним переключением является оптимальным. Для про­ чих значений а точное оптимальное управление имеет большее число переключений. Поэтому представляет инте­

Ниже рассмотрим два простейших типа квазиоптпмальцых управлений.

Зададим релейное управление в виде управления с од­ ним переключением, но с вслпчшюй, меньшей 1 , аименно

где Т1 — неизвестное время перемещения, е — параметр, который должен лежать в пределах 0 ^ е < 1. Для управ­ ления (6.4.20) решение уравнений (6.4.10) с граничными условиями (6.4.11), заданными при £ = 0, может быть записано в виде, аналогичном (6.4.16)

х = ( 1 — е)£2/ 2 , 17 = ( 1 — е)£,

ср = ( 1 — е) ( 1 — cos t), оэ = ( 1 — б) sin f (6.4.21)

при O ^ f^ T i/2 . Решение системы (6.4.10) при f e [ 2V 2 , TJ, удовлетворяющее грапичным условиям (6.4.11), по­ ставленным при t — T\%дается выражениями, подобными (6.4.17)

Ф = (1 — e)[cos (Г, — f) — 1], to = (1 — е) sin (2*i — t).

Функции и, о, как нетрудно видеть пз формул (6.4.21), (6.4.22), непрерывны в точке Т\!2 при любых Т, а, е. Требование непрерывности функций я, ф приводит к следующим условиям на параметры задачи

Решая соотношения (6.4.23) относительно Т\ и е, бу­ дем иметь

7,1 = 4 ян, б = 1 — а(4я2« 2)-1, п = 1, 2, ... (6.4.24)

Для минимизации времени процесса Т\ следует выб­ рать при заданном а наименьшее возможное п. Нетрудно проверить, что минимальное целое п, для которого е, оп­ ределяемое по формуле (6.4.24), лежит в пределах 0 ^

в < 1 , равно

ный режим совпадает с оптимальным (см. (6.4.15), (6.4.19)).

Не проводя аналогичных исследований, укажем другой одпопараметрический квазиоптпмальный режпм управле­ ния

Здесь Г2 — время управления, 6 — длина временного интервала, во время которого система движется по инер­ ции с пулевым значением управляющей силы. Значение б следует выбирать аналогично тому, как это делалось вы­

позволяет перевести систему (6.4.10) пз начального со­ стояния в конечное (6.4.11). Здесь t\, fa, fa— моменты пе­ реключения, Г — момент окончапня процесса.

Подставим управление (6.4.27) в уравнение (6.4.10) и проинтегрируем их при начальных условиях (6 .4 .1 1 ). Удовлетворяя краевым условиям при t = Г, получим ана­ логично (6.4.18) систему трансцендентных уравнений для t\, fa, fat Г