книги / Управление колебаниями
..pdfО Г Р А Н И Ч Е Н И Я И Л С К О Р О С Т Ь II У С К О Р Е Н И Е |
301 |
(7.3.21) поэтому переходит в оптимальный закон (7.2.15) разгона маятника при отсутствии ограничений на уско рение (обозначения в (7.2.15) п (7,3.21) различны).
раничениях
0 < v ^ р, —Ъ«s w < 1 (а = 0), v(T) = с = р. (7.3,22)
Определим значения параметров р, Ь, при которых управление (7.2.32)—(7.2.34) выводит систему (7.1.1) за границу ограничений па скорость. Подставляя значения а = 0, с = р в соотношения (7.3.3)—(7.3.5), найдем
т* = т* — z —2р + р/Ь,
(7.3.23)
arcsin [(1 + &)-1 sin (р + p6-1/2)J > р&"72.
Равенство т* = т* озпачает, что оптимальное управле ние или выводит систему как па верхнее, так п па ниж нее ограничение по скорости, плп вообще не выводит па ограничение.
Используя (7.3.23), выппшем необходимые (по не достаточные) условия, при которых управление (7.2.32)— (7.2.34) выводит систему за границу фазового ограничения
р + р б -7 2 < я , рб-><я. |
(7.3.24) |
При выполнении условии (7.3.24) неравенство (7.3.23) может быть приведено к виду
2 sin i c o s f i i^ -й > Ьsin |
(7.3.25) |
302 |
Р А З Г О Н К О Л Е Б Л Т Е Л Ь П Ь Т Х С И С Т Е М |
1ГЛ.7 |
Таким образом, если при заданных значениях р, b нарушается хотя бы одно пз трех неравенств (7.3.24)— '(7.3.25), то управление (7.2.32) — (7.2.34) по выводит сис тему (7.1.1) за границу фазовых .ограничений и дает решение задачи 4.
Если же неравенства (7.3.24), (7.3.25) выполнены, то оптимальное управление имеет впд (рис. 7.8)
|
Н |
W= |
1, |
t €= (0, *i)U(*4, T)\ |
|
|
|||||
|
|
w = — Ь, |
t e |
(^2i h)> |
|
|
|
||||
|
|
w = |
0, |
t <= (*!> *»)и (*.Л ); |
|
|
|||||
* t = f |
2 |
2 |
26’ |
*•= |
f |
+ |
2b’ |
h = T |
- [ |
||
T = p + |
2 arccosjjj- |
|
|
|
|
D |
(7-3-26) |
||||
|
|
|
|
|
[2 sin (0/2) sin2bj* |
||||||
В силу (7.2.25) аргумент arccos меньше единицы. |
|||||||||||
Управление |
структуры |
(7.3.20) |
рассматривалось в [171, |
||||||||
Р ------у *.— :-------------- 71 |
|
207) в связи с мпнпмизаци- |
|||||||||
|
он |
коэффициента |
|
динамич |
|||||||
|
|
|
|
|
ности. Используя режим раз |
||||||
|
|
|
|
|
гона (7.3.26) и общие соот |
||||||
t , |
|
t |
|
|
ношения |
(7.1.6)— (7.1.9), лег |
|||||
|
|
|
ко рассчитать закон тормо- |
||||||||
|
Рис. 7.8. |
|
|
жеиня. Интересно |
отметить, |
||||||
|
|
|
что |
в силу |
несимметрично |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
сти |
ограничений |
на ускоре |
||||
ние (7.3.22), режим разгона может иметь выходы на фа зовое ограничение, а режим торможения их не иметь я наоборот.
5. Решение задачи 4 при симметричных ограничениях на скорость н ускорение. Рассмотрим задачу разгона при следующих ограничениях на скорость и ускорение
—р ^ и ^ р, —К iv ^ 1 (а = р, 5 = 1),
(7.3.27)
и(Т) = с = В.
Из результатов и. 1 следует (см. (7.3.3)— (7.3.5)), что при р 5s л/3 значения скорости v(t) лежат в отрезке СО, р) при управлении (7.2.32)—(7.2.34). Соответствую щее время Т>п . Оптимальное управление в этом случае
§ 3] |
О Г Р А Н И Ч Е Н И Я |
П Л С К О Р О С Т Ь II |
У С К О Р Е Н И Е |
303 |
дается |
формулами (7.2.32)—(7.2.34). Отметим, |
что при |
||
р = я/З |
скорость выходит на верхнюю границу фазового |
|||
ограничения: vtt) = я/З |
при t = я/З, |
а при р> я/З вы |
||
полнено 0 < v < р для t <= (0, Т). |
|
|
||
ВA |
Vn |
|
|
|
|
й) |
|
S) |
|
Перейдем к случаю 0 < р < я/З. Рассмотрим управле ние с одним интервалом выходана верхнюю границу ограничения, см. рис. 7.9, а (при значениях р, достаточно близких к я/З, нижняя граница не достигается)
w = i, |
t е (0, ti) U(f3, Т)\ |
|
w = 0, |
*e(*i, *<>), |
(7.3.28) |
w = —1, |
tez(t2,t 3). |
|
В силу структуры управления tu t2, t3 должны быть связаны соотношениями (рис. 7.9, а)
ti = p, t3- t z= T - t 3, T - t 2 = 2 (T -t3). (7.3.29) Подставим управление (7.3.28) в соотношения (7.3.18)
ипроинтегрируем их. Получим
cos (T—tl) — cosT — 2 cos (Т —13) + cos (Г — t2) + 1 = 0, sin {T —1{). — sin T — 2 sin (Г — t3) + sin (Г —12) = 0.
Разрешим эту систему, воспользовавшись соотноше
ниями (7.3.29) |
|
£, = р, f2 = р/2 + arcsin [1 — sin (р/2)], |
|
£3 =* (я — р)/2, |
(7.3.30) |
Т —я + р/2 — arcsin [1 — sin (р/2)]. |
|
Отметим, что Т < я при 0 ^ р < я/З. Укажем нижнюю границу параметра р, при котором ие достигается ппжиео ограничение: u (* )> -p на [0, 2*]. Последнее неравенство
304 |
Р А З Г О Н К О Л Е Б А Т Е Л Ь Н Ы Х С И С Т Е М |
. [ГЛ . 7 |
выполнено, |
если Т —J3< 2p . Нетрудно показать, |
исполь |
зуя (7.3.30), что равенство Т— Ц = 2$ эквивалентно урав нению
cos2р = 1 — sin V2p, р°= 0,2548 |
(7.3.31) |
корень которого Р° определяет искомую границу. При [р°, я/3] управление (7.3.28), (7.3.30) не нарушает ог
раничений.
Если р < р°, то оптимальное управление выводит ско рость также и на нижнюю границу v = —р. Рассмотрим управление с участками выхода скорости на обе границы (рис. 7.9, б)
U 7*l, |
< е(0, ty) U{U, Т)\ |
|
||
w = —1, |
tf=(t2,h ), |
(7.3,32) |
||
w = 0, |
t e |
U1? |
t2) Uih, г4). |
|
В силу структуры управления должны быть выполне |
||||
ны соотношения |
|
|
|
|
<! = Р, |
h - t 2~ T - U = 2$. |
(7.3.33) |
||
Подставляя управление (7.3.32) в соотношения (7.3.18), |
||||
получпм аналогично (7.3.30) |
|
|
|
|
ti = р, |
t2= р + Ху |
|
||
h —Зр + я, |
*4 = р + х + 2 arcsin у, |
|
||
х = arccos у — 3/2р, |
у = [4 cos (р/2)1-1, |
(7.3.34) |
||
Т = (п + Зр)/2 + arcsin у. |
|
|||
Можно показать [1971, что найденные режимы явля ются оптимальными в соответствующих интервалах из менения р: управление (7.3.28), (7.3.30) при р<^[р°, зх/33, а управление (7.3.32), (7.3.34) при (0, р°). Минимальное значение Т достигается при Р = 0 и равно arccos (—1/4).
При |
р 0 режим |
(7.3.32), (7.3.34) переходит в разгон |
без |
ограничений |
на ускорение (7.2.14). |
6. Решение задача 5 (случай разгона). Переходим к решению задачи 5, поставленной в п. 1 § 1, в которой ограничения на скорость и ускорение имеют вид (7.1.3) (рис. 7.1, б). В механических системах подобная (7.1.3) зависимость ограничения на ускорение от знака скорости может быть обусловлена, например, силами трения.
§ 3] О Г Р А Н И Ч Е Н И Я Н А С К О Р О С Т Ь И У С К О Р Е Н И Е 305
При Ъ= 1 ограничения (7.1.3) совпадают с (7.1.2), для этого случая задача 5 решена в п. 5. Выясним структуру
управления при 0 < Ъ< °°. Если выполнено |
условие |
Р > 2я нлп неравенство, обратное (7.3.23) |
|
arcsin [(1 + Ь)"1sin (р + pZrV2)] ^ pb~V2, |
(7.3.35) |
то согласно п.п. 1, 4 управление (7.2.32)—(7.2.34) не вы водит величину скорости v(t) за пределы отрезка [0, р] и тем самым решает задачу 5. Если р < 2л и имеет место неравенство (7.3.23), то согласно п. 4 оптимальное уп равление выводит скорость в область v < 0. При этом, как показано в п. 1, должно быть Т < 2л.
Будем предполагать, что при значениях параметров Р, Ь, удовлетворяющих (7.3.23), оптимальная скорость имеет участки выхода на верхнее фазовое ограничение у = р. Это предположение обусловлено следующими сооб ражениями: указанным свойством обладают рассмотрен ные в пп. 4, 5 оптимальные режимы; найденное при этом предположении управление имеет моменты переключе ний, непрерывно зависящие от р, и при р -*■0 это управ ление переходит в оптимальный режим (7.2.14).
Отметим, что за счет линейного преобразования уп равления w (коэффициенты преобразования зависят от знака v) область ограничений (7.1.3) можно свести к прямоугольнику (7.1.2). Правые части системы после преобразования будут иметь разрыв при в = 0. Поэтому ниже используется принцип максимума для систем с фа зовыми ограничениями и с разрывными правыми час тями [176].
На участке оптимальной траектории, лежащем в об
ласти —р < v < р, из |
условия |
максимума |
функции Га |
||||
мильтона (7.3.7) получаем |
|
|
|
|
|||
w(t) = |
1 при р2(* )+ Р з (0 > 0 |
, |
(0 < |
р <Р) (7.3.36) |
|||
Ъпри р2 |
(t) + р3 (t) < 0 |
||||||
|
|
|
|||||
W(t) - ( |
— 1 при р2 (/) -f- р3 (t) < |
0, |
(— Р < у< 0 ) |
||||
Ъпри р2 (t) + р3 (it) > |
О |
||||||
|
w{t) = |
0 при |
|i>(f)| = |
p. |
|
||
На основании (7.3.7) рз — кусочпо постояппая функ ция. Она имеет разрывы в точках выхода и схода с
'20 Ф. л. Черноусько, Л. Д. Акуленко. Б. Ы. Соколов
306 |
РАЗГОН |
КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ |
СИСТЕМ |
|
|
[ГЛ. 7 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ограничения М |
= р, а также в точках |
изменения |
зна |
||||||||||
ка V. |
|
|
|
|
|
, |
|
выхода |
скорости на |
||||
Обозначим через |
£ ь |
£3 |
моменты |
||||||||||
фазовые |
ограничения |
н = р и v = —[}, |
а через |
£2., *4 — |
|||||||||
момеиты |
схода |
с |
этих |
ограничений. |
|
Если |
ограничение |
||||||
v ~ —р пе достигается, то через £3 |
обозначим первый мо |
||||||||||||
мент, когда v минимально, и положим |
£4 = |
£3. Покажем, |
|||||||||||
что па отрезке |
[£2, £3] скорость монотонно |
убывает. |
До |
||||||||||
пустим, что это пе так и обозначим через £", tl |
момен |
||||||||||||
ты, в которые ускорение на отрезке |
|
[£2, £3] |
меняет |
знак |
|||||||||
с минуса на плюс н обратно. Тогда в точках £2, |
£?, £§, £3 |
||||||||||||
имеем р2+рз= 0 |
согласно (7.3.16), (7.3.36). При £^(^2>fi)U |
||||||||||||
U (^г> гз) |
в силу |
(7.3.36) |
выполнено |
р2 + Ръ < 0, |
а при |
||||||||
£ е (£?, £^) |
имеет |
место |
|
противоположное |
неравенство. |
||||||||
Учитывая также dpz/dt = 0, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
sign р2 (£2) = - |
sign р2 (£$) = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
= |
sign pz (tj) |
= |
|
- |
sign р2(£3) = |
- 1 . |
|||
Отсюда следует, что на отрезках [£г, £?], [£?, £2], |
[£2, £3] |
||||||||||||
функция р2.(£) |
имеет |
экстремум. |
Но |
расстояпие |
между |
||||||||
экстремальными точками этой функции (см. (7.3.8)) рав
но л. |
Следовательно, £3 — £г > 2 л, что |
противоречит усло |
|||||
вию |
Т < 2л. Совершенно аналогично |
доказывается, что |
|||||
на отрезках [0 , £j, [£4, |
Т] скорость монотонно возрастает. |
||||||
Таким образом, па интервалах (0, £1) и (£4, Т) скорость |
|||||||
.монотонно возрастает, |
па интервале |
(£2; £3) —-монотоипо |
|||||
убывает, а па |
(£|, £2) п |
(£3, £4) — лежит на ограничениях |
|||||
|
и v = —р |
(последний интервал может отсутствовать). |
|||||
Проведем расчет |
управления |
в |
предельном |
случае |
|||
Ь = «», отвечающем |
возможности мгновенного торможе |
||||||
ния. Условие (7.3.35) при Ь о о |
эквивалентно неравенст |
||||||
ву 2sinp^p . Отсюда получаем, |
что |
при р > р* « |
1,8953 |
||||
всегда и(£) е [0 , р], и оптимальное управление имеет вид (7.2.32)—(7.2.34). Выполняя в (7.2.32)— (7.2.34) предель ный переход при Ъ->- получим
ш (£) = 1 — 2 (7с.+ I) - 1 sin (т/2 ) S 6 (£ — т/ 2 — 2 л£), i= 0
Р = 2л/с + d, Т = 2л7с + т, d = т — 2 sin (т/2).
§ 3] |
ОГРАНИЧЕНИЯ НА СКОРОСТЬ П УСКОРЕНИЕ |
307 |
Перейдем к случаю р < р*, когда оптимальная ско рость выходит на ограничение. Рассмотрим сначала уп равление с выходом скорости только на ограничение v = р (рис. 7.10, а).
w = -рб(£- £г) + (£4 - |
t2M t -U) + |
w'; |
|
w' = 1, |
£ e(0 , tOUiti, |
T); |
(7.3.37) |
w '= 0, |
£ e(£ b *a); |
|
|
=t€={t2,U).
Проинтегрируем соотношения (7.3.18) с управлением (7:3.37). Учитывая граничные условия (7.1.4), а также
V |
|
|
|
|
|
|
|
гй |
|
|
|
|
|
|
|
О //\1 |
A |
Т |
t |
л |
I * |
Л - |
|
*1 |
ч\ | $ |
0 |
t, |
|
т* |
||
|
ff) |
|
|
|
|
6) |
|
|
|
|
Ряс. 7.J0. |
|
|
|
|
равенства |
с = р, U —р, |
Т = £4 + |
р, |
получаем |
систему |
||
уравнений относительно t2>U |
|
|
|
|
|||
ш c o s U —cos (£4 + р) — р sin (£4 — f2+ р) + |
|
||||||
|
+ cos (£4 — £2 + р) = 2 cos р — (£4 — £2) sin Р — 1, |
||||||
sin £4 — sin (£4 + р) + Р cos (£4 — £2 + р) + |
|
||||||
+ sin (£4 — £2 + р) = |
2 sin р + |
(£4 — £2) cos р. |
П (7.3.38) |
||||
Результаты численного решения этой системы в за |
|||||||
висимости от параметра |
р приведены иа рис. 7.11, здесь |
||||||
Р е (Pi, Р*), |
Pi » 0,5068. |
|
|
|
|
|
|
При Р < Pi оптимальная скорость выходит также и на нпжнее ограничение (рис. 7.10, б). Соответствующее уп равление имеет вид
■w — —рб(£ — £2 ) + Р&(£ — £4) + w';
U7' = |
l,' |
£ е (0 , £,)U( |
£4, Т); |
w ' = |
0, |
£e=ttb £2)U( |
£3, £4); |
20*
308 |
РАЗГОН |
КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ |
|
[ГЛ.7 |
|
|
и/ = -1 , |
t e (f2l *3); |
|
|
|
|
*i = |
* 3 - ^ |
r - * 4 = p. |
|
□ (7.3.39) |
Подставим управление (7.3.39) в (7.3.18) и разрешим |
|||||
относительно |
t2l U |
соответствующую систему, |
аналогич |
||
|
|
ную (7.3.38). Результаты чпслеппого |
|||
|
|
решения приведены на рпс. 7.11. |
|||
|
|
7. |
Решение задачи 5 (случай) тор |
||
|
|
можения). Перейдем к задаче опти |
|||
|
|
мального торможения для Ъ= °°. Эту |
|||
|
|
задачу следует решать отдельно, так |
|||
|
|
как ее решение не получается из |
|||
|
|
приведенного в п. 6 решения задачи |
|||
|
|
разгона |
заменой (7.1.6) — (7.1.9). |
||
|
|
Итак, необходимо |
за |
минималь |
|
|
■*- |
ное время перевести маятник из со- |
|||
|
стояния |
поступательного |
движеппя |
||
|
г |
со скоростью у = Р в |
состояние по |
||
|
|
коя (7.1.5) прп ограничениях (7.1.3), |
|||
где Ъ= оо.
Легко видеть, |
что заведомо не оптимальпое управле |
|
ние iv = —p[6(f) + Ш — я)1/2 решает задачу |
торможения |
|
за вромя я прп |
любом р. . Следовательно, |
оптимальное |
время торможения меньше я. Пусть для всех t е [О, Т] име ем у е [0 , р]. Из условий оптимальности (7.3.14), (7.3.15) в задаче без фазовых ограничений следует, что па отрезке
[0, Г], Г < 2 я , |
управление |
w имеет не более трех участ |
ков постоянства прн любом |
Ъ. В предельном случае прп |
|
Ь-v оо участки, |
соответствующие w = —6, стягиваются в |
|
точки, в которых скорость изменяется скачком. Поэтому при Ъ-*■°° на [0, Т] имеем не более двух скачков скоро сти. Можно показать, что эти скачки должны быть распо ложены на границах отрезка [0, Т], т. е. искомое управ
ление имеет вид |
|
|
|
w = 1 — h\b(t) — /i26U — Т) |
С/г>1, /г.2 = const). (7.3.40) |
||
Здесь в силу условий н(0) = |
р, v(T )~ 0 |
выполнено |
|
hi + h2 = T + р. Подставляя это |
управление в |
(7.3.18) |
и |
разрешая полученную систему |
относительно |
h2l |
Т, |
находим |
|
|
|
P = 2 t g | - - 7 \ h L = h 2 = t g ~ . |
(7.3.41) |
§ 3] |
О Г Р А Н И Ч Е Н И Я Н А С К О Р О С Т Ь И У С К О Р Е Н И Е |
309 |
Первое уравнение (7.3.41) однозначно определяет Т как функцию р. Для того, чтобы v(t) «= [0, р], достаточно выполнения неравенства h\ ^ р или, что то же самое, Т < р. Объединяя последнее неравенство и первое урав-
Рис. 7.12.
нение (7.3.41), правая часть которого па [0, я) есть мо
нотонно возрастающая функция |
Т, получим, что |
при |
Р > Рд, где Рд » 2,3311, управление |
(7.3.40), (7.3.41) |
удов |
летворяет ограничениям 0 ^ v ^ р и решает поставленную задачу торможения (рис. 7.12, а).
При Рз < Р < Ра, Р ^ 0,5125, оптимальным является режим торможения с одним выходом скбростп на верхнее фазовое ограничение (рис. 7.12, б)
w = —рбШ + f,6<f - |
fi) - |
p5(f - Т ) + w'; |
|
w' = —1, |
t e (0, ti); |
|
(7.3.42) |
iv'= 1, |
f<Mfi, fa); |
|
|
|
|
||
w' = 0, |
t e (fa, T) |
fi = |
f2 - P- |
При 0 < p < Pa оптимальным является режим тормо- |
|||
жепия с двумя выходами скорости на ограничения (рис.
7.12, в)
w = —p6(f) + p6(f — fi) — p6(f — T) + w ;
w' = —1, f e (0, p);
(7.3.43)
w' = 1, f e ( f lff2);
w' = 0. f s (p , *!)и(#а, Г); f i - f c - p .
310 |
РАЗГОН КОЛЕБЛТЕЛЫТЫХ СИСТЕМ |
[ГЛ. 7 |
Точка переключения fs п время Т в соотношениях (7.3.42), (7.3.43) определялись численно, как корни спс-
/ |
j1 |
|
1 |
Sti |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
ръ 0,8 1,6 |
1. |
Д/2/ip |
|
Рис. 7.13. |
|
тем, составленных аналогично (7.3.38). Результаты при ведены на рис. 7.13.
§4. Разгоп маятника переменной длины
1.Постановка задач разгона н торможения. Нерейдом
крассмотрению математического маятника с переменной длиной подвеса, который является механической моделью многих грузоподъемных машин. Управление движением
осуществляется двумя двигателями: один из них, как п прежде, перемещает точку подвеса Р но горизонтальной направляющей, а второй поднимает пли опускает груз (см. рис. 6.1). Примем, что длина маятника L изменяется по линейному закону
Ш ) = L0 ± ut, щ > 0, |
(7.4.1) |
где Lo— начальная длина, щ — постояпиая |
скорость |
подъема (знак «—») .или опускания (знак «+я>) груза. Уравнение движения системы в случае малых колебаний имеет вид
L<p + 2Ьф + gep= v, 0 =5^ v < и0, |
(7.4.2) |
где ф — угол отклонения маятника, v — скорость точки подвеса, VQ— постоянная.
Рассмотрим задачи разгона и торможения системы (7.4.1), (7.4.2) с гашением ее колебаний при управлении скоростью точки подвеса.
В задаче разгона требуется построить управление v(t), удовлетворяющее ограничениям (7.4.2) и переводящее