книги / Управление колебаниями
..pdf§ 1 J |
ЗАДАЧИ НАИСКОРЕЙШЕГО РАЗГОНА |
281 |
Движение начинается из состояния покоя и закан чивается в момент Т. В этот момент скорость точки подвеса должна равняться заданной величине с, а ко лебания должны быть погашены. Обозначая через а
W, |
|
|
W |
|
1 |
|
|
|
ь |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
Т ° |
-fi |
0 |
fiv |
|
|
-1 |
||
|
|
|
|
|
-ь |
|
|
-ь |
|
|
|
|
|
а)
координату х{Т), запишем граничные условия для систе мы (7.1.1)
ср(О) = ю(0) = х(0) = р(0) = ф(2Р) = со(Г) = О,
(7.1.4)
viT) = с, х{Т) = я, 0 < с < р.
Сформулируем следующие пять связанных друг с другом задач оптимального управления точкой подвеса маятника при его разгоне.
З а д а ч а 1 (задача синтеза). Выбором управления wit) за минимальное время Т перевести систему (7.1.1) из произвольного начального положения <р(0 ), со(0 ), х(0 ) в конечное положение (7.1.4) при фиксированном с. Координата xiT) свободна. На скорость точкп подвеса наложено первое ограничение (7.1.2).
З а д а ч а 2. Эта задача отличается от задачи 1 тем, что в качестве пачального положения выбрано положение
покоя |
(7.1.4), а координата х(Т) фиксирована |
х(Т) = |
|
= 0. В |
этой |
задаче для определенности принимаем а = |
|
= р='й==1 . |
• • |
|
|
З а д а ч а |
3. Выбором управления wit) перевести сис |
||
тему (7.1.1) |
из начального положения покоя в |
копеч- |
|
282 РАЗГОН КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ 1ГЛ.7
ооо положепие (7.1.4). Координата х{Т) свободна. На ускорение точки подвеса наложено второе ограничение (7 .1 .2 ) , на скорость ограничений нет.
З а д а ч а 4. Эта задача отличается от задачи 3 тем, что и скорость, и ускорение ограничены неравенствами
(7.1.2) .
З а д а ч а 5. Задача отличается от задачи 3 тем, что скорость и ускорение ограничены неравенствами (7.1.3), причем с = (J.
Разгон системы до скорости с, меньшей максималь ной скорости § целесообразен при перемещении системы на малые расстояния. Произвол в выборе с можно исполь зовать для минимизации суммарного времени переме
щения. В задачах 1, 3, 4 скорость с |
произвольна, |
с е |
е [0, р], а задачи 2, 5 решаются при с = |
р. |
1 от |
Ограничения на управляющую функцию задачи |
||
вечают механическим системам, скорость которых огра ничена, а время переходного процесса при изменении скорости пренебрежимо мало по сравнепшо с периодом колебаний. Здесь будет построен синтез управления. В задаче 2 рассмотрена аналогичная система, но с допол нительным условием: точка подвеса к моменту разгона должна находиться в исходном положении. В качестве начального состояния в задачах 2—5 выбрано состояние покоя (7.1.4).
В задаче 3 рассмотрено движение с ограни ченным ускорением положения равновесия. Ограни чение на ускорение позволяет учитывать влияние инер ционных факторов. Решение задач 4, 5 с совместными ограничениями на скорость и ускорение опирается на решение первых трех задач. Рассмотрены как независи мые ограничения на скорость п ускорение (задача 4), так и ограничения, зависящие от знака скорости поло жения равновесия (задача 5), см. рис. 7.1. Ограничения (7.1.3), наложенные в задаче 5, отражают тот факт, что ускоренное и замедленное движения подвеса происходят по разным законам (торможение может осуществляться более резко, чем набор скорости).
2 . Задачи напскорейшего торможения. Аналогично, с очевидной перестановкой начальных и конечных условий в (7.1.4), формулируются задачи об оптимальном тормо жении. Таким образом, режиму торможения должны со
§2J |
ОГРАНИЧЕНИЯ НА СКОРОСТЬ ИЛИ УСКОРЕНИЕ |
283 |
|||||||
ответствовать следующие граничные условия |
|
||||||||
|
<р(0) = ш(0) = х(Т) = v(T) = Ф(Т) « ©(Г) = О, |
|
|||||||
|
|
ж(0 ) = а, у(0 ) = с. |
|
|
(7.1.5) |
||||
|
|
|
|
|
|||||
После замены переменных (Ь > 0) |
|
|
|
||||||
|
ф ->■ — &ф, |
со —*■&со, |
|
х -*• — Ьх, |
|
(7.1.6) |
|||
|
v-+bv, |
|
iv -»— |
bw, |
t |
Т — t, |
|
||
|
|
|
|
||||||
уравнения (7.1.1) |
перейдут |
сами |
в |
себя, |
ограничения |
||||
(7.1.2) |
примут вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— ab~{ |
v < рй-1, |
— &_1 ^ 1У < 1 , |
(7.1.7) |
|||||
ограничения (7.1.3) запишутся в виде |
|
|
|
||||||
— Ь-1 < w ^ |
1 |
(у > 0 ) |
— К |
|
w ^ |
Ь~} (и < 0 ). |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.1.8) |
Граничные условия (7.1.5) будут аналогичны усло |
|||||||||
виям (7.1.4) с очевидным изменением |
|
|
|
||||||
|
х(Т)=-аЬ~\ |
v{T) = c |
b |
(7.1.9) |
|||||
Ограничения и граничные условия (7 .1 .7 )—(7.1.9) с точностью до обозначений совпадают с ограничениями и граничными условиями. (7.1.2)—(7.1.4). Поэтому ре шение задач оптимального торможения эквивалентно ре шению задач 1—5 оптимального разгона. Решение задач разгона 1—3 дано в § 2, задач 4, 5 — в § 3.
§ 2 . Оптимальный разгон при ограничениях на скорость или на ускорение положения равновесия
1. Построение синтеза оптимального разгона при ог раниченной скорости точки подвеса. Рассмотрим задачу 1. Также, как в п. 1 § 2 главы 6 , вводим новую перемен ную ф = v — и, (см.(6 . 2 . 1 )), после чего фазовое ограни чение (7.1.2) на скорость v(t) становится ограппчепием на управляющее воздействие. В новых перемеппых ф, ф уравнения дппжеппгя имеют вид (6 .2 .1 ), (6.2 .2 )
(7,2.1)
284 |
РАЗГОН КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ |
СИСТЕМ |
1ГЛ.7 |
а краевые условия (7.1.4) дадут |
|
|
|
|
q>(0 ) = ф(0 ) = ф(Т) = О, |
ф(Г) = с. |
(7 .2 .2 ) |
Сначала будет построено синтезирующее управление, переводящее систему (7.2.1) из произвольного начально го положения <р°, ф° в конечное состояние (7.2.2) за наименьшее время Т при ограничении па скорость (7.1.2) . Это управление, построенное согласпо принципу максимума для линейных задач быстродействия, будет оптимальным при всех с е [0 , р] в силу единственности построения.
Решение задачи разгона с граничивши условиями (7.2.2) будет получено па основе решения задачи син теза как частный случаи.
В соответствии с принципом максимума выпишем для системы (7.2.1) функцию Гамильтона и сопряженные уравнения
И = picp + р2(о — тр), Р\ = Р2, Р2 = — Pi- |
(7.2.3) |
Функция Гамильтона (7.2.3) достигает максимума по р е [—а, р] при
v = — а при р2 < 0, v = р при р2> 0. |
(7.2.4) |
Подставляя в (7.2.4) решение сопряженной системы (7.2.3) , получим (01 — константа интегрирования)
и = —а при sin (£+ 0 0 < 0 , и = р iipu sin'(i+ 0 0 > 0 / :
(7.2-5)'
Отсюда следует, что оптимальное управление v{t) — релейная функция, принимающая значение — а, р. Обоз начим через U, i = 1 , 2 , п, длину i-го интервала посто янства управлепия, а через п — ихчисло. Из {7.2.5) вы текают соотношения
£i ^ л, tn я, и'= я, i = 2, 3, ..., п — 1. (7.2.6)
Общее решение системы уравнений (7.2.1) при уп равлении (7.2.5) имеет вид (Л, 0 — постоянные интег рирования)
ф = A sin (£+ 0) + р, cp — A cos (£+ 0) при v = р,
(7.2.7),
\J) = Л вш(£ + 0) - а , <р ~ Л cos (£ + 0) при v = * — a ,
§2] |
О Г Р А Н И Ч Е Н И Я И А С К О Р О С Т Ь И Л И У С К О Р Е Н И Е |
285 |
Из формул (7.2.6), (7.2.7) следует, что при управле нии v = — a, v = р изображающая точка в плоскости -ф, Ф движется в направлении по часовой стрелке по дугам окружностей с центрами в точках (—а, 0 ), (р, 0 ) соответствснпЬ. Центральный угол дуг не превышает л. Нарве. 7.2 в плоскости ф, ср изображено поле оптимальных тра екторий (7.2.6), (7.2.7).
f
Рпс. 7.2.
Обозначим через ccj, Pi оптимальные траектории, со ответствующие управлениям v = — а л у = р, и приво дящие изображающую точку ф, ср в конечное положение (с, 0). Согласно условиям onTiiMaj
окружности с центрами в точках усами а + с, р — с соответственно (рис. 7.2).
На полуокружность Pi изображающая точка может попасть, двигаясь с управлением и = — а по дуге, цент ральный угол которой пе превышает я (см. (7.2.7), (7.2.6)). Обозначим через <% геометрическое место то чек, обладающих следующим свойством. Движение, на чавшееся из этих точек, должно под действием управле ния v = — а закончиться на дуге Pi за время я. Нетруд но видеть, что 042 — полуокружность с радиусом р — с и центром в точке (— 2а — р, 0 ), лежащая в верхней полу плоскости. Аналогично построим полуокружность РгДвижение, начавшееся на Рг, под действием управления v ~ р должно за время я закончиться на щ, Полуокруж
Р А З Г О Н К О Л Е Б А Т Е Л Ь Н Ы Х |
С И С Т Е М |
[ГЛ . 7 |
ность рг имеет радиус ы + с п центр |
в точке |
(2 (J + а, 0 ), |
она лежит в нижней полуплоскости (см. рис. 7. 2). Продолжая построения по индукции, определим а„
Pi как такие полуокружности, что движение, начавшееся на них, переходит под действием оптимального управления за время я па полуокружности р{_1, a {_i, соответственно. При этом полуокружности оtj лежат в верхней полуплос
кости слева от ai, а |
полуокружности р,- — в |
нижней по |
||
луплоскости справа от Рь Переходы |
a f -*■ pf-i |
происхо |
||
дят под действием |
управления v = |
— а, |
а |
переходы |
р,--*■ai-i — под действием и = р (рис. |
7.2). |
Из |
построе |
|
ния следует, что радиусы полуокружностей ос(, р,- соот ветственно равны
Да. = а + с, i=2/ — 1; |
Ла{ —Р—с,*=2/ |
(/=1,2,...)» |
||
Rfn = Р — с, |
i = 2 / — 1 ; |
|
= ос *4- с, £ = |
2 /. |
Центры |
полуокружностей |
at, р,- лежат в точках At, |
||
pi оси -ф и отстоят друг |
от |
друга па расстояппо сс+ р, |
||
равное сумме радиусов соседних полуокружностей (см. рис. 7.2). Поэтому
^i = p — i(a + p), Bi = i(a + p) — a, i — 1 , 2 , . . .
Построенная таким образом совокупность полуокруж ностей является линией переключения п разделяет фа
зовую |
плоскость \]), |
ф па |
две части. |
Управление |
равно |
|||
v = —а |
в верхней и |
v = р |
в нижней |
части |
плоскости. |
|||
Построенный |
синтез |
оптимального |
управления |
при |
||||
с = 0 , |
сс=р |
переходит |
в |
известный |
пример |
2 пз |
C176J. |
|
2. Разгон лз состояния покоя. Найдем |
программное |
|||||||
оптимальное управление; переводящее систему (7 .2 .1 ) за кратчайшее время пз начального положения в конечное состояние (7.2.2). Из приведенного на рис. 7.2 синтеза следует, что оптимальное управление пмсст два интер вала постоянства скорости. Обозначим длипу первого ин тервала через fi, длину второго — через t2. Таким образом,
Т = t\+ t2 и
u(t) = P, £е=[0, |
f|0; v {t)= —a, |
t\ + t21. |
(7.2.8) |
Запишем решение |
уравнений (7,2.1) в |
виде |
свертки |
§2] |
ОГРАНИЧЕНИЯ НА СКОРОСТЬ ИЛИ УСКОРЕНИЕ |
287 |
||
и учтем краевые условия (7.2.2) |
|
|
||
|
|
т |
|
|
|
ф (Т) = |
| sin (Т —т) v (т) dx = |
сх |
|
|
|
о |
|
(7.2.9) |
|
|
т |
|
|
|
ср (Т) = |
j cos (Т — x)v (т) dx = |
0. |
|
|
|
о |
|
|
Подставим управление (7.2.8) в соотношения (7.2.9). После интегрирования получим
Р cos Ui + t2) — (р + a) cos t2= — с — а,
(7.2.10)
Р sin U\+ t2) — (р + а) sin t2= 0.
Возведем в квадрат и сложим обе части этих урав нений
Р2 — 2р(р + a)cos U—(с + а)2 — (р + а)2.
Наименьший положительный корень Ц этого уравнения равен
tL= arccos |
P2- ( c + g)2+(P + « ) 2 |
(7.2.11) |
|
2 Р (fi + а) |
|
Для определения t2 умножим обе части первого урав нения (7.2.10) па cos t2, обе части второго — па sin t2 и сложим оба уравнения
Р cos t'i —(р -I- а) = — (с + a) |
cos t2. |
|
|||
Подставляя |
в это |
уравнение |
t\ из |
(7.2.11), |
получим |
£„ = |
arccos |
(Р + а)2 - Р |
2 + (с + |
«)а |
(7.2.12) |
|
|
2 (с + а) (Р + а) |
|
|
|
Время быстродействия Т = t\ + t2 найдем из |
первого |
||||
уравнения (7.2.10), подставив в него t2 из (7.2.12). По лучим
т= h+ t,= arccos |
(7-2.13) |
Оптимальный режим разгона построен и определяет ся формулами (7.2.8), (7.2.11)—(7.2.13).
Рассмотрим случай с = р = 1, т. е. разгон производит ся до максимальной допустимой скорости, равной еди нице, и пусть либо а = 1, либо а = 0. Случай сс= 1 от вечает симметричному ограничению па скорость |г| ^ 1 ,
Р А З Г О Н К О Л Е Б А Т Е Л Ь Н Ы Х С И С Т Е М |
|
|
(ГЛ. 7 |
||||||||
а случай а = 0 — отсутствию обратного |
хода, |
здесь |
0 ^ |
||||||||
Подставляя указанные значения а, р, с в со |
|||||||||||
отношения (7.2.11)—(7.2.13), получим |
|
|
|
|
|
||||||
t\ —arccos 1/4 » |
1,3181, |
t2= |
arccos 7/8 « |
0,5054, |
(7.2.14) |
||||||
Т = arccos (-1 /4 ) |
« |
1,8235 |
(|уШ1 < |
1), |
|||||||
|
|
||||||||||
ti = t2 = л/3, |
Г = |
2я/3. ( 0 ^ уШ < 1 ) . |
(7.2.15) |
||||||||
Оптимальные фазовые траектории маятника в плос |
|||||||||||
кости ф, о), соответствующие решениям |
(7.2.14), (7.2.15), |
||||||||||
|
t1 |
|
изображены на рис. 7.3. Эти |
||||||||
'-е$1 |
траектории |
отвечают |
движе- |
||||||||
^ |
|
|
нию системы |
(7.1.1) |
при уп |
||||||
|
|
|
|
равлении |
(7.2.8), |
(7.2.14) |
|||||
|
|
|
|
(рис. |
7.3, а) |
и (7.2.15) |
(рис. |
||||
9 |
°\ |
|
|
7.3,6). Они начинаются и за- |
|||||||
|
9 канчиваются в начале коор |
||||||||||
|
|
Af |
|
динат |
и |
состоят |
из |
трех |
|||
|
|
вертикальных |
отрезков, |
со- |
|||||||
|
|
1 ответствующих скачкадг ско |
|||||||||
|
|
|
|
рости |
и соединенных |
дуга |
|||||
|
|
|
|
ми с |
центральными |
углами, |
|||||
|
|
|
|
равными |
fi, |
t2. |
Величины |
||||
|
S) |
последовательных |
|
скачков |
|||||||
рпс |
уз |
|
|
равны 1, —2, 2 па рпс. 7.3, а |
|||||||
|
и 1, —1, 1 па рнс. 7.3, б. |
|
|||||||||
|
|
|
|
Решение задачи 1 пост- |
|||||||
|
|
|
|
ровно. |
|
|
|
|
|
|
|
о.газгои при ограниченной скорости точки подвеса
ификсированном конечном состоянии. В задаче 2, в от
личие от задачи 1, координата х(Т) фиксирована: х{Т) —
= 0. Поэтому дополнительно к уравнениям |
(7.2.1) и |
краевым условиям (7.2.2) следует привлечь |
уравнение |
и краевые условия |
|
я= У) ж(0) = х(1') —0. |
(7.2.10 |
Выпишем функцию Гамильтона, сопряжепиые урав- |
|
неиия и ограничения для задачи 2 |
|
И = р!ф + р2(у _ -ф) + рзи^ | |
|^ ^ |
Р1 в Р2, Р2= - pi, р3 = 0 .
§21 |
ОГРАНИЧЕНИЯ ИА СКОРОСТЬ ИЛИ УСКОРЕНИЕ |
289 |
Функция Гамильтона достигает максимума по v при v —1 при A sin (£+ 0) + В > О,
|
|
|
|
|
(7.2.17) |
|
|
v = —1 при A sin (£+ 0) + В < 0. |
|
||||
Здесь А, В, |
0 — константы |
интегрирования |
сопря |
|||
женной |
системы. Из (7.2.17) |
следует, |
что v{t) — релей |
|||
ная функция, |
принимающая |
значения |
± 1. Обозначим |
|||
через U длину £-го ненулевого интервала постоянства уп |
||||||
равления, через п число этих |
интервалов, 1 ^ i < |
п. Из |
||||
(7.2.17) |
следуют соотношения, аналогичные (6.2.10) |
|||||
|
U+ |
£<+i = 2 л, |
i = 2 , 3, ..., п— 2 , |
|
||
|
£i + £2 < 2я, |
|
|
(7.2.18) |
||
|
£п_! + £п^ 2я . |
|
||||
Из |
формул |
(7.2.18) ясно, что при |
п > 3 время раз |
|||
гона Т > 2 я. Ограничимся случаем п < 3 и покажем, что соответствующее время Т < 2я. Тем самым будет уста новлено, что оптимальное решение реализуется при в < 3 .
Пусть |
v(t) —— 1 на |
первом интервале |
постоянства. |
Таким образом, рассмотрим управление |
|
||
V |
- - 1 , £ е ( 0, £i)U(£! + £2, Т)\ |
(7.2.19) |
|
v = 1, £ ^ (?i, t\+ |
|
||
£2); Т — ti + £2 "Ь £3, U> 0. |
|||
Из краевых условий (7.2.15) следует |
|
||
|
£I + £3 = |
£2) Т = 2£2. |
(7.2.20) |
Подставим управление (7.2.19). в соотношения (7.2.9), полояшм с = 1 и воспользуемся равенствами (7.2.20)
— 2 cos (£2 + £3) + 2 cos £з = 2 — cos 2 f2,
(7.2.21)
— 2 sin (£2 + £3) + 2 sin £3 = — sin 2 £2.
Возведем обе части уравнений (7.2.21) в квадрат и сложим их. Получим
cos £2 = (2 - i / 6 ) / 4 « - 0,11237.
Наименьший полояштельный корень этого уравненпя, соответствующий согласно (7.2.20) папмепыпему Т, равен
£2 = arccos [(2 — }/б )/4 ] » 1,6834. |
(7.2.22) |
19 Ф. л. Черноусько, Л. Д. Акуленко, Б. Н. Соколов
290 |
Р А З Г О Н К О Л Е Б А Т Е Л Ь Н Ы Х |
С И С Т Е М |
1ГЛ . 7 |
|
Время движения (7.2.20) равно |
|
|
|
Т = 2*2» 3,3668. |
|
(7.2.23) |
|
Представим левую часть второго |
уравнения |
(7.2.21) |
в виде произведения. После преобразований с использо ванием (7.2.22) получим
cos (*з + У 2) = cos t2cos (t2/2) » — 0,07459.
Согласно соотношению (7.2.20) корень £3 этого урав нения должен лежать в интервале (0, £2), где значение t2 дано формулой (7.2.22). Единственный корень в этом
интервале есть |
|
|
|
|
||
f3 —arccos [cos t2cos (t2/2)] — f2/2 « 0,8041. |
(7.2.24) |
|||||
Длину первого интервала ti найдем из соотношений |
||||||
(7.2.20), |
(7.2.22), |
(7.2.24) |
|
|
||
|
|
tl = |
t2- t z * |
0,8793. |
(7.2.25) |
|
Рассмотрим теперь |
второй |
случай, когда v(t) —1 па |
||||
первом |
пптервале, т. е. определим v(t) соотношениями |
|||||
|
» = |
1, * e (0 , «i)U Ui + f2, Т); |
(7.2.26) |
|||
v = — 1, t е= (ilt |
ti + t2); |
T = ti + t2 + J3, |
||||
U > 0. |
||||||
Покажем, что это управление не позволит перевести систему (7.2.1), (7.2.16) из начального положения в ко
нечное (см. (7.2.2), (7.2.16)) при с = 1 за |
время Т, мень |
шее 2п. Аналогично (7.2.21) получим |
систему транс |
цендентных уравнений |
|
— 2 cos (t2+ i3) + 2 cos f3 = — cos 2f2, |
|
|
(7.2.27) |
— 2 sin (t2+ i3) + 2 sin £3 = — sin 212. |
|
Возведем обе части уравнений (7.2.27) в квадрат и сложим их. После приведения подобных членов получим
cos t2= 7/8. |
Отсюда t2 равно либо arccos 7/8, либо |
2згк± |
± arccos 7/8, |
где к = 1, 2, .. .. Если верно второе, |
то вре |
мя движения Т = 2t2> 2п. |
Покажем, что равенство t2= |
— arccos 7/8 невозможно. |
Из равенств (7.2.20) следует |
к + h < 2t2== Т = 2 arccos (7/8) < я/2.