книги / Управление колебаниями

Пусть выполнено условие eilb|z02< l , тогда согласпо (5.4.13) z строго убывает с конечной скоростью и обраща­ ется в пуль не позже, чем в момент ti = Ti = z°(l —

— eilblz02)-1; данная оценка может быть улучшена. Пол­ ное время остановки вращений (в исходном времени) равно

Т* + га~1Т\ ~ е_,(1 + ев).

Таким образом, полную остановку вращений можно осуществить за время Т + о{Т), где Т ~ в-1 — время ос­ тановки, рассчитапнос методом усреднения для асимпто­ тически оптимального закона.

§5. Задача переорпентацпп твердого тела

1.Постановка задачи. Найденные в §§ 1—4 законы управлеппя приводят тело в состояние покоя, однако не обеспечивают заданной его ориентации в пространстве. Между тем важпое прикладное значение имеют задачи о приведении твердого тела (спутника), совершающего про­ извольное начальное движение, в заданное угловое поло­ жение в инерциальной или орбитальной системе коордипат. Решение таких задач можно разбить на два этапа:

торможение вращений и переориентация, т. е. поворот те­ ла в пространстве.

Первый этап движения не требует знания углового по­ ложения тела и может исследоваться иа основе только ди­ намических уравнений Эйлера (5.1.1). Целью управления на этом этапе является остановка вращений; подобные движения рассмотрены в §§ 1—4.

Для второго этапа (переориентации) начальпое и ко­ нечное состояния тела заданы и являются состояниями покоя.

Задачам оптимального управления ориентацией твер­ дого тела посвящено большое число работ, например [25, 30, 95, 120, 135, 169. 180, 200, 234]. В частности, построе-

§ 5] З А Д А Ч А П Е Р Е О Р И Е Н Т А Ц И И Т В Е Р Д О Г О Т Е Л А 233

иы решения задач оптимальной переориентации при огра­ ничениях (5.1.20).

Ниже рассматривается задача онтимальпой по быстро­ действию переориентации твердого тела при ограничениях (5.1.7); решение ищется в классе плоских поворотов.

Обозначим через Ох\х2х3 связаппую с твердым телом систему координат — систему главных центральных осей инерции тела. В начальный момент t = 0 эта система сов­

падает с системой Ох\х“а:®, а в конечный момепт Т — с системой ОххХчХг^. Ориентация обеих инерциальных сис­ тем Ох)х\хз и О х^ хз задана; через щ обозначим извест­

ные паправляющие косинусы между осями Ох* п Ох). Движение тела будем искать в классе плоских поворотов, при которых вектор угловой скорости © сохрапяет посто­ янное направление в пространстве. Кинематические соот­ ношения для плоского поворота имеют вид [98]

Здесь у — величина угла поворота, m{— направляющие косинусы вектора а» в связанной системе Ох\х2хз, со( — проекции вектора © на осп этой системы. Подставляя (5.5.1) в динамические уравнения Эйлера (5.1.1), получим

Малость е в уравнении (5.1.1) здесь не используется, поэтому принято е = 1. Через а обозначен текущий угол поворота, через у — его заданное конечное значение (5.5.1) . Символ (1,2,3) в (5.5.2) озпачает циклическую перестановку индексов в дппампчеекпх уравнениях Эйле­ ра. Разделим каждое из этих уравнений па соответствую­ щее 6j, возведем их в квадрат п сложим. Потребуем

Здесь Г — гамма-функция Эйлера, к — модуль эллип­ тического косинуса сп. На интервале (0, t%) фупкция <йо(£) строго возрастает, далее остается постоянной. Из отмеченного выше мажорирующего свойства функции (5.5.11) вытекает перавепство ©Ш <1 о>оШ при £«=[(), 7]. Аналогично, учитывая граничное условие со (7') = О, получим соit) ^ (Оо(Т — t), так что

©(f)<min[(flo(i), сооС^ — i)J, £^[0, 7]. (5.5.12)

Абсолютный максимум фупкцпопала (5.5.7) при ограииченпп (5.5.12) достигается, очевидно, в случае знака равенства в (5.5.12), т. е. при

Укажем уравпеппе, реализующее зависимость (5.5.13). Сопоставляя (5.5.G), (5.5.9), получпм

и2 = 1, б = sign (7/2 - f), t s Ю, 7J. (5.5.14)

Для определения угла ait) проинтегрируем зависи­ мость (5.5.13) при пачальном условии а(0) = 0, учитывая ее четность относительно момента t = 7/2

t

Решение двойственной задачи (5.5.7) о максимальном угле поворота за фиксированное время построено п да­ ется формулами (5.5.11), (5.5.14) — (5.5.16). Зависимость (5.5.16) в силу положительности ©о(*) > 0 (см. (5.5.11), (5.5.15)) является строго монотонной: возрастает от 0 до оо при изменении 7 от 0 до оо. Следовательно, постро­ енное решение позволяет определить и решение исходной задачи (5.5.6) оптимального быстродействия. Для этого нужно по заданному к определить 7 как сдипствеппый кореиь трансцепдептпого уравнения (5.5.16).

рис. 5.7 кривыми 2, 2, 3 изображены зависимости co(J)

выражается в элементарных функциях. Для этого найдем da/da из (5.5.6) и проинтегрируем полученное уравнение при управлении (5.5.14). С учетом граничных условий (5.5.6) получим

Здесь участки движения соответствуют участкам (5.5.17). Участок выхода угловой скорости на максималь­ ное зпачепно to * отсутствует, если у < 2 а * . Так как

постоянных а*, ©*, получим, что этот участок всегда отсутствует, если А > 2В.

Зависимость а(£) определена соотношениями (5.5.15) и сводится к вычислению функции аоU). Последнюю про­

Сравнивая (5.5.19) н (5.5.18), заметим, что aoit) < а* при t < £*. Подставим функцию (5.5.19) в соотпошеипе (5.5.16) и решим уравнение для Т. Рассматривая отдель­ но случаи у ^ 2а* и ч > 2а* и обращая эллиптический ко­ синус, получим

Т = 2£* —У24©*F ^arccos ^sin - ^ у /г,

Решение поставленной задачи переориентации пол­ ностью построено. Время быстродействия определяется равенствами (5.5.20), угловая скорость — формулами (5.5.17) , (5.5.18), а угол а — (5.5.15), (5.5.19). Постоян­ ные г*, а* даны соотношениями (5.5.11), (5.5.18). Управ­ ление имеет вид (5.5.14), а его компоненты щО) могут быть найдены из уравнений (5.5.2).

Г Л А В А 6

ОПТИМАЛЬНОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

В главе 6 рассматривается задача оптимального по быстродействию перемещения колебательных систем на заданное расстояние с гашением колебаний. В §§ 1—3 предполагается, что скорость перемещения системы огра­ ничена и может изменяться практически мгновенно (безынерционно). § 1 приведены постановки задач оп­ тимального управления. В § 2 дано решение задачи об оптимальном по быстродействию перемещеинп колеба­ тельной системы на заданное расстояние. В § 3 описано решение задачи о максимальном перемещении за фикси­ рованное время. Рассмотрены также квазпоптпмальпые режимы с фиксированным заранее числом переключении. Приведены оценки близости квазиоптпмальных режимов к оптимальным. § 4 посвящен задаче оптимального пере­ мещения двухмассовой колебательной системы при по­ мощи ограниченной управляющей силы. В отличие от §§ 1—3, здесь скорость перемещения пе может изменять­ ся скачком. Построено оптимальное и квазиоптимальное управление. Рассмотрена также нелинейная постановка задачи в случае больших колебаний. Материал §§ 1—3 основан на результатах работ [228, 198], § 4 — на рабо­ тах [38, 36]. Близкие по постановкам задачи были рас­ смотрены в работах [70, 140, 146, 171, 207, 239, 242, 250, 251, 259].

§ 1. Постановка задач оптимального перемещения

сгашением колебании1

1.Уравнения движения. Рассматриваемая механиче­ ская система представляет собой физический маятник, точ­ ка подвеса Р которого может двигаться вдоль горизонталь­

ной прямой Ох (рис. 6.1). Обозначим через <р угол откло­ нения маятника от вертикали, через х — координату точ­ ки подвеса по осп х, отсчитанную от начального положе­ ния, через g —ускорение силы тяжести, через га— массу

груза, через I — его момент инерции относительно точки подвеса, через L — расстояние от точки подвеса Р до цен­ тра инерции С. Направление отсчета угла указано на рис. 6,1. Считая колебания маятника малыми, запишем линейное уравнение колебаний под действием сил тяжести

и сил инерции

/ср = — тцLip+ mLw. (6.1.1)

Здесь w — ускоренно точки подвеса. Скорость v точки подвеса по условию

осп х может происходить с одинаковой скоростью. В слу­ чае 7 = 0 движение возможно лишь в одну сторону; об­ ратные смещения точки подвеса не допускаются.

система снова покоится. Обозначая через а перемещение маятника, запишем зги условия в виде

ф(0) = ф(0) = я(0) = у(0) = 0,

(6.1.3)

ф(Я = ф(Г) = у(Г) = 0, х{Т) = а.

Направление оси х выбрано так, что а>0 . Соотноше­ ния (0.1.1) — (0.1.3) определяют уравнения движения си­ стемы, граничные условия и ограничения. Соотноше­ ния (6.1.2) предполагают, что скорость точки подвеса может изменяться практически мгновенно. Это предполо­ жение справедливо, если время изменения скорости на величину порядка v0 (время ускорения или торможения) мало по сравнению с периодом свободных колебаний си­ стемы. Такое предположеппе верно для ряда встречаю­ щихся па практике малых грузоподъемных машпп, у ко­ торых время выхода двигателя на стационарный режим