книги / Управление колебаниями

322 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЛИ ОПТИМИЗАЦИИ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ. 8

интервале Ы, d/h), то минимум достигается при b = d/]/h, т. е. при L = h.

Итак, для режима AFA имеется два случая. Если

аквазпоптимальный режим F состоит из трех участков. Заметим, что оптимальному режиму Е соответствует

управление со многими точками переключения, и поэто­ му естественно заменить его более простым и близким но фупкцпопалу квазиоптпмальпым режимом F, т. е. исполь­ зовать движение типа AFA.

На рис. 8.1 пунктирной линией 2 представлен график функции ij)°= V2 + л([6/(2л)] + 1)/Ь, являющейся анало­ гом il?, для реяшма F. На отрезке [0, 2л] функции 1|? н i|?° совпадают. Максимальное отличие 'll?0 — 1|? не превосходит 0,5 (при Ъ->- 2л + 0).

Рассмотрим последний реяшм ABDCA. Пусть во вре­ мя разгона В п торможения С приведенные длины под­

Зпачспня параметров L\ ж z определим из условия min Т3 по L\ и ъ при вытекающих из (8.1.4) ограниче­ ниях

h Lу Ly -|- cz ^ 1 , V3H ( Ly —|—"f/*Ly -|- cz) -|- z ^ d.

(8.1.15)

Второе ограничение выражает тот факт, что полное горизонтальное перемещение не мспсс суммы мутей ре­ жимов В, С, D.

Функция Tz монотонно возрастает по L\, и поэтому со минимум достигается при наименьшем L\, допускаемом (8.1.15). Левая часть последнего неравенства (8.1.15) мо­ нотонно возрастает по L\. Следовательно, если это нера­

венство выполнено при некоторых L\, ъ, то опо будет вы­ полнено также при LL= h<.L* ц том'же z. Поэтому

положим L\= h. В силу монотонности леиой части упомя­ нутого неравенства по z его можно прииссти к виду яСзо, где so — положительный корень уравнения z0-|-

4- Va nV h-\-cz0 = d — 1/3 n V /&, равный

Неравенство zQ> 0 является условием возможности осуществления режимов типа ABDCA. Перейдем к опре­ делению минимума Г3 по z при ограничениях (8.1.17) и при L\ = h. Для этого достаточно найти минимум по z при L\ = h тон части слагаемых в Т’з, которая зависит от

z, а именно 0 (z) = У3 я ]/"h + cz — z.

Функция 0(z) унимодальна и имеет единственный максимум. при z = z* = (jt2c2/36 — К)1с. Отсюда и из не­ равенств (7.1.17) вытекает, что в зависимости от парамет­ ров d, h, с реализуется один из двух типов движений ABDCA. Оба типа возможны лишь при условии zo > 0, где z0 определено формулой (8.1.16), и для каждого из них имеем L\ = h, т. е. участок А по существу отсут­ ствует.

Движение (ABDCA) 1 пмест место, если параметры d, h, с удовлетворяют хотя бы одному из следующих двух неравенств

x ^ z .,., 0(О) = 1/ 3я 1 //г < 0 (х ).

В этом случае минимум 0(z) реализуется при z = 0. Следовательно, имеем L\ = L2 = h, и иа участках В, D, С необходимо двигаться с постоянной длиной подвеса L = h. После этого следует режим А, в котором груз опус­ кается от L = h до L = 1. Время движения при этом вы­ числяется по формуле

Г3 = ^ + ( 1 - ^ / с + 2/злК/Г,

§ 2 | УПРАВЛЕНИЕ ГРУЗОПОДЪЕМНЫМИ МАШИНАМИ 325

блемы автоматизации работы подъемно-транспортных машин. Автоматизации должны быть подвергнуты основ­ ные, часто повторяющиеся рабочие операции, которые требуют больших затрат физической и нервной энергии оператора-крановщика. В результате внедрения оптималь­ ных (или близких к ним) автоматических режимов управ­ ления существенно сократится время перегрузки, умень­ шится простой судов и других транспортных средств. Задачи оптимального управления грузоподъемными ма­ шинами ставились и исследовались в книгах [83, 86, 194],

Разработка методов автоматического управления подъ­ емными крапами и другими машинами, перемещающими висящие грузы, имеет ряд особенностей. Простейший подъемный кран — это сложная механическая система, имеющая с учетом колебаний груза 5—6 степеней сво­ боды. Система эта, как правило, существенно нелинейна. Уравнения ее движения включают уравнения самого крана с грузом, а также уравнения двигателей. При раз­ работке алгоритмов управления следует иметь в виду большое количество критериев и ограничений. Одним из важных критериев является время рабочего цикла, что приводит к постановке задач оптимального быстродей­ ствия. В других случаях критерием может, служить рас­ ход энергии в процессе работы механизмов. Среди огра­ ничений важную роль играет требование гашения коле­ баний груза в конце движения. Часто требуется вы­ полнить также различные ограничения па координаты и скорость груза, папример, груз не должен задевать окружающих предметов (стенок трюма судна и др.). В зависимости от требований к работе двигателей следует припиматт» во внимание ограничения па скорость и уско­ рение точки подвеса груза. 'Таким образом, здесь возни­ кают мпогочпелеппые и сложные задачи оптимального управления, зависящие от типа крана, от его двигателей, от цели управления и от ограничений.

Рассмотрим наиболее простые по кинематической схеме и широко распространенные грузоподъемные машины типа козловых или мостовых кранов илп пе­ регружателей. В качестве их механической модели принимается тележка с подвешенным грузом, которая

320 П Р И К Л А Д Н Ы Е З А Д А Ч И О П Т И М И З А Ц И И К О Л Е Б А Н И Й [Г Л . 8

движется поступательно по горизонтальной направля­ ющей.

У малых грузоподъемных машин (крапов небольшой мощности, тельферов), спабжеппых асинхронными дви­ гателями, время переходного, процесса (время выхода на стационарный режим) много мепьше периода колебании груза, а тормозная система обеспечивает практически мгновенную остановку. Поэтому в качестве управляющей функции в рассматриваемой модели следует выбрать ско­ рость подвеса, которая по предположению ограничена. За­

разгона и торможения, а в § 1 главы 8 построены спосо­ бы перемещения груза в вертикальной ■плоскости на за­ данное расстояние и высоту. Этп режимы прошли экспе­ риментальную проверку на кафедре механизации и авто­ матизации портов Одесского института инженеров морс­ кого флота с использованием разработанной на кафедре системы автоматического управления. Испытания подт­ вердили справедливость принятой модели и эффектив­ ность полученных режимов.

В современных мощных контейнерных перегружате­ лях конструкция электропривода обеспечивает плавное (примерно постоянное) ускорение точки подвеса груза до максимальной скорости и такое же торможение (см. [194], гл. VI). Время разгона и торможения сравнимы с периодом колебаний груза. Поэтому при постановке за­ дач управления такими кранами необходимо учитывать ограничения как на скорость, так п на ускорепие подвеса. В § 3 главы 7 дано решение задач разгона и торможе­ ния при совместных ограничениях па скорость и на ус­ корепие. Перемещение груза при совместных ограниче­ ниях можно производить в три этапа: разгон — движение с постоянной скоростью без колебаний — торможение по схеме § 1 главы 8.

Если расстояние достаточно мало, т. е. ограничение по скорости не достигается, то для перемещения груза можно воспользоваться .режимом управления при ограни­ ченной опле (§ 4 главы 6). Вопросы перемещения груза при изменяющейся длине подвеса рассмотрены в § 4 гла­ вы 7, в § 1 главы 8.

*2) УПРАВЛЕНИЕ ГРУЗОПОДЪЕМНЫМИ МАШИНАМИ 327

Наряду с режимами, оптимальными по быстродейст­ вию, представляют практический интерес способы управ­ ления, оптимальные в смысле других критериев, прежде всего в смысле энергетических затрат (тепловых потерь).

задач о минимизации энергетических затрат при переме­ щении (п. .2) ы разгоне (п. 3) висящего груза.

2. Минимизация энергетических затрат при перемеще­ нии висящего груза. Рассмотрим следующую задачу уп­ равления силой тяги двигателя, перемещающего без трошш тележку с висящим грузом [38]. За фиксированное время Т требуется выбором силы Fit) переместить вися­ щий груз (рис. 6.1) па заданное расстояние а из состояпия покоя снова в состояние покоя. Уравнения движе­ ния двухмассовой системы в случае малых колебании и краевые условия даны соотношениями (6.4.2), (6.4.4), (6.4.5)

При некотором упрощении можно полагать, что сила F тяги электродвигателя пропорциональна силе тока об­ мотки якоря, а мощность тепловых потерь — квадрату то­ ка. Следовательно, с точностью до коэффициента нронорЦиштльпости затраты энергии определяются интегралом

Перейдем к безразмерным переменным по формулам

328 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ КОЛЕБАНИЙ [ГЛ. 8

Здесь vo— произвольная постоянная, имеющая размерпость скорости, папример, v0= gl\.

В безразмерных переменных (8.2.4) (штрихи далее опускаем) уравпепия движения (8.2.1) примут вид, ана­ логичный (6.4.10)

Краевые условия в безразмерных переменных остают­ ся прежними (8.2.2), а функционал (8.2.3) переходит п

Для определения оптимальпого управления восполь­ зуемся принципом максимума. Выпишем функцию Гампльтопа и сопряженную систему

Из условия максимума гамильтониапа по ы определя­ ется вид оптимального управления

Здесь Xi — произвольные постоянные. Подставим управ­ ление (8.2.9) в систему (8.2.5) и проинтегрируем се при

начальных условиях (8.2.2) для t = 0. В результате по­ лучим

■ х = — VisM 3 + V4M 2 + г/^3(sin t — t) +

+XUK (* cos t ~ sin 0 — 1UKi sin

и= 1 /.2X1 (c.os t — 1) -f- 1/X1sin t — 1 / i X.Jt sin i —

ются функциями параметра 7’. Решение системы (8.2.11) может быть записано в виде

Отмстим, что решение поставленной задачи оптималь­ ного управления при всех Т > 0 существует и единствен­ но [117, 176J. Определитель £)('!)> 0 при всех Т > 0. Величины Dt(T), DiT) легко рассчитываются численно; оптимальное управление и траектория определены форму­ лами (8.2.9) —(8.2.12). Точно также решается задача оп­ тимального перемещения шз любого (непуле<вого) началь­ ного состояния.

3. Минимизация энергетических затрат при разгоне висящего груза. Найдем закон изменения силы тяги дви­ гателя Fit), при котором тележка с подвешенным грузом (рис. 6.1) за фиксированное время Т переходит из состоя­ ния покоя в состояние поступательного .движения (см. 1911). Краевые условия для системы (8.2.5) имеют вид

а:(0) = ф (0) = ш(0) = w(0) = <р(Я = со (Я = 0, viT) = 1.

(8.2.13)

нята величина задаппой скорости системы в конце

В качестве критерия оптимальности принят функцио­ нал (8.2.6). Поставленная задача разгона отличается от задач главы 7 критерием оптимальности.

Сначала рассмотрим задачу без учета ограничений (8.2.14) . Ее решеипе строится аналогично предыдущему пункту. В соотношениях (8.2.7), (8.2.8) в силу условия трансверсальности р\{Т) = 0 получим

Подставим управление (8.2.16) в уравнения движе­ ния (8.2.5) и проинтегрируем их с начальными условия­ ми (8.2.13)

■x(t) = */2ВС1— 4[sinU + 0) — sin 0 — l cos 01, v(t) = Bt — A[cos(£ + 0) — cos 0l,

Оптимальное управление (8.2.16) и соответствующая скорость vit) равны