книги / Управление колебаниями

О ^ d< 2л. Тогда интервалы £„ их число п и время быст­ родействия Т определяются следующими соотношениями

то решение (7.2.32), (7.2.33) переходит в режим посто­ янного ускорения: wit) ^ 1, Т = с = 2пк, п = 1.

Полный анализ решения (7.2.32)— (7.2.34) приве­ ден в главе 6. Там же предложены н исследованы удоб­ ные для технической реализации квазпоптпмальпые ре­ жимы с задаппым числом интервалов постоянства уп­ равления, например, с п = 3. Даны оценки отличия квазлоптимальных режимов от оптимальных по времени движения Т. Тем самым решение задачи 3 завершено.

отрезка [—а, р] из (7.1.2). При этих условиях решение задач 3 и 4 совпадает. Используя формулу (6.2.44) и за­ мену (7.2.31), приходим к выводу, что при с>2п ско­ рость точки подвеса в задаче 3 удовлетворяет неравенству

и выразим «л при помощи равенства (7.2.35). Тогда не­ равенства (7.3.2) примут вид

т(с) < 1 2 ( 1 + Ь)р — с]Ь~1= тг*(с),

(7.3.3)

т(с) < [2 (И -Ь )а + с ( 1 + 26)]Ь-1 = т*(с),

где зависимость т(с) определена уравнением (7.2.35) при к = 0 и d= с. Наименьшую из двух величин (7.3.3) обо­

(7.3.5), то решение задач 3 и 4 совпадает. Оптимальпос управление задается формулами (7.2.32)— (7.2.34).

Заметим, что неизвестное пока оптимальное управле­ ние, реализующее при с < 2я выходы на фазовое огра­ ничение, переводит систему (7.1.1) в заданное конечное положение за время Т < 2я. Действительно, рассмотрим управление вида и>(<) = (2я)-1с < 1 на интервале 0 < t < Т. Этот режим заведомо не оптимален, однако удовлетворя­ ет ограничениям (7.1.2) и переводит систему в заданное положение (7.1.4) за время Т —2я. Далее в п.п. 3—5 рас­ сматриваются режимы управления с выходами па ограни­ чение, которые соответствуют с < 2я и переводят систему из начального . положения в конечное (7.1.4) за время

Т< 2я.

2.Анализ условий оптимальности в задаче 4. Пусть

с< 2я и условие (7.3.5) нарушено. Тогда оптимальное управление выводит систему (7.1.1) на фазовое ограниче­ ние по скорости v. Воспользуемся результатами работ [176, 207, 561 и установим структуру оптимального уп­ равления в этом случае. Преобразуем неравенства (7.1.2) для скорости v к виду

Если траектория на некотором интервале лежит на границе области (7.3.6), то имеем w = dv/dt = 0. Пусть на некоторых интервалах времени g(v) < 0. Тогда функция Гамильтона II и сопряженные переменные для системы (7.1.1) определяются соотношениями

II —pi® + p2(w — ср) + pzw,

(7.3.7)

Pi = pa, Р2 *= -ри Рз = 0 (g(v) < 0).

Уравнение (7.1.1) для х опущено, так как х{Т) сво­ бодно. Система (7.1.1) автономна, ограничение (7.3.6) не зависит явно от времени t, фазовых координат ф, о и управления w. Поэтому гамильтониан II и сопряженные переменные р\, рг непрерывны на всем отрезке ie [0 , Т]. Проинтегрируем первые два уравнеппя (7.3.7), которые справедливы на всем отрезке

Pi = —A cos (t + 0), рг — А sinU + 0), 0 < t^ T . (7.3.8)

Здесь A, G — константы интегрирования. Введем функции

P(v, w) = wdgldv= {2v + a — $)w, q(w) ={w — 1)(w + b).

На участках оптимальной траектории, лежащих на границе области (7.3.6), выполняется условие [176]

Р-3.9)

Здесь функции Я(£), цШ определяются как множители Лагранжа из условия максимума гамильтониана (7.3.7) при ограничениях Р = 0, q<0.

Выпишем уравнение для сопряженной переменной Рз в случае, когда v = —а на некотором участке. Здесь w = 0 и управление w лежит внутри отрезка [—6, 1], по­

вектор (d%/dt) grad g был направлен внутрь области фазо­ вых ограничений или обращался в нуль. В силу (7.3.11)

мы (7.1.1) с границы области (7.3.6) испытывает скачки

кусочно постоянная функция (см. (7.3.7), (7.3.11)), испы­ тывающая скачки (7.3.13).

Обозначим моменты переключения управления w при

ние, заключенное в квадратные скобки последней форму­

Приведенные выражения (7.3.12)— (7.3.16) позволяют установить ряд важных свойств оптимального управле­ ния, в частности, число выходов на ограничение.

Пусть п — число ненулевых интервалов времени, на которых управление wit) принимает крайние зпачсния 1 либо — Ь. Рассмотрим функцию р2 + р3 = A sin it + 0) + р3 на участке траектории, лежащем в области giv) < 0. На нем рз = const, и функция р2+ р 3 обращается в нуль в

ницах ti, t] (см. (7.3.16)). Между двумя соседними пу­ лями этой функции заключен экстремум функции A sin it + 0). Число интервалов, на которых достигается этот экстремум, не меньше п —2, а соседние точки эк­ стремума отстоят друг от друга на л. Отсюда получаем следующую оценку времени движения

T>in~Z)n. (7.3.17)

Так как в рассматриваемом случае выхода на ограни­ чение имеем 7’ < 2 я (см. п. 1), то из (7.3.17) имеем п < 4. Отсюда следует, что имеется не более трех участков вы­ хода па ограничение giv) —0. На участке траектории, лежащем в области giv) < 0, функция р%4- р3 обращается в нуль не более двух раз, включая также границы участ­ ка. В противном случае было бы Т > 2л, так как три со­ седних нуля функции ра+ рз расположены па отрезке длиной не менее 2л. Следовательно, момептов переклю­

чений может быть не более двух, и они могут быть расположены только до первого выхода и после послед­ него схода с ограничения. Перебирая все возможности, получим 16 возможных типов функций vit) на интервале [0, Г], Т<2п. На рис. 7.4 приведена структура восьми

функций; остальные могут быть получены путем отобра­ жения V-*— v ж перестановки значений w = 1, w—— b = —a, v = {}. Заметим, что при а = 0 число допусти­ мых функций vit) уменьшается до восьми, так как все режимы, полученные из. рис. 7.4 путем указанного отоб­ ражения, содержат в начале интервал покоя и поэтому

не оптимальны.

В общем случае для значений а, р, 6, с < 2л, пе удов­ летворяющих (7.3.5), поиск оптимального управления за­ ключается в следующем. Каждый из 16 типов управле­ ния, зависящий от параметров (моментов переключения

t°, выхода и схода с ограничений t), t;) подставим в

вытекающие из уравнении (7.1.1) и граничных условий (7.1.4). Затем определим режим и соответствующие

Рис. 7.4.

значеппя параметров, отвечающие папменыпему Т. Нпже

в п.п. 3—5 приведено решение задачи 4 для ряда важных случаев.

3. Решение задачи 4 при симметричном ограничении на ускорение и неотрицательной скорости. Рассмотрим задачу 4 ири следующих ограничениях

- l < w * £ l , р ^ с (а = 0, 6 = 1). (7.3.19)

Определим значения р, с, при которых система (7.1.1) не выходпт на ограничения (7.3.19) но скорости при уп­

(7.2.32)—(7.2.34).

Отметим, что при с = я/3 из (7.2.32)—(7.2.34) получим Т = я. Предположим (это оправдывается в дальнейшем), что оптимальный разгон до скорости с < я /3 можпо осу­ ществить за время Т < я. Тогда, согласно оценке (7.3.17) имеем п = 3 и из восьми вариантов рис. 7.4 допустимы лишь четыре: а), б), в), е). Опуская выкладки, приведем окончательные результаты исследования: оптимальное управление, время Т < я и области значении параметров Р, с, для которых реализуется каждый из типов управле­ ния.

Установлено, что режимы а), б) рис. 7.4 не позволяют разогнать систему (7.1.1) до заданной скорости с < я /3

сгашением колебаний за время Т < я.

А.Если параметры р, с таковы, что одновременно

выполняются неравенства

Р > с 2 arcsin (2 sin2 (р/2)}, с < я/3,

то оптимальное управление имеет вид (рис. 7.5, а)

w = 1, t е= (0, h) UU4, Я ; w = —1, г е (г 2>г3);

IV = 0, i s (гь *2) и (*з, и);

300 Р А З Г О Н К О Л Е Б А Т Е Л Ь Н Ы Х С И С Т Е М 1ГЛ.1

Г== 7г(я + с) + ^ < я.

В.Если р > с > я/3, то оптимальный режим, как от­

Р, с, соответствующие построенным режимам А —В. Остановимся на некоторых предельных случаях. При

с = р < я/3 имеем режим А с выходом па ограничения v = 0, v = р, а именно

ti — р, = я/3, tz =т я/3 + р,

(7.3.21)

«4 = 2я/3, Г= р + 2я/3.

Этотрезультат совпадает с ранее полученным реше­ нием в [171, 207] задачи о минимуме коэффициента ди­ намичности. При р ->- 0 время набора предельпой скорости мало по сравнению с периодом колебаний. Решение