книги из ГПНТБ / Семененко В.А. Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах учеб. пособие для студентов всех специальностей

Электрическая цепь, эквивалентная в математическом отношении данной механической цепи, может быть составле­ на из пассивных элементов R, L, С по двум системам электро­ механических аналогий. Внешняя сила Q моделируется в них или с помощью источника тока, или источника напряжения. В Первой системе аналогий роль обобщенной координаты х играет электрический заряд q, во второй — магнитное потокосцапление ф.

На рис. 1—63, 1—64 приведены электрические модели, составленные по первой и второй системам аналогий для рас-

ьА

сматриваемой упругой механичеокой системы. По законам Кирхгофа можно составить уравнения для схемы рис. 1—63.

и для схемы рис. 1—64

Сопоставляя уравнения (1—67) и (1—66), (1—68) и (1—66), можно установить следующую аналогию между механическими и электрическими величинами (см. табл.).

80

Уравнению динамического .равновесия механической си­ стемы (1 — 66) соответствует в электрической модели, составленной но первой системе аналогий, уравнение 'баланса напряжений (1— 67) (второй закон Кирхгофа), а в модели, полученной іпо второй системе аналогий,— уравнение баланса токов (1—68) (первый закон Кирхгофа).

Определим параметры схемы рис. 1—63, полученной по первой системе аналогий. Введем константы подобия для соответственных величин в уравнениях (1—66) и (1—67).

іV *

(1-69)

Заменим переменные и параметры модели в уравнении (1—67) через соответствующие величины натуры и константы подобия. Тогда получим

Уравнение (1—70) тождественно уравнению (1—66) при следующих условиях:

Подставив в уравнения (1—71) выражения для констант подобия (1—69), получим критерии подобия в следующем виде:

уравнениях шесть неизвестных величин, то две неизвестных константы подобия можно выбрать произвольно из конструк­ тивных соображений

Аналогично из анализа уравнений (1—66) и (1—68) могут быть найдены критерии подобия и рассчитаны параметры модели, полученной по второй системе аналогий.

Для составления электрических моделей механических систем, состоящих из упругих, инерционных и фрикционных и других элементов, широкое применение получил метод четырехполюсников, который состоит в том, что механические элементы, массы, трения и упругости заменяются электриче­ скими четырехполюсниками — аналогами согласно рис. 1—65.

Рис. 1—65. Схемы четырехполюсников, моделирующих отдельные элементы упругой механической системы

82

менения метода четырехполюсников получены схемы моде­ лей, совпадающие со схемами рис. 1—63 и рис. 1—64.

При составлении электрических моделей механических систем достаточно методом четырехполюсников получить схему по одной из систем аналогий. В случае необходимости схема по другой системе аналогий может быть достаточно легко получена с использованием графического метода построения дуальных цепей. Сущность этого метода состоит в следующем. Внутри каждого контура исходной цепи и вне ее ставятся точки — узлы будущей дуальной цепи. Между этими точками проводятся линии, пересекающие все элементы исходной цепи так, чтобы каждая линия пересекала только один элемент и чтобы каждый элемент был пересечен лишь один раз. Затем, в местах пересечения необходимо поместить элементы дуальной цепи, замещающие элементы исходной цепи, как показано на рис. 1—65. Пример составления дуаль­ ной цепи показан на рис. 1—67.

§6—3. Моделирование физических полей

Вматематической физике для изучения поля составляется дифференциальное уравнение элементарного объема поля, которое, описывает все поля одной и той же природы неза­ висимо Ьт их геометрической конфигурации и условий их взаимодействия с окружающей средой. Чтобы выделить инте­ ресующее нас физическое поле, нужно, задать краевые усло­ вия, представляющие совокупность начальных и граничных условий. Затем находятся функции, являющиеся решением дифференциального уравнения и удовлетворяющие краевым условиям. Однако в большинстве практических задач зада­ ние краевых условий в аналитическом виде затруднительно и

84

тем более трудно определение искомых функций. Моделиро­ вание .решает эту задачу непосредственно путем эксперимен­ тального нахождения распределения значений искомых функ­ ций в '.моделируемой области поля.

С помощью электрических моделей успешно ірешают, в частности, задачи математической физики, описываемые уравнениями Лапласа, Пуассона и Фурье.

Уравнения Лапласа и Пуассона относятся к уравнениям

•правая часть определяет наличие источников, распределен­ ных в координатах х, у, z исследуемой области поля. Уравне­ ния Лапласа

описываются задачи стационарных электрических, магнитных, тепловых и других полей.

относится к уравнениям параболического типа и описывает нестационарные режимы теплопроводности, диффузии, рас­ пространения электромагнитных волн в проводящих средах. В правую часть этого уравнения входит производная по вре­ мени от искомой функции с множителем, зависящим от ко­ ординат поля X, у, Z.

Таким образом, моделирование физических полей связа­ но с представлением процессов не только во времени, но и в пространстве. Существуют два метода-моделирования физи­ ческих полей: метод оплошных сред и метод электрических сеток. Остановимся подробнее на рассмотрении каждого из этих методов.

Метод сплошных сред. Моделью исследуемой физической области при этом явлеяется поле электрического ,тока в сплошной полупроводящей среде. В качестве среды может быть выбран жидкий электролит, залитый в сосуд из изоля­ тора, форма которого повторяет конфигурацию исследуемой

85-

области. Электролитом обычно служит слабый раствор со­ лей, киіслот или щелочей. Данный метод моделирования назы­ вается методом электролитической ванны. Следует отметить, что к электролиту в ванне предъявляются достаточно жест­ кие требования в отношении его однородности (отсутствие твердых взвешенных частиц, пузырьков газа и т. п.). Грани­ цы исследуемой области выполняют обычно из парафина с аооком или пластилина. Для устранения влияния электроли­ за на исследуемое поле ванну питают переменным током. При заливке системы электродов электролитом впоследнем воз­ никают токи проводимости, а распределение потенциалов в ванне соответствует моделируемой области поля. Если в точ­ ку поля поместить металлический зонд, на который задан определенный потенциал (рис. •—68), то ток в цепи зонда будет отсутствовать в том случае, если потенциалы зонда и

Рис. 1—68. Метод электролитической ван­ ны

точки, в которую он помещен, равны. По исчезновению тока через нуль — индикатор фиксируются точки поля, имеющие заданный потенциал. Изменяя потенциал зонда, можно опре­ делить различные эквипотенциальные поверхности поля. Ванна обычно снабжается координатной системой, в каче­ стве которой может быть лист графленной бумаги, подложен­ ный под стеклянное дно ванны. В более совершенных кон­ струкциях зонд перемещается в плоскости ванны с помощью специальных направляющих, а его движение повторяется копировальным устройством, (вычерчивающим эквипотенци­ альные линии на листе бумаги.

Для задания краевых условий в электролитической ванне применяются решетки из электродов, устанавливаемых вдоль границы исследуемой области (рис. 1—169). На эти электро­ ды задаются соответствующие токи или напряжения.

86

Материалом для моделирования плоскопараллельных полей может служить не только жидкий электролит ,но и твер­ дые проводящие, пластины и покрытия. С этой целью приме­ няют манганин, свинец, олово, алюминий в виде фольги толщиной 0,01 т 0,02 мм. Широко используется также электро­ проводная бумага, получаемая добавлением в бумажную мас­ су оаж,и и графита. Электроды изготовляются при этом из листовой меди и приклеиваются к бумаге проводящим клеем. К электродам подводятся напряжения в соответствии с задан­ ными граничными условиями.

Достоинством метода сплошных сред является возмож­ ность представления исследуемого поля естественной систе­ мой с распределенными параметрами.

rr^ f> > fr T T * f77% 7r,

- ±

Рис. 1—69. Схема задания краевых усло­ вий

В отличие от метода сплошных сред метод электрических сеток основан на замене непрерывного распределения свойств моделируемой области дискретным распределением. С мате­ матической точки зрения это соответствует замене диффе­ ренциального уравнения в частных производных уравнением в конечных разностях. Элементарные области поля моделиру­

Проводимости между противоположными гранями определя­ ются по закону Ома следующим образом:

где у — удельная проводимость сплошной среды.

87

Все узлы электрической сетки имеют геометрический смысл: они соответствуют определенным точкам модели­ руемого пространства и имеют определенные координаты. Граничные условия в электрических сетках задаются в виде распределения напряжений или токов в граничных узлах подобно тому, как это имело место в случае электролитиче­ ской ванны.

применения этого метода для решения дифференциальных уравнений в частных производных по сравнению с методом оплошных сред. Если в узлы электрической сетки включить источники тока в соответствии с некоторой функцией распре­ деления а(х, у, z), то такая сетка будет моделировать поле, описываемое уравнением Пуассона (1—72). Включение в

Рис. 1—70. Электрическая сетка для моделирования волнового уравнения

узлы сетки нагрузочных проводимостей на землю (стоков) открывает возможности моделирования уравнений с другими формами правой части. В зависимости от вида проводимости стока ток через него будет пропорциональным напряжению узла сетки относительно земли или его производной по вре­ мени. Если стоки выполнить из омических сопротивлений, то получим модель для уравнения вида:

№ U — a{x,-y,[z) U

88