книги из ГПНТБ / Семененко В.А. Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах учеб. пособие для студентов всех специальностей

В машинах с фиксированной запятой ограничен диапазон чисел, с которыми оперирует машина. Если разрядная сетка содержит 16 разрядов (рис. 2—2), то этот диапазон заклю­ чен в пределах:

0 ,0 0 ...0 ,1 < |іѴ |< 0 ,1 1 ...1 1

или 2 -15< | ^ | < 1 —2~1Б,

или 2_16<|УѴ| < 1.

Если при выполнении операций на машине с фиксирован­ ной запятой получим результат меньше минимально возмож­ ного, то это число рассматривается как машинный нуль. Если результат получился больше максимально возможного (боль­ ше или равен 1), то происходит переполнение разрядной сетки и останов машины.

Для машин с фиксированной запятой требуется значи­ тельно меньше оборудования, чем для машин с плавающей запятой, поэтому современные мини и малые ЭВМ конструи­ руются с фиксированной запятой.

Представление чисел с плавающей запятой в полулогарифмической форме

100

Полулогарифмическую форму с выполненными условиями нормализации называют нормальной полулогарифмической формой.

Пример 1. Представить десятичные числа 13,5 и 135 в нормальной полулогарифмической форме:

В двоичной системе счисления формула (2—4) имеет вид:

где 2~l < M < 1.

Разрядная сетка машины с плавающей запятой

Рассмотрим 45-разрядную схему (рис. 2—3) машины с плавающей залитой.

С 1 по 36 разряды— двоичные разряды для представле­ ния мантиссы числа.

диапазон чисел, с которыми может работать машина, нежели

101

в машинах с фиксированной занятой при том же числе раз­ рядов.

Точность представления больших и малых чисел одина­ кова. Числа представляются с одинаковой относительной по­

§1—8. Представление отрицательных чисел в машине

Знаки ± кодируются с помощью 0 и 1.0 соответствует зна­ ку +, 1—'знаку— (или наоборот). .Операции над знаками сводятся, таким образом, к операциям над числами 0 и 1.

При умножении (делении) двух чисел знак произведения (частного) будет положительным, если оба сомножителя (делимое и делитель) положительны или отрицательны, и отрицательным, если сомножители (делимое и делитель) име­ ют разные знаки.

102

любое другое число можно представить, согласно формуле (2—5), в виде мантиссы (по абсолютной величине, меньшей

]іѴ]пр означает, что число N представлено в прямом коде.

Обратный [N]o6p и дополнительный|УѴ]допкоды вводятся для представления отрицательных чисел в машине, что позволя­ ет заменить операцию вычитания операцией сложения и та­ ким образом существенно упростить конструкцию арифмети­ ческого устройства. Положительные числа в прямом, обрат­ ном и дополнительном кодах совпадают (по определению). Для представления отрицательного числа в обратном коде ■необходимо в разряде знаков поставить 1, все нули этого кода заменить на единицы, а единицы — на нули. Чтобы полу­ чить дополнительный код отрицательного числа, нужно к младшему разряду обратного кода этого числа прибавить единицу.

Пример 2. Представить числа Л', = 0,M ill и N2 = — 0,11111 в прямом, обратном и дополнительном кодах.

Щ ]п р = [ЛГ,]обр — [^і]доп = 0,111М;

[ЛГ2[пр = 1,11111; [Л^з]обр ^ 1,00000;

[ЛГ2]доп =' 1,00001.

Пример 3. Представить число — 12 в прямом, обратном и дополни­ тельном коде.

ЮЗ

Модифицированный обратный и дополнительный коды

№п = 11.0111

Ввычислительной машине арифметические операции над числами обычно выполняются в 'модифицированных кодах.

§1 —10. Арифметические действия над двоичными числами

Над двоичными числами производятся все четыре арифме­

тических действия. Рассмотрим выполнение арифметических операций в машинах с фиксированной и плавающей запя­ той. При этом для упрощения ограничимся пятью цифровы­ ми разрядами.

Сложение и вычитание чисел с фиксированной запятой

Пример 1. Сложить числа 0,01000 и 0,01010

0,01000

+

0,01010

0,10010

Пример 2. Сложить числа 0,011110 и 0,001110.

0,01' Ы О

+

0,001110

0,10100

Если в результате сложения двух чисел результат превы­ шает единицу, то происходит переполнение разрядной сетки

сел.

Вычитание заменяется сложением чисел. При этом отри­ цательное число представляется либо в обратном, либо в дополнительном коде. Если в результате сложения число получится в обратном или дополнительном коде, то в машине оно переводится в прямой код.

104

При сложении в обратном или дополнительном коде может возникнуть единица переноса из .знакового разряда. При сложении чисел в обратном «оде эту единицу переноса прибавляют к младшему .разряду числа, при сложении чисел в дополнительном коде возникшая единица переноса отбрасы­ вается.

Пример 3. Сложить числа /1 = 0,10010 и В = — 0,01010 в обратном и дополнительном модифицированных кодах.

Вычитание в дополнительном коде

00,01010

+

11,01110

ИДИ000

Переводим число 11,1:1000 в прямой код. Для этого сначала число 11,11000 переводим в обратный код 11,00111, затем прибавляем единицу к младшему разряду этого кода. Получим 1І1Д1000.

105

Сложение и вычитание чисел с плавающей запятой

Последовательность выполнения операций сложения (вычитания):

1.Определение разности порядков.

2.Выравнивание порядков.

3.Сложение или вычитание мантисс чисел.

4.Нормализация результата.

5.Округление результата.

Пример 1. Найти сумму чисел А = О,MOL10101 и В = ОДЮ1.1011 и округлить ее до пяти двоичных'разрядов.

1.Определение разности порядков:

101 — 11 = 10.

2.Выравнивание порядков.

Мантиссу второго (меньшего) числа сдвигаем вправо на два разряда.' Тогда

В= 0,00110.10101.

3.Сложение мантисс чисел:

0,11010

+

0,001110

,1,00000

4.Нормализация результата.

Так как выход из нормализации произошел влево, сдвигаем число вправо на один разряд, соответственно увеличив порядок:

0,10000.10110.

Пример 2. Сложить ненормализованные числа А = 0,00001.10° и

В= 0,00011.40°.

1.Так как порядки чисел равны, то определение разности порядков и выравнивание порядков производить не нужно.

2.Сложение мантисс чисел:

0,00001

+

0,00011

0,00100.

3.Нормализация результата.

Для нормализации результата в данном случае нужно произвести сдвиг влево полученной суммы на два разряда. Получим

А + В = 0,10000.10-1°

В= 0,1100.10ой.

1.Выравнивание порядков: 101— 011 = 10. Следовательно,

В= О.ООіП.Ю101.

2.Вычитание мантисс чисел (в обратном коде): [-ß]Ö6p = 14,Ы00

106

00,1101

+ 1.1,1100

1 00,1ОШ

+

1

00,1010

3.Результат 00,1010.10101 получился нормализованным.

Умножение и деление

Умножение (деление) чисел производится в прямом коде. Знак произведения (частного) определяется .путем суммиро­ вания знаковых разрядов сомножителей (делимого и делите­ ля, § 1—8).

Умножение и деление чисел с фиксированной запятой

Порядок выполнения операции умножения:

1.Определение знака произведения.

2.Перемножение мантисс по обычным правилам ариф-

,метики и округление.

Пример I. Перемножить числа Л = 0,1101 и В —0,1011.

1. Определение знака произведения.

Знак первого числа 0 (число положительно).

2. Перемножение мантисс:

0,1101

+

0,1011

1101

1101

0000

+

1101

0,10001111

3. Округление результата до пяти двоичных разрядов:

0,10010.

Пример 2. Перемножить числа А = ОДіЮГи В = — 0,1011. [ß]np= 1,1011.

107

Порядок выполнения операции деления в машине

сфиксированной запятой

1.Определение знака частного.

2.Деление мантисс по обычным правилам арифметики (делимое должно быть меньше делителя, иначе произойдет

останов машины).

Пример I. Разделить А = 0,101 на В = — 0,111.

Знак первого числа 0. Знак второго числа 1. Знак частного 0 +! 1 = 1.

Так как при определении остатка операция вычитания заменяется операцией сложения в обратном или дополнительном коде, то в машине деление выполняется следующим образом:

Умножение и деление чисел с плавающей запятой

Порядок выполнения операции умножения:

1.Определение знака произведения.

2.Определение порядка произведения путем суммирова­

ния порядков сомножителей.

3. Перемножение мантисс сомножителей (как в машинах

сфиксированной запятой).

4.Нормализация (если она необходима) и округление результата.

Порядок выполнения операции деления:

1.Определение знака частного.

2.Определение порядка частного как разности порядков делимого и делителя.

3."Деление мантисс по обычным правилам.

1 5,25 = 1111,01

4,5 = 100,1

или в нормализованном виде

А= 0,1525-ІО2 = 0,111101 • ІО100

В= 0,45 - 10‘ = 0,1001 10011

.108

порядок произведения-равен 100+1011 = 111. Перемножение мантисс:

О.Ы'ПО 1

4*

0,100 1

1Н101

оооооо

+000000'

. _____ umоі

0,1000100101

Округляя результат с точностью до пяти двоичных разрядов, получим: А.В = 0,10001 • 10111

ГЛАВА 2

ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЦВМ

§ 2—1. Основные понятия алгебры — логики

Для описания логических схем вычислительных машин и релейных устройств в автоматике служит специальный мате­ матический аппарат, называемый алгеброй логики. '

Алгебра логики имеет дело с высказываниями. Высказы­ ванием называется любое утверждение, о котором мы можем точно сказать, истинно оно или ложно. Истинное высказыва­ ние условно обозначают 1, ложное — 0. Таким образом, лю­ бая переменная в алгебре логики может принимать только два значения: 0 или 1. Рассмотрим основные операции над логическими .переменными. При этом простые высказывания мы будем обозначать буквой X, а сложные высказывания, которые зависят от простых, —(буквой f .

§ 2—2. Основные логические связи между высказываниями

«Отрицание»

Функция / —'X называется функцией отрицания, или про­ сто отрицанием (f = X читается: f_ равно не X). Построим таблицу 3 связи для функции f ='Х. Так как высказывание X

109