книги из ГПНТБ / Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения

©

Новосибирский государственный университет, 1973 г.

математики можно понять сущность и

обучения

в университете,

и

будущей научной деятельности.

*

_

Автор рассчитывает на то, что

читателю доступны, с одной сто­

роны, прекрасные книги, посвящённые математическому творчеству:

I) Д. Пойа, "Математическое открытие",

изд.

"Наука", Москва,1970

для поступающих в вузы (см.список литературы на стр.

145, '1 4 6 ).

Поэтому автор старается не повторять идеи и задачи,

приведённые

пособия. Кроме того, следует заметить-, что

пособие возникло

из

первого опыта чтения лекций в НІУ в 1970 -

71 годах, и, следова­

тельно, ещё и по этой причине не

лишено шероховатостей.

Автор приносит благодарность

работникам математического

15 мая 1973 г .

В. Войтишек

Г л а в а

I

РАЗБОР ОДНОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

"Математика - это язык"

Гиббс, известный учёный.

§ I . Условия задач

Рассмотрим внимательно, что мы делаем

(или должны делать)

при

решении следующей

самостоятельной работы,

рассчитанной на два астро­

номических часа.

Подобная

работа была дана на первом занятии с целью

выяснить,

что ещё не забыто слушателями подготовительного отделения.

Отметим,

что

требуетоя аккуратно

записать решение не

всех

за­

Задача I . Решить уравнение

Зх!1

- 2 , х &+і/х -5 = £ х + 5 х

+ 3 x ? + 5 x + l.

Задача 2 . Доказать тождество

2,. 1 -Л ѣ ¥ы.-СозѴаС

£і^

= —

—

■

Задача 3 . Решить неравенство

•Е

л

+£,

х г +7х+/Л

х& +3х

Задача 4 . Построить график функции

U s X ? + І Х І -1 . .

Задача 5. Доказать неравенство

а+6 .

. ..

А + і

-А .

ас>о..

■af с

s '

Задача 6 . Рассмотрим

на плоскости всевозможные треугольники

с данным основанием. Найти множество (геометрическое

место)

основа­

ний высот, проведённых на боковые стороны треугольников.

Задача

7 . Дана треугольная пирамида

SflBC-

(

S -

вершина).

На продолжении Ой

и о&

взяты точки К

х Р

такие,

что йС=2.йК

и QB= ВВР

, М

- середина ребра SC. Через точки

Х , Р , М

Задача 8 . Доказать, что при всяком нечётном

п

число

вида

nl+?(7+Znz )

делится на 64.

Задача 9. Упростить выражение c o - ta -іП

Уна .

+

//н д - у Р о Г

Задача 10. Построить треугольник по основанию, углу при основа­

нии и сумме (или разности) двух сторон.

Задача I I .

На плоскости задано десять

точек,

из

которых семь

лежат на одной

прямой,

а кроме них никакие

три точки не лежат на

бовать расположить сознательно (чаще, однако, подучается не

сов­

сем сознательно) задачи в последовательности от простых к

более

Образцом

изложения математических истин автор считает учебные

пособия Маркушевича А.И. по

алгебре

([32]

в

списке литератур!

іна стр 1 4 6 ),

Погорелова А.В.

по

геометрии

(

[12]

на стр. 145 ) ,

Болтянского и

др. по математике.

(

[13]

на

стр.

1 46).

А теперь перейдём к решению задач.

§ 2 . Решение первой задачи

Номер строки

(I)

Зх*+Чх?~ 2 x 1L+ i i x - 3 = £ х + 5 х

(3)

х ѵ- х 3 - 6 х ? + X ä - x - 6 = 0 ;

(7)

Ответ:

X' - - 2

і

X, -Д

Квадратный трехчлен

х

- х -6

можно

разложить на множители

устно, пользуясь формуламиВьета.

Этого же

результата можно добить­

ся,

решая квадратное уравнение

ент при X 2,

есть единица). _

Решение первой задачи окончено, и можно перейти к разбору

второй задачи, если читатель уверен, что может

и с ч е р п ы ­

в а ю щ е

о т в е т и т ь

на следующие три

вопроса:

1. Что

значит решить уравнение?

2 . На основании каких фактов приведённое здесь решение

не

ния найдены? Она только

подтвердит,

что

испытываемое значение

неизвестного удовлетворяет

исходному уравнению

или

поможет обна­

ружить ошибку.

Чтобы ответить на первый вопрос,

раскрываем хороший учебник

алгебры (например, С.И. Новосёлова,

см.

[33] в списке

на

стр. 146) ,

и читаем.

Определение

I . Числовой функцией называется правило

(закон),

которое каждому

числу х

заданного числового множества X

ставит

в соответствие одно и только одно некоторое число

у

из

другого

числового множества У

*

y=Jcx)

То, что

это

правило'установлено, записывают

так:

(читается:

"игрек равно

эф от икс").

Например, левая часть нашего уравнения есть функция: по любо­

му действительному числуJE

можем вычислить

y '-i’j

+ 3 х ^ + 5 л + і

или <цх) = Bx^f 5 х * + 3 х г +5Х+1.

Определение

2 . Числовое множество X

называется областью опре­

деления функции, а множество У

называется

областью значений

функции.

г

Замечания. I) Правило, о котором идёт речь в определении I,

задаётся

вместе

с числовым множеством X

(см* по поводу этих

определений статью А.'Н. Колмогорова "Что такое функция?", журнал

"Квант" Л I за

1970

го д ).

2)

Область

определения иногда называется

областью допустимых

значений - ( о .д .з .) ,

однако лучше

привыкать сразу к

общепринятому

среди математиков термину. Мы сужаем понятие уравнения следующим

определением (см. стр. ПО данного пособия ).

Определение

3 . Пусть j( x ) и

асх) функции, рассматриваемые

совместно в общей части областей'определения^предполагается она

непустой, т .е .

имеется хотя бы одно число х

, которое можно под-!

ставить,

чтобы вычислить jC x) и

а сх))

.

Тогда уравнением назы-

вается

равенство

j c x )

- ^(х)

,

«

выражающее

следующее предло­

жение (суждение): значение функции j c x )

равно

значению функции

а(х).

Определение 4 . Общая часть областей

определения наших функций

j(X )

и

<^сх)

называется

областью определения уравнения J(x)=<JCz).

Пусть

а -

некоторое

значение х

из

области

определения урав­

нения.

Тогда возможен один из двух случаев:

1°.

jco-1 = <^са) ,

т .е .

предложение •(суждение)- о

равенстве

значений

функций

} ( х )

и

<jcx)

при х=<г

истинно. Тогда а.

- корень уравнения (или ещё говорят

а

-

решение уравнения).

2°.

J са) Ф cjca) ,

значения функций

различны,

предложение

(суждение) ложно. Тогда говорят, что

а

не

удовлетворяет

уравне­

нию

J(x) = J(x) .

Как известно, при решении уравнения стремятся свести его к

виду

А (х)=о

("аш от икс"). Например,

х ^ -х - б -'о

,

в такой

записи

можно считать,

что

hcx)=J(x) = х^ -х-Ь , а

а(х)=о

для

всех

значений

х

(т .е .

ß x J

является

функцией,

значение

которой постоянно и равно нулю).

Определение

5 . Решить уравнение

- это

значит найти множество

определение

менее ясно и

точно (см.

учебник

по алгебре,

[28]

)'.

Определение

5 .1 . "Уравнение Jcx)

- <J(x)

выражает задачу

об

отыскании таких

значений

переменного

х ,

при которых .функции

j c x ) и

<j(x)

имеют

одинаковые

значения. Решить уравнение -

это значит найти все такие значения

х ,

т .е . все корни

(решения)

уравнения".