Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

6.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 177 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

)

Замечание. В тех случаях, когда определение состоит из не

скольких частей, вообще говоря, бывает необходимо использовать

все	части определения аналогично			тому, как должно быть использо
вано	условие теоремы	(см.	п .7 ).
	4 . Определение	одного	й того	же понятия часто может быть да

но з различных формах; в этом случае следует выбрать форму опреде ления,наиболее подходящую для той цели,которая имеется в виду.Так, например, можно было бы определить биссектрису дм угла как прямую, которая образует с одной из сторон угла угол, равный его

половине и имеющий надлежащее направление.

Эта форма определения не подходит для доказательства приве

дённой выше теоремы. Напротив, для доказательства того, что бис

сектрисы вертикальных углов взаимно-перпендикулярны, удобнее толь ко что приведённое определение биссектрисы.

Некоторые теоремы точно также позволяют заменить одно опре

деление известного понятия другим определением, равносильным пер вому. Так, например, первоначальное определение параллельных пря

мых (параллельными прямыми называются две прямые, которые лежат

в одной плоскости и не пересекаются между собой сколько бы их ни продолжать в обе стороны) можно заменить вполне ему равносильным определением; параллельные прямые - это две прямые в одной плос

кости, которые с одной и той же секущей образуют равные внутрен

ние накрестлежащиѳ углы (или равные соответственные углы, или дополнительные внутренние односторонние углы).

5 . Только что высказанное правило является, быть может,самым важным из всех, которые нам придётся здеоь рассматривать. Его зна чение становится особенно ясным, если учесть, что многие вспомо гательные построения, которые представляются на первый взгляд со

вершенно .произвольными ,	являются простым приложением к	этому
правилу.
Приведём только один	пример. Во всех рассуждениях,	относя

щихся к точке, лежащей на окружности, обычно начинают с того, что соединяют эту точку с центром окружности. Читатель, который про думал предшествующие замечания, поймёт, что в этом построении нет ничего искусственного и что оно является необходимым. Действитель но, оно вытекает из самого определения окружности. Согласно’ опре делению, для того, чтобы показать, что точка М лежит на окружно сти, надо показать, что расстояние ОМ равно радиусу окружности.

Познакомившись с понятием вписанного угла, мы не всегда со

единяем с центром те точки окружности, которые рассматриваем. Это происходит потому, что здесь мы уже знаем, что первоначальное оп ределение окружности можно заменить другим. Согласно этому опреде

лению, для	того, чтобы показать, что		точка И	лежит	на окружности,
можно соединить её с тремя точками д,			в и С	этой	окружности и
показать,	что четырехугольник	ДВОИ	обладает	одним из свойств
вписанного	четырехугольника.	В дальнейшем во всех рассуждениях,

относящихся к окружности, мы можем выбирать мевду этими двумя (или тремя, или четырьмя, и т . д . , смотря по тому., сколько равно

сильных определений мы можем дать) определениями: в зависимости от обстоятельств мы пользуемся тем или другим определением.

Приведём другое определение окружности. Множество (геометри

ческое место) вершин равных и одинаково направленных углов, сто роны которых (или их продолжения) проходят через две данные точки, есть окружность, проходящая через эти две точки.

Примечание.	Во всяком четырехугольнике можно рассматривать
четыре угла Д ,	В , С , Д и далее,	проведя диагонали ДС	и ВД,
ещё восемь углов	(пусть ^ д - i L +£%;	£&=із+іН\	1 Д=Л+/Я).

	Обратно, если какое-либо одно из этих условий имеет место,
то четырёхугольник вписанный.
Заметим ещё, что точки Д						я В находятся с одной и					той же
стороны от О Д ,			следовательно, треугольники					СДД		и	ДДВ
имеют одно и то же направление вращения,							так что		равные		у глыД С
и ДВС	имеют одинаковое				направление. То же самое имеет место джн
углов	ДСВ ,	. ДДВ		и	т . д .	Напротив,	углы ДДВ		и ДСВ		имеют
противоположное направление, так как Д							и С	находятся по разни*
стороны от		ВД .

6 .	После того как	выполнено то, о чём мы говорили		( т . е . оп
ределяемые	понятия заменены	их	определениями), необходимо	пре
образовать , как было указано,'			условие теоремы так, чтобы обна
ружить справедливость её заключения.

Внаиболее простых случаях непосредственно видна та теорема,

спомощью которой можно выполнить такое преобразование.

Пример. Условие, приведённое в п. 3 (пример), непосредствен но даёт соответствующее заключение, если воспользоваться одним из

признаков равенства прямоугольных треугольников.
	В противоположкость					этому, в других случаях приходится про
ходить через несколько промежуточных этапов. При этом можно, на
пример,		попытаться придать условию теоремы другую форму,								которая
возможно		ближе подходит к её заключению.
	Пример, Пусть требуется доказать теорему: во всяком треуголь
нике против большей стороны лежит больший угол.
	Пусть в треугольникеАВС ІАВІ>ІАСІ.(ІХУІ-это длина отрезка ХУ).
Мы должны			выразить,чтоІАСВ больше					чем IXВС .Для этого		мы	отклады
ваем	на AB отрезок ДД-=АС »так что							точка Д лежит меж ду/			и $ .
	Условие		и	заключение теоремы будут поэтому таковы:
(I)	„			[ Д Д	есть		продолжение Д В ;
	Уо,ош е			і ш і ч	м	і .				Л	;
	Заключение, г Д С В > /					д в е		(опять же точнее		йсв>два).
Равнобедренный				треугольник			йДС ,	в котором	углы при	основании
равны, позволяет придать теперь условию теоремы новую форму:
( 2 )	Условие

	Заключение			^ ЙСВ = й ДДС + ^ Д а В > / две.
или проще
(3)	Условие			Д Х	есть		продолжение ДВ.
	Заключение			у ХДС. t		х д с В > й X ß C ■
Последнее заключение очевидно в силу, теоремы о внешнем угле тре
угольника.
	Как видно из разбора доказательства, мы достигли цели с по
мощью ряда			п о с л е д о в а т е л ь н ы х						п р е о б	р а	з о
в а н и й			у с л о в и я				т е о р е мы .

7 .

При каждом из таких преобразований следует, в частности,

не

забывать

нашего

первого

правила (п .2)

и каждый pas следить,не

осталась ли неиспользованной какая-либо часть условия, в чём мож

но убедиться, исследуя, сводится ли новое условие

в точности

предыдущему,

будет

ли оно ему вполне

равносильно.

Пример. В предыдущем примере формулировка

(2)

условия

теоремы

вполне эквивалентна формулировке

( I ): это значит,

что если

условие

(I)

выполнено,

то выполняется и условие

(2 ), и

о б р а т н о .

самом деле,

разница между ними заключается только

в том, что равен

ство / д д / = IДС!

заменено

на

^ йДС

= ^ й € Д .

Но мы знаем,

что

л ю б о е

из

этих двух условий влечёт

за

со

бой другое.

Условие

(2)

поэтому может

быть безоговорочно поставле

но

на место

условия. ( I ):

безразлично,

дано ли

условие теоремы

той или другой

форме.

Иногда может случиться, что какая-либо часть условия теоремы

может быть отброшена без

всякого

ущерба ;

однако этого

общем случае не будет, и если мы встретим затруднение при доказа тельстве какой-либо теоремы, то мы должны всегда выяснить, не воз никло ли это'затруднение потому, что в процессе рассуждений мы опу стили какую-либо часть данного условия.

Это имеет место в только что рассмотренном						примере при перехо
де от	условия	(2) к условию	(3 ) .	Условие (2)	в	самом деле	равно
сильно	следующему:
	(Доесть продолжение		ДВ\
	на	полупрямой	Д Х	существует	такая точка,		что

(4)треугольник, имеющий эту точку своей вершиной, а отре зок ДС своим основанием, имеет равные углы при основании.

Действительно, последнюю точку можно, очевидно, обозначить через Д. Но эта точка может и не существовать, даже если выпол нено условие (3):

Д Х	есть	продолжение	ДВ -
Для того, чтобы она		существовала, необходимо,			в силу теоремы
о внешнем угле треугольника, чтобы			х Х Д С	'	был острым,
Следовательно, условие (3) может иметь место и без торо,чтобы
выполнялось условие	(2 ).

Следует стремиться к току, чтобы давать такие формулировки теорем, в которых условие не содержало бы ни одного лишнего эле мента. В более тонких вопросах, и особенно в приложениях матема тики, наибольшая трудность/часто заключается именно в том, чтобы

выяснить, какими из		имеющихся данных следует воспользоваться для
решения вопроса.
Ещё пример. Пусть требуется доказать следующую теорему:
В плоскости	треугольника				ЯВС	выбрана точка м			; если	по
строить УВДР= у МЯО			и отложить			ІЯРІ - I ЯМ!,		V	если далее
построить УСВО = у М8Я			/8QP/8MI,			уйо£ = у МСВ,		/о я /- )OM/,		то
точки И , P,Q и	Я	лежат на			одной	окружности.
В этой теореме условие				и	заключение будут;
		С /8 Р Р		= /	м а е ,	ІЯРІ=ІМЯІ,
(I) Условие.		J У с е р ■=я’ М В Я ,				IB Q jM B n l,
		( УЯОЯ = у МО В ,					И
						1
Заключение. Точки		И , р , Q , Я			лежат на		одной	окружнорти.		(2)
Однако, исходя из			этой	формы условия,			невозможно доказать

теорему: действительно, сформулированное таким образом предложе

ние неверно. Неверно, что произвольная точка						И	и точки, р ,
Qt £ ч	симметричные с ней относительно трех				произвольных прямых,
лежат	на	одной	окружности.
В этом можно убедиться,				принимая во внимание,			что любые три
точки	р, (3' Я		можно рассматривать как симметричные					с некоторой
точкой рі		относительно прямых		d t , d z , d	-	перпендикуляров в
серединах		отрезков MP, М&,МЯ.
	Таким образом, мы сделали ошибку, заменив формулировку (I)
теоремы формулировкой (2 ) . Ошибка заключается						в том,		что прямые
d , , d & ' d 3		не	произвольны: они служат биссектрисами					углов дан

ного треугольника и потому проходят через одну точку. Следователь но, правильной-формулировкой преобразованного условия теоремы бу дет следующая (эта новая формулировка условия теоремы может заме нить первоначальную; три прямые, проходящие через одну точку, мож но, вообще говоря, рассматривать как биссектрисы углов некоторого треугольника; попробуйте доказать это утверждение);

Точка Р симметрична с М относительно at

(3) Условие. Точка Ö симметрична с М относительно dz

■Точка Я симметрична с И относительно аЛ

Прямые dt , d &, d j проходят через одну точку О .

Эта форма условия непосредственно приводит к результату,

так

как

очевидно,

-что четыре точки М , Р, Q , А

лежат на

одной окружности с центром в точке о.

Вместо того, чтобы преобразовывать условие теоремы, чтобы

сблизить

его

с заключением

теоремы,

часто

оказывается

предпочти

тельнее сначала обратить внимание на заключение и постараться заме

нить первоначальное заключение другим, из которого вытекает первое

и которое легче было бы вывести из условия теоремы.

Пример. Рассмотрим теорему: если из точки

М,

, лежащей на

окружности,

описанной

около

треугольника

в ВС,

опустить перпенди

куляры

M P ,

М О ,

М А

на его стороны, то основания этих

перпендикуляров лежат на одной прямой.

Мы докажем,

что

точки

р,

а, А

лежат на

одной прямой,если

докажем,

что.углы

ВРХ

и CPQ ,

получающиеся при соединении

точки

с точками а

и А

будут

равны между собой. Следователь

но, в то

время как условием теоремы будет:

точки

fl, ß , e , M

лежат на

одной

окружности;

МР

перпендикулярен к ВС., .

перпендикулярен к Сfl ,

МА

перпендикулярен к Aß ,

заключению теоремы мы можем придать следующую форму:

гВ Р А = г с Р О .

Но так как углы ВАМ

ВРМ

прямые,

то

четырех

угольник

R АРМ'

может быть вписан

в круг,

и потомуг.BPR = гВМА.

Точно,

также

четырехугольник

CQMP

может быть вписан

в круг,

потому

гСРО. = г е м о ,

Следовательно,

нам достаточно

(при

том же условии)

доказать

следующее заключение:

г ВМА = г е м о .

Первоначальное заключение,таким образом, заменено другим,

более простым для доказательства; читатель легко докажет это по.- следнее заключение (конец примера).

Пользуясь при.доказательстве теоремы этим новым способом, мы должны,конечно, подобно тому, как мы это делали выше, убедиться

в TOM',	что, изменив заключение, мы не	стремимся доказать больше
того,	что содержится в первоначальном	заключении, за исключением	'

тех случаев, когда у нас есть основание думать, что и новое заклю чение, более общее чем первоначальное, также будет справедливо.

9 . Теперь следует сделать ещё одно важное замечание, на

тором мн не имели возможности остановиться в самом начале наших указаний. Его следует использовать непосредственно по ознакомле

нии с		формулировкой той теоремы, которую требуется доказать.
		Это замечание заключается в том,							что многие	теоремы моіут
быть сформулированы несколькими различными способами (обратите
внимание				на это при просмотре любого учебника геометрии).
		Пример I . Предложение^ всякая точка, одинаково удаленная									от
й	в		в ,	лежит на перпендикуляре,				восстановленном в середине
отрезка				йв	— можно сформулировать так:
		Всякая точка, которая не лежит на перпендикуляре, восстанов
ленном			в середине отрезка			йВ,	не	одинаково удалена от двух
кондов			отрезка.
		В этом примере имеется общее положение: предложение, противо
положное какому-либо предложению, и предложение,										обратное тому же
предложению,					равносильны	(см. гл .2 ,		§	I ) .
		К тому же порядку идей относится и метод доказательства,									на
зываемый				д о к а з а т е л ь с т в о м					о т	п р о т и в н о
г о .			Этот метод состоит			в том, чтобы показать,				что получается
противоречие, если предположить условие теоремы										выполненным,	а
её	заключение неверным.
		Пример 2 . Предложение— во всяком равнобедренном треугольни
ке	биссектриса угла при вершине перпендикулярна к основанию и делит
его	пополам				- сводится	(ибо	существует только			одна биссектриса
угла		при вершине, только				одна высота, только один перпендикуляр
в середине основания) к любому из следующих:
			Высота равнобедренного				треугольника, проведённая из его

вершины, проходит через середину основания и делит угол при верши не пополам.

Перпендикуляр к основанию, восстановленный в его середине, проходит через вершину равнобедренного треугольника и является биссектрисой угла при вершине" и т .д .

Ясно, что этот пример носит, как и предыдущий, общий харак тер; это обстоятельство можно встретить при выяснении свойств диаметра, перпендикулярного хорде окружности,. Впрочем, с ним при ходится встречаться с самого начала геометрии. Доказательство теоремы, обратной теореме об условии параллельности двух прямых, пересечённых третьей, представляет собой пример доказательства такого рода. Эти два случая, в которых данная формулировка может

быть заменена другой формулировкой, ей эквивалентной, не являются

единственными. В каждом отдельном случае следует всегда подумать

о различных возможных формулировках одной и той же теоремы. Оче видно, существенно иметь их в виду, чтобы выбрать из них ту, ко

торая наиболее подходит для доказательства, короче говоря,								с л е
д у е т	с т а в и т ь	п е р е д		с о б о й			в о п р о с
т а к и м	о б р а з о м ,		ч т о б ы		е г о	р е ш е н и е
с т а н о в и л о с ь		в о з м о ж н о			л е г ч е		("каждой
задаче следует придать такую форму, чтобы её можно было решить4-
Абель).
10.	Этим последним		замечанием		мы заканчиваем изложение тех
основных правил, на которые мы хотели здесь указать. Очень полезно
изучить с	точки зрения	этих принципов те доказательства,						которые
попадались вам при изучении геометрии.

§ 4 . Множества (геометрические места)точек

Сказанное только что о доказательствах предлагаемых теорем

избавляет нас от необходимости подробно останавливаться на других возможных формах геометрических задач; решение последних следует искать, руководствуясь теми же принципами, что и выше, как мы это

сейчас увидим при рассмотрении вопроса о множествах точек и о зада чах на построение.

I .	Множества точек, обладающих зяляяяым свойством
Некоторые множества рассматриваются в учебниках; например:
множество	точек, одинаково удаленных от двух дяшгат точек	или
от двух данных прямых; , множество точек, находящихся на данном
расстоянии	от данной прямой и т .д .
Другое множества точек очевидны сами по себе; например,		точка,

обладающая тем свойствам, что прямая, соединяющая её с данной точ


кой А , .	параллельна данной прямой X Y ,			, имеет своим множе
ством прямую, проходящую через точку а			и параллельную		ХУ ■
Таким образом, если дано какое-либо свойство точки					М	или
общие какие либо свойства изменяемой фигуры, в состав которой
входит точка М ,		то для отыскания множества точек М			следует
преобразовать данные условия в другие, дающие для точки					И	уже
известное	множество точек.
Мы.имеем здесь, следовательно, перед собой вопрос, аналогич
ный тому,	который стоял перед нами, когда требовалось доказать
теорему.	В самом деле, там требовалось из			совокупности данных

свойств (условие) вывести другие свойства, так же заданные (заклю чение), В данном случае требуется точно так же преобразовать дан

ное 'условие. Единственное различие состоит в тон, что в данном случае известна отправная точка - условие, но не известен конеч ный результат - заключение,мы знаем только, что этот результат должен нам дать искомое множество. (Ясно, что при этом следует

прежде всего искать общие свойства различных положений подвижной фигуры, и , в частности, свойства, не изменяющиеся при её перемеще нии)., Следовательно, здесь приходится идти тем же путём, как и вы

ше, и, нам ничего не оставалось бы, как только повторить те указа ния, которые мы тодъко что сделали.

*0дно из этих указаний следует соблюдать здесь даже с большей строгостью, чем при доказательстве теорем. Мы уже видели, что в

вопросах, относящихся к доказательству теорем.иногда случается,что при последовательных преобразованиях условия некоторые части его

могут оставаться неиспользованными. Подобное обстоятельство никог да не может встретиться при отыскании множества точек, так как

искомое множество должно состоять из точек, удовлетворяющих дан

ному условию, и только из них. Следовательно, мы должны каждый раз проследить за тем, чтобы наше заключение было вполне равносильно

условию.	s
Мы	делали это для большинства множеств, которые	искали;

мы опускали эту вторую часть рассуждения только в-некоторых случа ях, где она представлялась настолько лёгкой, что на ней не было надобности останавливаться.

	§ 5 . Задачи на построение
I .	Предположим далее, что требуется построить геометричес

фигуру, удовлетворяющую данным условиям.	Результат решения такого
рода задачи может быть весьма различным в	зависимости от того,	бу
дет ли число данных условий как раз достаточным для определения
'неизвестной фигуры или нет.
Пример I . Пусть требуется построить	прямую, касательную	к
данной окружности. Касательная в любой точке данной окружности

будет отвечать условиям задачи. Имеется бесчисленное множество решений; следовательно, данных условий недостаточно для определе ния искомой фигуры. Такая задача называется н е о п р е д е л ё н н о й .

Пример 2 . Пусть требуется построить общую касательную к

дңуы данным окружностям. Очевидно, что по сравнению с предыдущим примером мы имеем одним условием больше.

Теперь задача	о п р е д е л ё н н а я	она имеет (самое
большое) четыре решения.
Пример 3 . Пусть требуется построить общую касательную к трём
данным окружностям.
В общем случае не существует ни одной прямой, удовлетворяю
щей поставленным условиям. Действительно,		первые две окружности


имеют (самое	большее) четыре общие касательные, так что искомой
прямой может	быть только одна из этих четырёх прямых, но третья
окружность, заданная произвольно, в общем случае, не будет ка			-
саться ни одной из этих прямых. Следовательно, задача будет,			за
исключением некоторых частных случаев,		н е в о з м о ж н о й .

На искомую фиіуру наложено слишком много условий.

. Замечание. Задачи, предлагаемые учащимся, являются, как об

щее правило, определенными.
2 . Задача на построение	часто сводится к построению некоторой
точки.	*
Пример I . Провести окружность через три данные точки.

Достаточно определить её центр.

Пример 2 . Построить треугольник, зная одну из сторон, противо

лежащий угол и соответствующую высоту.

После того, как выбрано		положение данной стороны (где именно-
безразлично) ,	остаётся только	построить	противолежащую вершину.
3 . В этом случае обычно		применяемым способом		построения явля
ется метод	г е о м е т р и ч е с к и х		м е с т	(множеств то
чек с заданным свойством), который заключается в				том, чтобы вывести

из условий задачи два множества, на которых должна лежать искомая точка; пересечение обоих линий (в элементарной геометрии мы ставим

своей целью решение задач при помощи циркуля и линейки, т .е . рас сматриваем только множества точек, представляющие прямые или окруж ности) и определит положение этой точки.

	Решение	примера I .	Чтобы найти центр окружности, проходящей
через	три данные точки		-fl, в , с ,		- достаточно заметить,	что
требование,		чтобы искомая точка была равноудалена от точек				fl
и ß	, даёт	одно множество		точек, а требование, чтобы искомая
точка	была равноудалена		от	точек fl	и с - другое множество	точек.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 177 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ