книги из ГПНТБ / Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения

Рассмотрим

ещё

одно уравнение

F (л) = Gcx)

(читается "эф большое от икс равно жэ большое

от икс"),

где

ГСх)

= (x-i)-jcx),

G(x)

= (x-i)

jC x).

Тогда новое уравнение

Fex) =Gcx)

называется

следствием

ста­

рого уравнения jc x )

- ^(х).

Определение

6 . Уравнение

Fex) = Q(x)

является следствием

уравнения

j ( x ) = q c x ) ,

если множество корней первого уравнения

Fex) - G (х )

не меньше ( включает в себя) множество корней вто­

рого уравнения

je x )

= ^ex).

Заметим, что в уравнении

F(x) =G(x)

сокращать на (х-1)

нельзя,так как потеряем корень х - І .

Определение

7 . Если не только уравнение. Fex)-Gex)

является

следствием

уравнения

fex) - <f(x)

но и уравнение j(x )= усх)

оказалось

следствием

уравнения

F(x) - G(x) ,

. то

эти

два

уравнения называются равносильными.

Короче, равносильные уравнения имеют одни и те

же множества

корней.

Иногда говорят, что уравнения в рассматриваемом случае экви­

валентны.

Надо отметить, что понятие равносильности зависит от ограни­

чений на множества чисел, которые

составляют

область определения

данных уравнений.

Теперь можно сформулировать теорему,

на

основании которой

мы

.смело проводим тождественные преобразования уравнения

jex)=cj(x)

л виду Аех)=о,

- ,

где в первой задаче

I

,

Асх) = х ч- х ? - 5 х г’- х - 6 ■

ТЕОРЕМА

I .

Если функция

і ( х )

задана в области, определения

уравнения

утл:;

= cj(x) ,

то

уравнение

/С х)

+ 2(х) = а(х) -ПСі)

равносильно

уравнению jc x )

=<з(х) . '

(Заметим, что в первой задаче

г ( Х ) = - 0 ( х ) ) .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала докажем, что новое уравнениеßx)+t(x)=

= cj(x)+Kx)

является

следствием

уравнения ß x ) =ß X ) .

Пусть а

-

корень уравнения

jc x )= ß x ),

тогда

верно числовое

равенство ß a ) - ß a ) .

При х = а

по условию теоремы можно полу­

чить число

к о .) . Прибавим к обеим

частям числового

равенства

\

jca) - ßo.)

число z(<2).

Получим

равенство

jCa) + tea) - ß ü )

і-гса),

из которого

видно, что число а

является корнем уравнения

j(x)-n (x)-ßx)+ icx). Таким образом,

всякий корень уравнения

J(x)= ß x )

служит корнем уравнения

J (X) + КХ)

= ßX )tZ(X ).

Верно

и

обратное утверждение —уравнение

ß x )

- ß x )

есть

следствие

уравнения ß x )

tt( x ) = ß X ) + гсх)

;

уравнение

J(x)~

функции

-гсх)

и приведением подобных членов. Так как их) задана

в общей области определения функций J(x )

и

ß x ) ,

то

уравнение

ß x ) = ß x )

является следствием

уравнения

ß x ) + г(Х) = ^ (х) + г(х).

Доказательство завершено, и мы имеем логически стройное обосно­

вание

перехода от уравнения

3x \ ^ x Z- â x Z+ ^ x - S ^ ß x 4+ 5 х + З х * + 5 х + 1 '

к уравнению

X V- X - 5 л

X - 6 - о.

Надо заметить, что при доказательстве

мы ссылаемся на свойства

числовых равенств, которые формулируются так:

1. Если

даны три числа а,

6,-с

и дано,

что

а -

то

верно

равенство

а + с = 6 +с \

2.

Еслг даны числа а, 6, а

и дано,

что

то верно

ра­

венство

а -с = 6 - а .

Это аксиомы (или первые следствия из

них)

операции

сложения,

которая,

как мы считаем, выполняется в области определения уравне­

ния (на множестве действительных чисел).

Беремся к выкладкам на стр. 7 .

Нами обоснован

переход

от

строки (I) к строке (2 ). До строки

(6) приведены

обычные

тожде­

ственные преобразования функции А ( х ) = х >І- х ‘- З л .£' - л - б

к

ШДУ

h (х) = ( х хг 1)(х +ZKX-31

У'равне{теае+/)(х?£)(х-3)-о

равносильно совокупности трёх

уравнений

Между прочим,

последнее

утверждение является

теоремой, т .е . требует

доказательства

(см. [13]

, глава

9 ).

ТЕОРЕМА 2 .

Если левая.часть

уравнения h (x)-o разлагается на

множители, то

уравнение

Ахх)=о

равносильно

совокупности уравне­

части.

s -

Определение 8 . Совокупностью

уравнений называется множест­

во

S r

уравнений

I, (X)

(X)

JZ (X )-^ C X );

J s W ^ s C X i ,

выражающих следующее

предложение

(суждение): при данном

значении

неизвестного удовлетворяется хотя бы одно из данных уравнений.

Определение 9 . Решить совокупность уравнений -

значит решить

каждое уравнение и объединить все решения в одно множество,

выки-

"нув те корни, при которых теряет

смысл хотя бы одно

уравнение

из

данной

совокупности.

Вернёмся к совокупности уравнений,

порожденной

уравнением

А(х)-0. Уравнение

х е+1=о

не имеет решений во множестве

действительных

чисел.

Остальные уравнения линейные.

(Что

это

такое?).

Корни

х ,= -£ ;

х £ -3

одновременно являются по теореме

I и 2

корь

нями исходного

уравнения.

Здесь имеет смысл (чтобы не

было путаницы в дальнейшем) срав­

нить

совокупность уравнений с.системой уравнений

неизвестного верны сразу все

S уравнений.

Решить систему уравне­

ний— значит найти все корни,

принадлежащие

общей (непустой,

по

предположению) части областей определения каждого уравнения.

Следует обратить внимание на объединительный знак, который

ставится слева от всех уравнений в случае системы уравнений.

И, наконец, отметим, что

наша тройка уравнений, рассматривае­

речива).

'

Подведём

итог.

Мы довольно быстро

нашли решение, но его обосно­

вание заняло

много

места. Однако наше

обоснование ещё не полно:■

■Как говорит Адамар (см. ([31] стр. 19, 20; стр.

244,

245), а такжё

данное

пособие,

стр. 56);„Мы должны допустить,

что некоторое

обстоятельство имеет место:

1°)

если оно является частью условия;

2°)

если оно является частью определения одного

из элементов,

о- которых идёт

речь;

3°)

если оно вытекает из аксиомы;

4°)

если оно

вытекает из одного из предыдущих доказательств.

В рассуждениях ни одно положение не должно считаться верным

иначе,

как в силу одной из этих четырёх причин".

1

13

§ 3 . Решения остальных задач

Решение

второй задачи

Условие

задачи: доказать

тождество

й ,

L-SinoL - â o /d .

£І<] U

'

oos*°c

Определение I .

Тождеством

называется такое уравнение j(U) =

=

что множество корней этого уравнения совпадает с его

областью определения (см.

определение 5 в решении

первой

задачи).

Определение 2 . Доказать тождество—значит путём допустимых

(тождественных) преобразований привести исходное

уравнение к прос­

тейшему и очевидному уравнению (равенству).

Замечание. Прежде, чем доказывать тождество,■надо проверить

условие. Например,

условие данной задачи в учебнике [32]

записано

так:

ч

£ tqlc

=

■COS ai

вой и

правой части: tooi

не

существует

при

ы.

= 90°+І80°- п.

,где

л- - любое целое число;

правая часть не

вычисляется,

если

зна­

менатель равен нулю, т .е .

при

ы.

= 0о+І80о-/п

, где т.

- любое

целое

число.

-

Проверка.. Пусть ы.

=

45°.

Слева

2 ^ 4 5 °

= 2 . Справа.

І-Зіл Ч5°-cos

s £

.

'

&sg

S i n 4 s °

‘/ ч

To есть при ai = 45° равенство справедливо.

Пусть

ы. = 30, о ., 2 t ^

30и а 2 - ( ± ) 1

=*/*■

J-Sin430°-COS430°

t - L

- Z

= 6

1 '6

*

Но этот факт, конечно; не значит, что

так будет для любых углов

е* ф 90° +

І 80° п

(такова область определения уравнения).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допусти«, что в условии дано верное равенство,

имеющее смысл при

ф

90° +

І80° я.

Умножим-обе части этого

равенства на

cos“di

(ФО),

&

ч

-

ч

ч

£ to ы. ■cos оС = 1

Jin at

-co s ос ;

J in k 'd .

у

-

у

и

£ • ggf2^

'GOSct = I

Jin d

—COSd- '

Решение третьей

задачи

Условие: решить неравенство

X

^

X

Х & +7х+{£

X е +3х +2. ''

Введём обозначения: левая

часть

есть функцияjc x ) =x è - jx+j^ '

такие, что знамёнатель не обращается в нуль.

_____ ,

Если

х е + ? х - И £ = 0 ,

то х ,~

+ y ^ ~ t £ ■>

1

/

1 ■

1

X - — + — =- 3.

х„.=---------- = -ч

' 2

£

2

2

2

(эти значения можнс было найти по формулам Вьета устно).

Итак,

х &+7х +{£ = (х+5)(х+ч) ,

и

j c x )

не

существует

при

X = - з ,

X -—У.

cj(x)

Обозначим

правую часть через

и найдёмеё

область

опреде­

ления х ? + З х + £ = о

или_

сх±Шх±£) = о ,

,

значит,

а(х)

не

существует

при

х = - і

,

х = -£

Областью определения данного неравенства (см. определение

в

решении этой задачи)- являются все

действительные числа х , исклю­

чая четыре числа:

Х Ф - І

\

х

Ф-& ;

х Ф - 3 ; х ф - 1).

Для оставшихся чисел х

надо найти

подмножества (часть множества

действительных чисел х

) ,

в

которых выполняется предложенное

не­

равенство.

X

X

(1)

х*+7х+!&

х& +3X+Z

(2)

X

>

X

х ^ + ух +Ш

1

X * +Зх+2.

(3)

X

х

- с т*

Х& +ЗХ+Л

x z + ух + !&

(4)

г

f

1

*

) >0;

^

1 X Z+5X+&

Х& + 7Х +/2)

(5)

f (Х&+7х+1£)- (х^+Зх+Я) \

1 (Х&+ЗХ+,S) (х& +7x+t£) ! >О;

( 6)

________ хсчх+Ю )

0

(х*+Зх-ЩЛ(х*+Ух+Ю

(7)

Ч х ( х + % )

0 -

(X+1HX+Z)(X+ЗНХ+Ч)

Последнее неравенство удобнее решать методом интервалов (см.

[14] или [14.1] на стр

145)

Это

означает, что на числовой оси,

где

мы откладываем

значения

х ,

отмечаются части этой оси,где поло

жительны(т.е. значения х

при которых положительны)отдельно

числи

тель и отдельно знаменатель

Отмечаются также и те участки числовой

оси, где числитель и знаменатель

отрицательны

А затем

выбираются

те части оси, где знаки числителя и знаменателя

совпадают. Смотрите

РК* И И :

ЗНАК

HMCAHTEJß

......

..............

_______ -3

-г (~~) - 1 ______У

(-Н

^

W . Л М Л Ш А A - / . Â . с + ;.

*

ЗНАК

ЗНАМЕНАТЕЛЯ

4)

X > о.

Замечание. Проще исследовать знак

произведения

х ( х + \)[x -H )(x+2,)(xf3)(x+ 4)-

Обоснование. Начало данного обоснования совпадает с началом

обоснования решения уравнения в первой задаче. Здесь

J CX) '

х &+ 7 х + f& ’

1 СХ) х & +3х+і&

не пуста, т .е .

есть

такие

числа х

,

, при которых обе функции мож­

но вычислить и сравнить полученные

значения.

*

Определение I . Неравенством (функциональным неравенством) для

fix )

и fix)

называемся соотношение

fix )* fix ) , выражающее суж­

дение: значение функции

j ( x )

меньше значения функции

f i x ) .

Определение 2 . Общая часть областей

определения функций j(x )

и f ix )

называется

областью определения неравенства.

В нашей задач*

-

это

все

действительные

числа, кроме

чисел - I ,

—2 , г-3, —4.

Если некоторое

число

а

взято

из

области

определения

неравен­

ства,

то либо

1°)

f i a ) -с

Q(a) ,

т .е .

суждение истинно;

тогда

говорят,

что

а -

решение

неравенства;

либо 2°) JCQ) > <j(a) ,

, т .ѳ .

суждение ложно и

говорят,

что а

не удовлетворяет

неравенству

j ( x ) + CjCX) .

Определение

3 . Решить нёравенство

-

значит

найти множество

всех

его

решений

в

области

определения

неравенства.

1 )

,

При этом,

может быть,

что

не

найдется ни

одного

решени

неравенства, тогда неравенство называют противоречивым.

2 )

. Другой крайний случай,

когда каждое число

л

из

област

определения неравенства является его решением, тогда неравенство

удовлетворяется тождественно.

И ещё/говорят в этом случае, что мы доказали тождественное

неравенство в области определения неравенства.

Замечания. I)

Как видно из определений, вопрос об истинности

функционального неравенства сводится при выбранном

значении а.

к

установлению числового

неравенства. Это

означает,

что мы предпола­

гаем, что между действительными числами установлен твёрдый и пол­

ный порядок (про два числа

а

и Ь

можно всегда

сказать,

что

либо

а > Ь ,

либо

а = 6 ,

либо

а<Ѣ ,

.и

даны соответствующие

определения и свойства этих соотношений порядка). Между комплекс­

ными числами такого порядка установить невозможно.

2) При решении данного неравенства мы строим цепочку равно -

сильных неравенств. В связи с

этим иы должны дать

определение

этого понятия и теоремы, подтверждающее

законность

переходов

от

одной строки выкладок к другой .. Сходные определения и теоремы

были даны при обосновании решения первой

задачи. Тем, кто их пом­

нит и знает, можно пропустить нижеследующую часть обоснования ре­

шения неравенства.

(следствие из неравенств). Неравенство Гсх)^-

Определение

4.

< G (x)

является следствием

неравенства

Jcx)-i^(x), если

первое

неравенство, верно

для любого

х

,

удовлетворяющего второму нера­

венству. При этом

допускается,

что могут

быть такие значения х >

при которых удовлетворяется неравенство

FCX ;-<GCX) , RO не

выпол­

няется неравенство

J сх) -с CJCX) ■

Определение

5 . Неравенства

F ( x ) < G ( x )

и

J(x)<<j(x) равносиль­

ны, если каждое из них является следствием другого.

Другими

словами,

каждое число, удовлетворяющее неравенству

F ( x ) < G ( x ) ,

удовлетворяет и неравенству

j(x )- c < j(x )1 а каждое

число, удовлетворяющее

и х )

-і

а ( х ) ,

■ удовлетворяет и F(x)-<G(x).

Отметим, что если множества решений неравенств Fcx)<G(x)

и j( X ) < c jc г;

пусты ( т .е . нет

ни

одного ч и сл а х .,

удовлетво­

ряющего или первому, или второму неравенству),

то эти неравенства

также считаются равносильными (иногда говорят эквивалентными).

Переход

от строки выкладок

(I) к строке (2) на стр. 16

осно­

ван на следующем утверждении:

ТЕОРЕМА I . Неравенство

1 (х )

^ а(х)

равносильно неравенству

<j(X)yjCX) . -

'■

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. При х - а

получаются числовые неравенства

j ( a )

,

(jca)yJ(a). Второе

следует из первого и наоборот..

Переход от строки (2) к строке (3)

на

стр.

16 опирается

на

теорему.

ТЕОРЕМА 2 . Неравенства

j-(x) < Cj(x)

и

у (х)+1Сх)< угх)+ і(х)

равносильны,

если санкция

ѵ х)

имеет

смысл в области

определения

неравенства.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Из

jca) -і

уса)

следует,

что j(d ) +ua) <

■с

уса.) + гса) .

Обратно,

из

последнего

числового

неравен­

ства следует

числовое неравенство

у raj

^ra;.

(Подробное дока­

зательство аналогичного факта см. в теореме I в обосновании ре­

шения первой

задачи,

стр.

I I ) .

Следствие. Неравенство

jcx y -

jc x )

равносильно

неравенству