книги из ГПНТБ / Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения

самостоятельно

эти

теоремы

и аксиомы полезно тому, кто

их забыл,

см. например,

[12]

, § 7) .

4) Исследование, Задача не всегда возможна. Если

s ^ 6 ,

то построение

невозможно,

ибо

нарушено неравенство

треугольника.

Если s > b , то

в учебнике [16]

утверждается, что есть

случаи,когда

две

окружности радиуса s ,

одну

с центром

К ,

другую с

центром

L.

Точка Я

■ вершина вспомогательного

треугольника

Х і Я —

находится на первой окружности (центр К ,

,

радиус S

) .

Если из

центра К

опустить перпендикуляр на сторону

LM ,

то

он разо­

бьет эту сторону на два

отрезка,

причём

к вершине Я

будет при­

мыкать отрезок большей длины,

чем

отрезок,

примыкающий к верши­

не

L (наклонная

K H - s

больше наклонной

IX = 6 ) ,

. Значит,

середина стороны

L N

ближе к вершине

Я .

Если через

эту

сере­

дину провести

перпендикуляр,

то точка

К

окажется в

той же по­

луплоскости,

что и точка

Z.

А последнее

утверждение

означает

,

что

проведённый перпендикуляр обязательно

пересечёт сторону К Я

в точке И ,

,

и треугольник

KLM

всегда

существует.

Наконец, если решение есть, то оно в данной задаче одно (как

говорят, решение единственно), ибо перпендикуляр МО

пересекает

прямую ХМ

в

одной точке

(

о° < ы.-< 180°).

Второй случай

Построить треугольник

по

основанию,

углу,

прилегающему

к

.1) когда дан меньший из двух углов,

прилегающий к основанию, 2)

когда дан больший из них).

Решение. I) Пусть основание по-прежнему равно

6 ,

угол ы.

меньше другогй угла при основании ( обозначим его [

) ,

разность

боковых сторон равна г . . Анализ проводим так же,

как в первом

случае: предположим, что в найденном треугольнике

ДВС.

оснований

ДС = 6 ,

^ А = ос

(ибо во всяком

треугольнике против большогсі

угла ( [

) лежит

большая сторона).

Значит, точка

Д

такая, что

В Д - ВС

лежит на стороне ЙВ.

Треугольник

ОСА

можно постро­

ить по углу

в = ы- ,

основанию

Ь

и другой стороне

ЙД - л -

-й & '& й

= ЙВ'ВС. Искомая точка ß

лежит на"медиатрисе

BE

отрез­

ка СД

там,

где BE

пересекается

с й&-

Анализ

окончен.

Пост­

шении первой задачи.

оС> у

тем, что теперь ЙВ <

2) Анализ в случае

отличается

< ВС

и точка Д

окажется за

вершиной й

(другими словами,точка

й лежит на отрезке ВД

= ВС)- Но точка В всё равно лежит на

медиатрисе отрезка

СД .

Остальные части решения (построение, обоснование, исследова­

ние)

мы опускаем.

'

Решение

одиннадцатой задачи

Задача относится к разделу математики, который называется

комбинаторикой.

Бели бы все 10 точек

обладали свойством г-никакие три точки

не лежат на одной

прямой,

- то любая тройка точек образовала бы

числом сочетаний из десяти по три

(С ^).

Как известно

(см.

стр. 74 ) ,

с к _

.

я /

В данном случае

л

к! (п -і)!

з

ю!

/ ДЗ - Й^ б Г З Й/ О

С

= ——; - ---------- -120.

to

З І ? І

c / - £ - 3) ( l - £ - 3 -4 -S-6 -7)

ков (семь точек лежат на одной прямой). Из семи

точек, находящихся

в общем положении (то

есть

лежащих на плоскости

так, что

никакие

три точки не лежат на

одной

прямой), можно было получить

Лj ?/

треугольников.

С7 - - j i j r

чаться

новых буквосочетаний. Это так называемые

перестановки

с

повторениями из пяти элементов (З+І+І). В скобках написано,

что

имеется

три элемента одного сорта

(буква а

) ,

один

элемент

вто­

рого сорта ( буква Г ) и один элемент третьего

сорта

( буква Ж).

Число перестановок в данном случае

подсчитывается по формуле:

Р (3,1,1) -

s!

І&ЗН-З

з ! і ! Н -

а-й-зн-і

То есть

перестановок с

повторением буквы

(три

раза) в шесть раз

атака,аткаа, такаа, ткааа, ааакт,

ткааа,

ааакт,

закат,

аакта,

актаа, катаа, ктааа, таака, тааак,

атаак,

каата,

кааат,

акаат}.

Об элементах комбинаторики см. стр.

73+79 пособия.

§ 4 . Послесловие к первой

главе

Итак, разобрано (частью очень подробно, частью бегло) двенад­

цать задач. Обратите внимание на соотношение задач по

разделам

элементарной математики (по алгебре

шесть

задач,

пе геометрии три

Г л а в а

П

ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ. ЯЗЫК ЛОШКИ И ТЕОН® МНОЖЕСТВ

лями. такой, который не будет

походить на ромб, и для доказатель­

ства не потребуется никаких рассуждений.

При решении задач и доказательстве теорем встречаются различ­

ные

О б ъ е к т ы

(числа,

треугольники, точки, плоскости, ут­

вервдения, которые мы называем

высказываниями (см.ниже), углы

Объекты обладают

с в о й с т в а м и

или находятся

в

определенных о т н о ш е н и я х

между собой

(например,

два

действительных числа а

я

6 ѵсіут

удовлетворять

одному

из

трёх

о т н о ш е н и й

п о р я д к а :

либо

а > Ь ,

либо

а - 6

,

либо

а+Ь).

Объекты обозначаются

с и м в о л а м и

(чаще всего

буква­

сказываниями:

I )

Как Вас

зовут?

2)

Как Вы себя

чувствуете?

Много примеров можно найти в

[13]

, в главе

первой.

Содержательную сторону

высказываний -

наше отношение к той

Х = 1

означает, что высказывание х

истинно,

запись х = 0

означает, что оно ложно.

Из

одних высказываний.можно

получать другие. Например, из

высказываний "число я делится на

2" и

" п>

15" можно образовать

если известны значения его частей.

отрицание,

Основные способы образования новых высказываний -

конъюнкцияі

дизъюнкция,

импликация я эквивалентность.

Отрицание высказывания А есть новое высказывание, обозначае­

мое символом Â

(читается "не А ").

Остальные логические операции определяются для пары высказы­

ваний. Конъюнкция высказываний А,

8

есть

высказывание,

обозначаемое

оиыволом

А л в

( читается*Д и В" ).

;Дизъюнкция

А

и в обозначается через A4 В

(читается "или А

или

8 "),

импликация:

в =» в

(читается."если А, то в

").

Эквивалентность:

А<=>в

(читается " А

равносильно В

”).

Формально для алгебры высказываний все свойства указанных

логических операций даются так называемой таблицей истинности,

которая позволяет определить значение каждого из высказываний

по

в,

А л В,

А ѵ В ,

А =*В ,

А ** В

значениями отдельных высказываний. Эта таблица имеет следую­

щий вид:

А

В

АлВ

A v ß

А =*В

А <^В

Â

в

О'

О

0

О

і

і

і

1

о

1

0

1

/

0

1

о

4

О

О

1

О

О

о

(

1

1

1

1

і

.

1

о

о

ляется функцией от

а , В ,

. которая принимает том два значения

Ои I . Итак, высказывание можно назвать функціей, у которой область

.'гггределения состоит из двух чисел 0 и I, точнее для

j e AB)

область определения есть множество пар {(0 ;0 ); (0 ;І);

(І;0 ); (I;lj)},

а область значений содержит только 0 и I. Тогда назовём функции,

заданные

таблицей, элементарными. Каждая из них имеет своё наз­

вание.

I)

А аВ

-

это к о н ъ ю н к ц и я

(логическое

уѵ ^^Еяе), связка

"а и

5 ”.

( Z * l )

C?<?)

=* ( f T ^ i / s ) ;

а неверным -

следующее высказывание:

( S < i )

=*

=>

Здесь важно усвоить, что связна

не

означает никакой при­

чинной свази;

смысл импликации полностью

определен таблицей,

и

ничего другого импликация не подразумевает.

Имейте ввиду, что импликация -

это новое

высказывание,

состав­

ленное из двух данных, а следствие -

это отношение между двумя вы­

сказываниями. Связь между ними такова: из Я

следует В тогда и

только тогда, когда импликация Я*>В

логически истинна.

Наконец, отметим, .что высказывание (Я**в) можно заменить

(т .е . оно истинно в тех же случаях)

высказыванием (Я ѵв) ■

С отношением следствия мы встречаемся при решении уравнения

или

ного

уравнения).

4)

я 4* В

-

это

равносильность, эквивалентность,

связка

"я

верно

тогда и только

тогда, когда верно в "

или

" Я

истинно,

если

и

только

если истинно

В ”.

При изучении некоторых разделов математики нам встречались

теоремы, которые можно объединить в пары, прямые и обратные.

Факту, что верны обе теоремы, математики придают большое

значение. Обе теоремы объединяют в

одну и употребляют

при этом

слова: "необходимым и достаточным

условием

Я

является

5 "

или

" fl

верно,

коль скоро верно В и

обратно"

и тому подобное.

При доказательстве тождеств и неравенств приходится всегда

следить за сохранением равносильности цепочки преобразований.

Высказывание ( Я & В )

можно заменить на высказывание (сЯ=$В)л

Л (В=>Я)).

Проверьте,

что

((Я =*В) *=> (В =>Д)) ■

5)

Отрицание

fl

-

это высказывание

такое,

что

Я - о ,

если

Я--1,

и

д - 1 ,

если

fl=0-

Отрицание часто

используется,

если мы хотим

записать компакт­

ный ответ при решении систем или совокупностей

неравенств.

ки, которые мы назвали

элементарными функциями на множестве выска­

зываний

(всего их

1 6 ).

Здесь

приведены наиболее употребительные.

Сформулируем

без

доказательства следующий факт.

ТЕОРЩА. Любая функция

j c x t , x £

х ѣ)

от п переменных

(каждое

принимает

только два

значения:

0 ,1 ) ,

принимающая только

значения

0 и I , может быть представлена^йак

высказывание, в ко­

тором связками являются конъюнкция, дизъюнкция и отрицание.

Э^от факт используется при проектировании контактных схем

(например, в лифте или быстродействующей цифровой машине).

Этот же факт можно проверить на примере,

записав в требуемом

виде высказывание

(Я*=>В).

Получится,

например, ( ( й ѵВ)а с в ^я)).

вить конкретные числа (в нашем примере пусть х - з , у - Ѵ , <=i = s ) .

То, что мы называем уравнением, с точки зрения математической

логики является

высказывательной формой (в нашем примере это

"форма для числовых равенств") или предикатом.

Дадим оолее точное определение предиката.

Определение. Предикатом называется логическая функция, у ко­

торой областью

определения могут быть различные множества, обла­

или-{"ложь",

"истина"}.. Предикат описывает

некоторое

свойство эле­

мента.

PCX) ,

Q (х,у)

. S (x t , ..., х л) .

Обозначение

предиката:

Например, Р ( х )

-

" х

есть

число,

делящееся на семь". Область

определения

Ж

-

множество

натуральных чи'сел.

Р(Ь)=о; РСѴ-1;

PCS) =ot

Ц -

P ( Q )

ae имеет

смысла,

оно СР)

не задано

на мно­

жестве

множестве

рациональных чисел.

(Обозначения для мно­

жеств см. на стр. 50).

Пример второй.

Q ( x , y )

— “х

не меньше у н. хеМ.

(т .е .

X, берется

во множестве действительных чисел;

также

(строго

говоря,

Q

(X, у )

) определен

на множестве

Я х Я

со

значениями

во множестве

^0,I}j. На

множестве

комплексных чисел

предикат

Q(x,y)

смысла не имеет.

Для этого

предиката можно по­