книги из ГПНТБ / Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения

ней, если

известна формула

разложения бинома Ньютона (так

называет­

ся выражение вида ( а +6

?,

где

п е .Н ) .

Геометрическое построение обратного числа

Опишем построение

точки ^

с

помощью циркуля и линейки без

делений,

если известна

точка ы.

на

комплексной плоскости

(анализ).

число £>=-?■'

Так как

!/Ы - ~

или ifbl-ldl =1

и

azcjfb = - a t c jü

= azcj d

,

то точка f> лежит на луче, начало

кото­

рого в точке ■ О ( о ; 0 )

и который проходит через точку ос.

Отсю­

да становится ясным

в о с т р о е

н-.и

е (/< * /< /).

Опишем

из точки 0 как из

центра

окружность радиуса единица (см.

рисунок). Соединим прямой линией

•точди

0

и У . Восстановим в

точке

оі

перпендикуляр к примой

СУ

до

пересечения в точке Т

с

окруж­

ностью. Проведем,- наконец, каса­

тельную к окружности в точке Т .

Касательная пересечет луч Оы. в

точке

ß.

£ =а - 1 + 6 -1 +Ъ у + di e ,

где ае ] Ц, , t e R , C E R , d e R \ . символы J e R ,

i , j , 1

связаны следующей таблицей умножения :

нионов,

а именно { ( а ;

6 ; 0 ; 0 ) } с

{ ( а ;6 ; C ; d ) } .

Доказано

(Фробениус),

что для остальных упорядоченных п - ок нель­

зя сохранить обе операции (сложение и умножение ) со свойствами,

характерными для множества R .iB ce

ли

свойства сохраняются и здесь?).

2 .

Более подробное и менее формальное изложение школьных

вопросов, связанных со

множеством

С

, можно найти в книгах Бол­

тянского

и др.

[13],

Дорофеева и др.

[14],

Виленкина и др. [28] ,

Киселева

А.П.

[29|.

Начнем с

примеров. Даны два

множестваX и У . Между объектами

х е X , y e Y

можно задавать на

множестве ( Y * У ) различные отно­

I).

I ;

2)

У -+

'

3)

;

4)

5)

7=ßx+5 i

6)

Ц = і і . п Х ;

7)

8)

И

)

і

i Z

3

ч

S

- I 2 )

J

i------------- ------------

і

-----ІW---------- 1

-4

з — <

и.

3

Ь ]

— *

Ч

—-------------- i

Ь

,,тяі

Ь

г

1

3

»—

и

Первые

четыре

отношения з^пдны на

R х Ц

так, что

хе Л. ,

В

этих примерах X =R ,

Y = R

.

Пятое и

.шестое

отноше-

ния заданы на подмножествах

J Y Ü .

В пятом

примере Y-JZ

,

и

x e R

,

в шестом - Х = £ ,

f rJU.

В остальных примерах множества А' и Y

конечные. В седьмом

примере

X *(х, , x 2 , x 3 , x 9, x f r ' ,

Y = {

у, fr, fr, fr] .

В восьмом и девятом

примерах

X

={ x t , x &, x

, х ч]

,

Y ={tjt , f r , tj3 } .

.

В десятом

и

одиннадцатом

примерах

Х - У - /1 ,2 ,3 ,4 ,5 ] . Наконец,

в двенадцатом

примере

X =

/1 ,2 ,3 ],

.Y = /I ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ] .

Что же

такое отношение

(соответствие)?

Некоторые математики

говорят, что это подмножество прямого произведения двух данных

множеств. Другие утверждают, что упомянутое подмножество является

лишь графиком отношения (соответствия).

Кто

прав? Правы все.

Различие

в приведенных утверждениях соот­

ветствует тому,

понимать ли

отношение "аналитически" ( т . е .

в виде

формулы)

или

"геометрически"

( т . е .

в виде

графиков,

которые можно

нарисовать в прямоугольной системе координат на плоскости (примеры

1+6) и которые уже нарисованы (примеры 7+12)).

Вот аналитическая

запись отношения ■Л

(х , и)

в двенадцатом

примере: даны два множества

X -

[

1 , 2 , 3 ]

и Ѵ г / 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ]

Тогда

Л е х и )

= / ( І ; І ) 5

( І ; 2 ) ;

( І ;3 ) ;

( І ; 4 ) ; ( І ; 5 ) ;

(І;6)

; ( І ; 7 ) ;

(2 ;2 );(2 ;4 );С 2 ;6 );

(3 ;3 );

(3;6)J.

Ясно, что

[ Я ( Х , у ) ] с

( X* Y ) .

Словесная формулировка для

Л

( х , и )

■

элемент

х е Х

есть

делитель элемента

f r у

( X с Ж , Y

^ N ) ■

Из множества отношений издавна выделяют важное

подмножество.

Это

подмножество

отображений

(функций). Среди вышеприведенных при­

меров это четвертый, шестой, десятый, одиннадцатый. Их выделяет сле­

дующее

обстоятельство: .каждому элементу

х е Х

соответствует ров-

%

но один

(один и

только

один)

элемент

и е У .

Между понятием

значений — R

или

его подмножество. Здесь сх ; <j)е R z , х е Я ,

Число

Л е Л .

Чаша и седло

получается в R 3.

Задача.Какую геометрическую фигуру описывает в Ц£3 система

неравенств:

/ х / л 1

и

/ у / Z I ,

и

Ц Ы I ?

Для изучения

поверхностей

применяют метод множеств уровня.

ти, снятый на

карту.

Замечание

4, Комплексное число

ы

г Са ;&)

,

а е Л ,

è e R

задано на R ä Функция комплексного

переменного

сиг - ся + d

,

например, где

с е € , d e £ , z e C

)

принимает

значения

в R &.

чески (ведь

ее график надо рассматривать в М4

, где наше геомет­

рическое воображение

почти не работает (не действует)}. Частично

ухитряются

все-таки

представить поведение функции комплексного

переменного

графически, вычерчивая,

например,

поверхности посто­

приведено в справочнике Янке,

Эмде, Лёш "Специальные функции").

Замечание

5. В школе чаще используется прямоугольная система

координат. График функции мы

рисуем на множестве

пар

с х ; у ) е R z ,

х е Л

\ y f £ .

Однако существует

и полярная система коор­

динат (стр.

96

) . Здесь тоже

берется пара

чисел

ifeR

, г,?/0 ,

г е Л

,

тогда каждая точка плоскости имеет координаты

( у ; z j e R z

Замечание

6 (Понятия отношения и отображения

(а значит, соот­

ветствия и функции ) на самом деле относятся к числу начальных

основных

(и

не

определяемых в математике)

понятий. К тому же набо­

Замечание 7. Пусть у^сг2, но

- { x ^ x / ^ l j

j

Х&

= { х :

Тогда

говорят,

что заданы две

различные функ­

ции:

у них различны

области

определения.

§ 2. Таблица

основных функций

Мы считаем,

что x e R

,

у е И

;

пишем сначала правило, затем

область определения

X

и-область значений Y .

1)

у=J ( TL)

или (другое

обозначение)^ .-^,

или

схп)

-

чис­

ловая последовательность. Область

определения

X = Ж =

= £ , 2 , 3 , . . . . ,

а ,

...._}

;

область

значений

Y e R

■

2)

и = ах +6

і

а е JR. ,

Ь еЖ

-

линейная функция X = R , Y = R .

3 )

у

^ах^+Ьх+с-

0.40,

а е Л

, Ь е R

, c e R

і

квадратный

трехчлен;

Х = М

, Y c R .

4)

и =а х 3+ Ьх£ + Сх + d ;

а 4=0 , a e R , 6 e R ~ С3 1 ,

aeJR;

кубический многочлен;

Х = М,

Y = R

■

5)

и= акх к+ ak l X l''t. . . і atx t

ao ,

где

^

4о,

ovre R

;

a

f J 2 ___

Of e R

,

ag e R

;

} e j {

-

к-і

k - ои степени.

X = R ,

Y ^ R . ■

Часто

пишут

многочлен

у -

CrJ.

Иногда рассматривают

pt

(х)

при

к=о.

В этом

слу­

чае

рк (х)=ао

(говорят,

что это многочлен нулевой степени,

он

равен

константе

(постоянной

величине)

а

при любом х .

6)

Ч- ~х—

;

1

где

Р,

ex)

и

Q

(X)

-

многочлены к-ой

1

Qmcx)

. i

™

X =R ^

,,ois }

,

где

си eR ,d.&eR,...,d.seR

и

Qm Ң

) = Qm CcL&) = .. .= Qm (ds ) =0 i J S m

;

Y

s R

<_

Частным случаем

алгебраической дроби

является функция

JZ

7)

у -

&уо ^£.

(это

рРавносильно

записи

х -- а%^

) - "

логарис&ми-

Г

- і а

а > о ,

а

4= I ,

а е Ш

\ Y - R

■

ческал функция;

х у о ,

х е

8)

Ч ' а 'Х'

~

показательная функция;

а у о ,

а ф і

,

a e R ;

' X - R ;

9)

Ч>°

И

y e R

C Y c R ) .

d e R

,

и

X E JR

у = х и

-

степенная функция;

х у о

( X c R

)

, Y s R

■

10) у - Jin X

( X = R

,

/Ц/s 1

y e R ) ;

у = COSX

(X *.R

,

Ji jl Sl

u e R ) ;

и - t a x

. (X - R '' ( x - . x

і і я . кe t J , Y = M ) ;

II)

t j - а г с Л п

х ,

что

равносильно двум отношениям:

X

-

S i n у

и

и = a t e

cosjc

,

что равносильно двум

отношениям:

1

X=COStj

И Io x t j x f t ,

а - агс іа х ,

что

равносильно двум

отношениям:

7

лЛуу

■

' У" Г

Это группа обратных круговых функций: арксинус, арккосинус,

арктангенс.

^у =- аartА хX,

12)

i j - s A x

,

у = th

X

-гиперболические

функции*.. Дано

число

<г е М

и

e = 2,V 3R i

тогда по

определению

<гX-в. -X

sA х -

( Х = Л , Y = R ) -•

с к х

е X+ е -X

(X=R ,

, tj£i

<гX- е -X

t k

X =

+ g -с--

(Х=М ,

iijHl

, i j e R ) ^

13)

Группа

новых функций

13Л )

Ч=іх! ;

13.2)

i j - s ^ n x ;

13.3) у * [ х ] .

1 3 .1)

^ и=

І х І

-

модуль(абсолютное

значение) х

4 X = R

,

у >о ,

y e R .

Деть, запись

этой функции

в виде

двух

формул

ІхІ -

Г

при

ХУ/О:

XX О .

[

Ч ~ 'Х

при

13.2)

j g n

X

C„S^n1 сокращение латинского слова

qjinnum*- знак) - знак числа х ■

X = R

,

Y - { - { ;о; +1} .

Расшифровывается

эта

запись

так ( в виде трех формул):

г т х ~-

Г +I ,

если

ХУо

1

=

0,

если

X - о

ч

= -1, 6ели

XX о

13.3)

целая

часть

числа

х

(множеству целых чисел).

Словесная формулировка такова: если

к х X X і + ! , к е Ж ,

то y z k .

Последние две группы функций в школе встречаются редко, но в

высшей школе (университете и втузе)

очень

часто. Советуем построить

из X

следует

выкицуть те

числа, при которых знаменатель равен

нулю). Но самая главная допустимая операция для расширения множе­

ства

простейших функций -

это

подстановка (более

употребительное

название в математическом

анализе: образование

с у п е р п о з и ­

ц и и

или,

еще говорят,

к о м п о з и ц и и

двух функций).

Иначе можно сказать: получение

сложной функции / она тоже

считается

элементарной). Суть операции в том, что на место

числа а.

в одной

из табличных функций ставят одну из табличных функций.

Например,

j = Л п&л

(или

t]= (Лп .х )& ' )

есть сложная функ­

функцию: у - Sincx^).

Полезно построить

графики обеих функций. •

§ 3. Схема исследования функции

(Математический анализ числовых

функций)

Подразумеваются, конечно, элементарные функции. По-другому эту

часть можно было назвать

следующим образом: этапы исследования Чир­

дим необходимые

разъяснения.

Этапы исследования

1) Уточнение

(может,

более

удобнее,представление)

множествах

( области

определения).

2) Разбиение множества Y

на

подмножества:

Y= Y

U Y o u Y + ,

где

г

= { у.- ^ о )

Y0= f f - ^ o } ;

^

. Y Y

у

■' у >°J .

Эти множества

порождают

разбиение

множества

X

: X = X. UXo U X ^ ,

соответствующих Y _ ,Y o ,Y , .

„