книги из ГПНТБ / Войтишек В.В. Курс лекций по математике для слушателей подготовительного отделения

вида

л

= о а

. а

6 6. ... 6 Ь Ь„ ... Ь .. .

Пусть 5 = 0 ,

(bt 6ä . . . 5 rl)

есть периодическая часть нашего разло­

жения. Тогда можно записать, что

a' aZ . . . а .

t Ю'”1-ß (Г*to’nt/o'Srltю 3ѣ+...)

менатель которой есть

Ю'

Сумма этой

прогрессии

есть

1

и потому

1-Ю'

А=о,

а

а . . . . а

+

— — —

’

/ “Л

1-/0-П.

Мы опираемся здесь на следующий факт:

ТЕОРЕМА. Если fcjl-t I

, то

I t q t q ^ t . . .t <ja t . ..

Доказательство последнего утверждения опирается на лемму I и 2.

ЛЕММА

I .

Если

iqi < t

,

. т о

q n — о

п р

п

.

ДБШАА 2. (неравенство

Бернулли). Если

ы . у - 1

и

n e JC,

ТО ( I + U . ) ^ > I t f l U .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (по индукции). При а = I утверждение верно,а

именно: ( / t u .)1 >

I tl ■ы..

Допустим,

что

п р

п=к

неравен­

ство Берулли

a+oij* > / t k u

верно. Проверим,

что п р

п - k t l ,

оно

сохраняется,

т . е .

в е р о ( 1 + ы . г 1 у

It

(Itl)oi .

Для этого

( і +оі)* у

{ t k u

.

умножим на

і+ы.>о:

(1+oL)

(itu) > (It kot-t(LtoL);

(JtaC)

/ > ItoL tkaC +koi St

t t l

P

(ItoQ

У It (itl)cCtloL

Отбрсывая последнее

слагаемое

(

k u ß > o ) - ,

получим

а

t u t 1*1

у i t

( b i t и..

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ I . Пусть

0 <

q t.

i .

Тогда можно счи­

тать, что

<j -

-

,

где

и у о .

Отсюда

следует,

что

h

ѴіШ- O ^q

А. -

■ti

Цп= (ItU) 7/ I t flot 7 TLaC

мы не

доказываем

здесь) приходим к выводу,

что предел

q ’1

есть

нуль.

Если

q * o ,

то

считаем,

что

q =

-

,

и

тогда

I I

Л.

1

1

и

опять

q

ц

при

п — » .

- 5 . - Ц

* Я

^

’

~~ о

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ. Пусть

Тогда

sa

= i + q t q 2+

+

■

&

j

лѴ/

Я*«.яЯ+Я +Я *--- + 9

>

m l

!

. я //

/ Л

1-я

l-q

l-q

*

Но если

iq i< I ,

то

предел

q

лри

есть

нуль

(лемма

I ,

примененная к

q rl't{ =q - q !L

) .

. Итак,

3 -*■ —■—

при

п -*■<*<=

или

•Ч

i- q

li-q tq * * ...

i-qn + . . . = j ^

.

при

/q/ і

1 .

При доказательстве теоремы мы столкнулись с последователь­

ностью

( J

)

(определение

см. на

стр^

84) .

Определение'предела числовой последовательности. Число 3

называется

пределом числовой последовательности

(‘ sn)

,

еояи

для любого положительного числа £

найдется такой номер n e f f

(который зависит

от £

) ,

что

для

всех

п е М

и

п>по

верно

неравенство

/Jn- s / ■££ .

Заметим, что

последовательности

(sn )

и

( і п ) ,

имеющие пределы

s

,

і

,

можно складывать

(это

значит,

что

если есть

две последовательности

(sn )

и

( t a )

и построе­

на новая последовательность

( х п )

так,

что

х а =sn +t^ ;

то k m

X

= k m

s„ + k m

t

; ,

умножать

( пусть

= s

(

t„ ,

Ьп фо,

тогда/Z-*-c-o

к-пьЦ„Я -**оо= ( k m

s„)Ckm t„ )

) ,

даже делить

если

n

n-+-<?o

g r1,

71

П.-+-

4H'

п

rL

j,

n-

fl

i-СуiL

t

ф °

,

’

T0

/i™

*„ = ”l m

7 : *

Однако переход к пределу -

это не

алгебраическая

операция.

При

переходе к пределу надр проявить максимум внимания.

Например,

пусть~

S'

= —1

t

= —д-

,

тогда,

k m S „ = o ,

km .

t„ = o

п

гь

л

/I*

я

’

я

»

но

к т

/ —е ) = к т

(п)

неограничен, а

/с>л.

/1І5-) = к т

)=о.

Это

так

называемая

"неопределенность", раскрыть которую Вы сможе­

те,

обучаясь в высшей школе.

'

Замечание

3 . Полное логическое

обоснование

множества Л

А теперь переходим к расширению множества R

,

ибо во множе­

стве Л

, как известно, не

имеет решения уравнение

х?+1 =о.

§ 3 . Комплексные

числа

( множество £

)

Предварительные

замечания

I .

Множество if7 состоит

из

элементов,

которые

мы

по традиции

называем

числами. На самом деле

элементом

£ является

пара дейст­

ния к счету или измерению элементы С

не имеют.

*

2. Извлечение корня приводит иногда к числам

вида

,

где

у е

В .

‘‘Например,

корнями уравнения

a é &+6l +с=о'

, где

а фо

ъ а е В

, б е л

,

с е М , t е R

, служат

числа

- б + Ѵб^-Уас

, _

- Ь - /б ^ ~ -ч а і

£ а

’

-3 '

â a

Но,

как известно

из теории,

подкоренное выражение

(дискриминант)

Ä - 6^ - Час.

может иногда

быть отрицательным. Тогда (если

2)^ о

) число

-Ю?о,

и существует

число

іТю-

/4ас- 6&'

Обозначим

через х

число

-jJ-

;

через .у

число

через

і

символ

/ 7 .

Тогда

t ^ x

+ y i ;

і ^ ^ х - у і ;

ва

t+tä - â x

;

t t & = x &t^ я .

В последних двух формулах спра­

ва стоят

действительные числа. Принято писать в таком

случае, что

x = x t y i .

И

символ

я

называют комплексным числом. Другой

корень ( tâ

)

обозначают х

и

пищут

х = л - у і .

Символ я

называют

комплексным

числом,

сопряженным

х.

Так как сЖ)=х,

то точнее говорить, что X

и Ж являются взаимно-сопряженными

(ведь X

'= Х -(-у)і

= х +уі } -

отношения порядка,

по­

3 .

Во множестве €

нельзя установить

добного

тому, что принят для множества R

, Действительно,

допус-

тим,

что

порядок установлен

так, что

і>о .

Но если умножить по-

следнее

неравенство

слева и

справа

на і

,

то

смысл неравенства

не нарушится:

і - і > і - о .

.

Однако

i z- - l

и

о-с =о

,

полу-

чаем

нелепицу -1 >0 ,

Если же предположить,

что

і ^ о

и умножить обе

части

этого

неравенства на

£

то

получим

і-і

> О -і

отсюда

опять

- І У О .

4. Множество €

замкнуто ко воем алгебраическим

операциям,

число комплексное.

5 . На множестве €

можно задавать функцию

ax=jcx),

для

которой область

определения

X s €

с X

включено

или совпа­

дает

со множеством

<? ) ,

область

значений У е

с . Они,

функции

членов) : всякое алгебраическое уравнение

(anl

t+arHx.n''+-.. + a x

+о.д =о -, а^ес; х е € ; охіхп.;

S c e K . n e M)

имеет по крайней мере

один комплексный корень.

7 . Комплексные

числа можно представлять так, как

сделано

выше,

в виде набора

символов

х = х + у і

(см.

[13]

тл.

4).

Мы будем считать, что символу

і

соответствует

пара чисел

х е &

UEЩ ,

записанных

в

определенном порядке

(см.

[9]

).

Определение

I .

Комплексным числом^

называется пара действи­

тельных чисел а

и

6

,

взятых в

определенном порядке.

Обозначение . ы. =

(а, 6):

Определение

2 . Если

6 - о ,

то

с а ,о і = а

(Б

этом

смысле

R

а

С

,

т . ѳ .

{ (а.о)) с {(0,6)} ■ aeJR.,

б е Л ) .

Определение

З.Два комплексных числа ы. = (а, 6),

ß =

(c.d)

называются равными,

если

порознь

а = с

и

6 = d

и

обратно. В

этом случае пищут <=(.=/$.

Определение

4. Если про

ы. = (а,В)

и

ß = (o,d)

известно,

что а=а

и 6 - - d

, то ы и ß

называются

с о п р я ж е н н ы ­

м и

. В этом случае /5

обозначается как 3 .

Итак, cZ

= с а .,- 6)

■

Определение

5 . (сложение). Если и = (а,б)

, ß s ( c , d ) ,

то

j = oO-/b S (Q+C , 6+d) .

Следствие,

(а , О) + (С,О) = (а + с ,о )

= а+с

■

Определение 6

(умножение). Если 4 = (0, 6); ß

= (c,d) ,

то

д= оi ß s c a c - 6 d _, a d + 6 с ) .

Следствие.

(а,о)(с,0) =

(ас, о) =

ас.

Свойства операций сложения и умножения:

1)

dL+ß

- ß + Ы.

6)

oL + oC = £ O

7)

ы Зс = a z + è s’ .

Определение

7 . Пару

(0,1) обозначим

через і .

Следствие

I .

і і =

(o,!)(Oj) = (-1 ,0)

= -J.

Или і 2 - Ч .

Следствие 2

(алгебраическая форма комплексного числа): .

ы. = ( а , 6 ) в. ( а ,о ) + (о,Ь)

=

(а,о) + ( 6,о)(о,1 ) —a t S i ■

Следствие 3 . Напомним, что нет смысла рассматривать неравен­

ства вида

і ю ,

і-со.

Следствие 4 . і ‘/к= 1 ;

; і**+г= - і; і***3--і ■, к е М .

(коэффициент

при мнимой части комплексногочисла оС

) .

Таким

обра­

зом,

числом

в алгебраической форме выглядит так:

о^ = а + 6 і = Я е СоО

+ і -ІтСы) .

Замечание. Комплексное

число можно записать еще в двух фор­

мах: тригонометрической и показательной (последнее

значит,

что

используется показательная функция комплексного переменного).

ТЕОРЕМА

I . . Существует одно

комплексное

число S

такое,

что

для любого комплексного числам

верно

равенство

ы + ö =ы.

и это

â=o

с

точнъ ъ ,6 =о + о с).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

ы +â =ы.. Прибавляя к этому

равенству

справа и слева число

-ы. = (- {) -ос

,

■

получим

â = o .

ТЕОРЕМА 2 . Существует одно комплексное

число £

такое,

что

для любого комплексного числаы $ о

верно равенство

ы -£ = L ,

и это

£ = 1

(точнее, £ = і + о і ) .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ы. б =оС,

,

гдеы.Фо. Умножим обе

части

равенства ы. &

=ы-

на число ß

■

П о л у ч и м -oi-ÖL ■£

но u - d = a &+6 S,

поэтому 6 =1 .

р=о ,

Ы/6=0 .

ТЕОРЕМА 3 (прямая). Если<уЫ?

или

то

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО следует из определения 6 .

ТЕОРЕМА 4 (обратная ) . Если

Ы .§=о,

то

либо

d= ö,

либо

§ - О.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть d-^=o

и ЫФ о .

Умножим обе части

равенства d f = o

на число

/ь - ~ s+-g^ ,

тогда

получим,

что

/= о ,

это и требовалось доказать.

Определение 8 (вычитание). Разностью между/ь

и а.

называется

числом

такое, что верно равенство

ы + я = / 5 .

ТЕОРЕМА 5 . Вычитание однозначно в

С.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. К равенству

d + Z = [Ъ

прибавим

(-<=£),

получим

<2-/5 +(-сі) =f i - d .

Определение 9 (обратная величина). Пусть

о

,

. тогда

символом J

обозначается такое числом

,

что

ос-л-1 .

ТЕОРЕМА 6 . Обратная величина дляоі

есть

Д

•

Действительно,

умножим

и - х = 1

на

и получим

2-=az+6 È '

Еданственность

следует из

теоремы с,

Следствие

(деление). Верно равенство — = -■ ß .

С*

оС '

Следствия (действия с числами сопряженными).

Если с?

= а - 6 і ,

ß = e - d i ,

~

то

1)

й+/Ь =-ca-6 i) +(C-di) =cai-c)-(6 +d)i = (аікЬ) .

2 )

ci-ß =

(a-6 i)(c-di)= (aa-6d )-(a d + 6c)i = <£,¥;.

3)

Цуоть

Р (ы .,/Ь ,$ )

есть краткая запись

алгебраической

дроби относительно комплексных чисел

ы.- /ь , ^

и

Р &■,/&,[)

=

0.

Тогда

P ( d , jb

, / )

=

0 .

Если

комплексное число

ы= я

t y i

является

корнем много­

cZ= X -4 1

является

корнем

того

же уравнения ( ибоj(<P-)=joP>,

проверьте!).

Геометрическое

изображение

комплексных чисел

Мы видели,

что число

ы

_

£

. О

часто

используется

а

= а +о

в теории множества€ . Особую роль оно играет в геометрических

вопросах.

____

'

Определение 10.

Число

т/<х-5- е R

называется модулем числа«:.

Обозначение. /оі/ - /ы -Р

Следствие

I. Если

Ы. =

(а ; 0 )

,

то

/<=*/ =№■! ■

Следствие

2. /оі =о

,

где

о £ R .

Следствие

З.Если

оі. =

(а

6 )

изображать

как

вектор с

началом в (0; 0) и концом в

(а ; Ь) ,

то

/Л/

-

есть длина

этого вектора.

I. Число d = (a ,-6 )

Замечание

можно представить на координат-,

ной плоскости

как точку с

координатами

{ а ; в

) (имеется

ввиду пря­

плоскостью.

Числа вида ( а.; О ) попадают на ось абсцисс (действи­

тельную

ось

комплексной плоскости), а числа вида {О; в ) на

ось

ординат

(мнимую ось комплексной плоскости).

»

полярную систему координат так, что начало отсчета (полюс О

)

совпало бы с точкой (

о ■о

) ,

а

полярная ось

- с

действительной

осью, точнее с

лучоы ^^о,

у = о .

Определение I I .

Число

if

, равно

величине

угла, на который

надо

повернуть

полярную ось

около

полюса 0

так,

чтобы точкам

' ( вектор ot

) была на луче,

исходящем из

полюса

О

,

называется

аргументом

комплексного

числа ы.. Число

tf?o,

если

Поворот

совер­

шается против часовой стрелки; число '' if-со,

если

поворот

про­

исходит по

часовой

стрелке.

Обозначение.

if= агуы.

Определение 12. Число- ( о ; о ) не имеет аргумента .

Следствие

I . Если

а + Ьі

и

г-/ы, -и

,

то

а-

г-cos і/,

6 = г-sin

if

и

оі- г (cos if

t isin if).

Эта запись называется тригонометрической формой комплексного

числа а .

Следствие

2. агд<+ определен

с

точностью до

чисел, кратных Ді?.

Если

Онагры, -с М

(или

в

задачах,

где

это

удобнее,

5Г

) ,

то

в

этом

случае

говорят,

что

if

является глав­

ным

значением

аргумента

числа

d .

(См.

также

[13] , гл. 4 §5).

Геометрическое

истолкование

сложения и вычитания

комплексных чисел

Пусть даны два комплексных числа ы

жр>.

Если

считать их век­

торами, то вектор (

оі +/Ь

)

будет

диагональю

параллелограмма,две

стороны которого даны (см.

определение

5 , <jrp.

9 4 ).

Вектор

(

/Ь-а

)

будет

второй'диагональю того

же

параллело­

грамма. Модулъ

(

fr-d.

)

является расстоянием

между d

и уб.

Заметим, что

і/ Ь - ы - і > і/ ы - і о і і ,

Ic iff b U l U I + l ß l ,

/

T.e,

неравенства треугольника выполняются в комплексной

плос­

кости.

Другими словами (здесь выгодно использовать тригонометри -

чѳскую форму комплексного числа),

если о/

~г(со! у + is in у),

ß - JO (COS tft t ij€n Ф) ,

Т О

oi-ß --

tß(COSLf-f І Jin cf)(COS</) t ijtn cp)-

- z p

[ c o s e I f + (ft) +

£ Л « (<f+ Ф ) ]

ИЛИ

I d ß ! = hU-ljil ,

atryI (<*■£)= atCjo i +

a t e

(сы.

определение

6 , стр.

94

и

теорему сложения для тригономет­

рических функций

[29/

) .

Следствие

I . Вектор произведенияо£у6‘получается

п о в о ­

р о т о м

вектора а: на угол

<p=at<ßjз

и

растяжением в /уЗ/

раз.

Следствие

2 . Если ■ Ißl - J ,

то умножение

сводится

только

к повороту.

Следствие

Э. Если

ага л =о

и

ß o o ,

то умножение сво­

дится к растяжению.

Следствие

4.

Умножение

на і

-

это

поворот

на

■умножение

на (-1 )

-

это

поворот

на “К .

ТЕОЕЕМА 8 .

h t - J b - f - . - . - M *

W -Ißl-Ij!

■/Л/

и

Следствие I (формула Моавра).

Если ы.=/3= /=

••• =Л (дано

равенство я чисел, n e N л

то

/оСп/~/ы. / ’1 и

аг^ьсп)-па^ ы ..

Другая запись формулы Моавра:

Следст в и е,!.

[ É

j =

£L

и

а у ( £ )

= а у р - а у ы ..

Это следует из того,

что

/3 - ^

• <*:

(по определению 9 , следствие

я //» /* / І / • М .

)

* auj * .

(из теоремы 7 ) .

Применения формулы Моавра.

I .

Корень я

-

ой степени из числа ос.

Определение

13. Если а= г (cosy* сsin у) ,

гіеИ ,

то (foC =од) Ф=$

(<е)п

=ы)

(

•ң дьвь

я - ой степени

из рі ),

где /се)І= f t

;

аг^ а) -

>' і е і .

Следствие I . Если

Ке {о,

п-і }

,

то ш

получим тъ различных значений корня п.

-

ой степени

из и-.

а)в ; <а, ; л)я і-соз І

.

Следствие 2 . Все

а),

с і е

(о, і,&

.,

п - і)

лежат

на

окружности радиуса рг

с центром в точке (

0; 0)

и являются

вершинами правильного

п -

угольника.

2 . Вывод некоторых формул тригонометрии.

Задача. Выразить

cos 5 у

и

Stn5if

через cost/

и Лп if.

Решение. Имеем

Обратная

задача’.

Выразить

cosJtf,

л п if

через cosöf,

л п

3 if, (os £ f

, Jin 8, i f ,

cos iff

л п

f , используя

комплексные

числа.

Решение

I .

Пусть

л= cos if t ijin i f .

Тогда

1

; C O Slf =

Z +Z'!

..

Z - £ ' J

Z

= COSI f - i J i n t f

a

;

Jin if

-■

Z i

sr-r^ «Г"Л Xa

<T~3

Q--J

Z +3Z ■Z + S Z Z + Z

Z +Z '3+3 CZ+&-')

s

g

_Scos3if і З -Bcosif

_

CQS3f+3cosif

/

4