книги из ГПНТБ / Количественные методы в мелиорации засоленных почв

линий тока, поэтому гидравлическая теория, которая требу­ ет независимости гидродинамического напора от вертикаль­ ной координаты, в указанных зонах неприменима (Полуба- ринова-Кочина, 1969).

Для мелиоративного прогнозирования водно-солевого режима почв на орошаемых землях наибольший интерес представляет исследование зоны II (основная зона течения), протяженность которой значительно больше зон I и III. В дальнейшем процессы влаго- и солепереноса рассматрива­ ются для зоны II.

В случае многослойного грунта, состоящего из п гори­ зонтальных водопроницаемых пластов, отличающихся один от другого коэффициентами фильтрации, для неустановившегося движения потока грунтовых вод справедливо сле­ дующее дифференциальное уравнение:

При выводе уравнения (1.3.1) предполагается, что линия свободной поверхности потока грунтовых вод не пересекает границу раздела пластов, а, изменяясь, полностью остается в одном из них. Здесь:

Я

О

Обозначая через kt коэффициент фильтрации i-ro пласта, где i= 1, 2, . . . , п, тогда для многослойного грунта функцию Н. К. Гиринского можно заменить следующим образом:

hi h2 Я

21

величина i принимает значения 1 и 2, отсюда, используя равенство (1.3.5), найдем вид функции Н. К. Гиринекого:

Уравнение (1.3.1) может быть рассмотрено для функции Н(х, Z). Для этого продифференцируем выражение (1.3.4) по t, получим

я

—}{щ I* k(h)dh, используя выражения (1.3.2), (1.3.3), (1.3.6)

0

и полученную выше зависимость (1.3.7), приведем это урав­ нение к виду

При выводе уравнения (1.3.8) предполагалось, что линия свободной поверхности потока грунтовых вод находится в верхнем слое грунта, коэффициент активной пористости ко­ торого т 2.

При движении грунтовых вод в условиях двухслойного грунта при наличии уклона поверхности водоупора, спра­ ведливо следующее уравнение свободной поверхности:

начальные и граничные условия: Н| t=o =Н(х, 0),

22

(1.3.10)

(1.3.11)

Zo — угол наклона поверхности водоупора. Скорость испаре­ ния определяется из эмпирической формулы С. Ф. Аверь­ янова (1965).

При свободной фильтрации воды в грунтах происходит движение вод гравитационной и капиллярной. Под действи­ ем молекулярных сил вода поднимается над свободной по­ верхностью потока грунтовых вод по капиллярам, образуя капиллярную кайму высотой (мощностью) h к. Принимается динамическое равновесие капиллярной влаги, т. е. скорость движения воды по капиллярам q(x, t) равна скорости испа­ рения, и мощность капиллярной зоны h k является постоян­ ной, не изменяющейся со временем. В верхней части капил­ лярной каймы, толщиной б, происходит активная потеря «чистой» влаги вследствие транспирации и физического испарения.

Покажем, что определенному полю скоростей фильтра­ ции воды в грунте соответствует определенное распределе­ ние концентрации солей.

б. П роцесс м играции солей .

Рассмотрим баланс солей за промежуток времени d t в почвенном растворе в слое (Н(х, t ) < i h < h k, х > 0) на отрезке dx, в котором происходят процессы кристаллизации и раст­ ворения. Принимаем, что с поверхности h = h k испаряется некоторое количество воды со скоростью или интенсивно­ стью испарения q. В случае изменения направления скоро­ сти q, например, при поливе, знак перед ней изменится на противоположный. В результате испарения на этой поверх­ ности происходит постоянное накопление солей. Это, в свою очередь, приводит к нарушению условия равновесия солево­ го состава и появлению в жидкости диффузионного потока вещества. Для вывода уравнения миграции солей в почвен­ ном слое выделим внутри слоя произвольный объем V, огра­ ниченный поверхностью S. Тогда для диффузионного потока вещества ; дифф (т. е. числа частиц, проходящих за 1 с е к че­

рез единицу воображаемой площади) можно записать равен­ ство:

Если концентрация раствора и ее изменения малы, значе­ ние D можно считать постоянным, не зависящим от кон­ центрации. Знак минус в правой части равенства (1.3.12) указывает на то, что диффузионный поток направлен в

23

противоположную сторону от направления градиента кон­ центрации раствора.

Полагаем, что количество воды, расходуемой на испаре­ ние, пополняется равным количеством за 'счет грунтовых вод, т. е. скорость испарения q равна скорости движения воды в порах грунта. Тогда наряду с диффузионным потоком J диффчерез единицу воображаемой площади за 1 с е к пере­

носится поток вещества:

Полный поток вещества, с учетом направления координаты h, слагающийся из конвективного и диффузионного пото­ ков, запишется как

Рассмотрим изменение концентрации в объеме V за произ­ вольный промежуток времени (£ь £2), очевидно, что через поверхность за этот промежуток времени, согласно формуле (1.3.14), проходит количество соли Q, равное:

Преобразуя интегралы по теореме Гаусса — Остроградского, получим.

Приравнивал изменение числа частиц в объеме числу ча­ стиц, проходящих через него, и перенося все члены в левую часть равенства, имеем .

hV

Вэтом уравнении первое слагаемое соответствует измене­ нию количества вещества в твердой фазе, второе — измене­ нию количества вещества в подвижной фазе. Так как объем выбираем произвольно, то можно записать следующее ра­ венство :

24

где div(gv)=ggrad'Y+7divg.

Будем иметь замкнутую систему уравнений, если извест­

но значение производной Принимая во внимание кине­

тику растворения твердой фазы по Н. Н. Веригину (1965),

где Pi — коэффициент кристаллизации. Нетрудно показать, что при диффузии вещества через среду, в которой происхо­ дят процессы сорбции, если считать также, что задача од­ номерна для диффузии, а скорость q не зависит от коорди­ наты Л, изменение концентрации вещества во времени описывается уравнением

где р* — эффективная константа скорости диффузии солей на границе раздела фаз; у' — концентрация; у' связана функционально с N* изотермой сорбции.

Константа скорости растворения по совокупности учи­ тывает (внешнюю и внутренний) диффузию. Совместный учет процессов сорбции, кристаллизации (или растворения) при­ водит к решению систем уравнений (1.3.20), (1.3.21), (1.3.22)

или (1.3.19), (1.3.21), (1.3.22).

25

Начальные и граничные условия.

1. В случае восходящих токов влаги (испарения

—q(pc, t) область изменения у будет находится в пределах

Щх, t ) < h < h k при t —0,

На устьях капилляров, т. е. при h = h k, могут происходить процессы кристаллизации (как показано в § 1) и аккумуля­ ции солей; часть солей будет диффундировать вниз за счет градиента концентраций, а часть солей постоянно поступает на границу за счет вертикального конвективного переноса. На основе материального баланса на границе капиллярной каймы имеют место следующие условия:

2. В случае поливов (нисходящих токов) область изме нения находится в пределах от дневной поверхности L(x) до уровня грунтовых вод Н(х, J); {Н{х, t)<h<CL(x)).

Начальное условие остается прежнее (1.3.23), а условие на верхней границе (дневной поверхности) при h=L{x) будет

На нижней границе условия (1.3.24) и (1.3.25) остаются в силе. Кроме того, в зависимости от преобладания инфильт­ рации или испарения в уравнении (1.3.26) меняется каче­ ство коэффициента Р; при инфильтрации р при ( у н — у)> 0 означает коэффициент растворения, при испарении, когда (fн —у)< 0, P=Pi и означает коэффициент кристаллизации.

В потоке грунтовых вод миграция солей в различных по проницаемости слоях (области 2 и 3; рис. 1) также описы­ вается уравнением конвективной диффузии. Его вывод здесь не приводится. Уравнение записывается в виде

26

Уравнение (1.3.28) отличается от уравнения движения солей

впочве (1.3.26) лишь тем, что здесь учитывается диффузия

вгоризонтальном направлении, т. е. появляется дополни­

тельный член • Скорость фильтрации v t определяется

по Дарси:

Начальные и граничные условия:

На верхней границе менее проницаемого слоя при h —Щх, t) имеют место условия (1.3.24) и (1.3.25), на нижней границе при h=Mi(x):

На верхней границе более проницаемого слоя (область 3) при h=Mi(x) имеет место условие (1.3.30) и (1.3.31), на ниж­ ней границе (на водоупоре) при h = M0{x) :

Кроме того, принято условие, что концентрация грунтовых вод на входе в массив является известной функцией:

При х=1 считается, что резкого изменения концентрации не происходит:

Условия (1.3.31) и (1.3.32) получены в предположении того, что линии М0{х), Mi(x), Щх, t) слабоизменяющиеся и, следовательно, углы между нормалями к этим линиям и осью h достаточно малы, вследствие чего равенство потоков может быть заменено условиями (1.3.25) и (1.3.31), а непро­ ницаемость водоупора — условием (1.3.32).

Таким образом, математическая модель миграции вла­ ги и солей в системе «почва — грунтовая вода» для условий двухслойной среды представляет собой систему четырех

27

дифференциальных уравнений с начальными и (граничны­ ми условиями.

§ 4. Решение дифференциальных уравнений солепереноса

Для анализа влияний отдельных факторов на процесс засоления почв построено несколько упрощенных матема­ тических моделей, имеющих сравнительно несложные ана­ литические решения, которые позволяют, однако, наглядно выявить взаимосвязь наиболее важных параметров систе­ мы. Одним из основных упрощений в этих моделях являет­ ся отказ от изучения фактической гидродинамики потока грунтовых вод. При этом свободная поверхность потока предполагается плоской и параллельной дневной поверх­ ности или поверхности водоупора, а скорость фильтрации и испарения считается заранее известной. Такой подход не­ сколько метафизичен, так как при этом не рассматривается истинная причина движения потока, но вполне оправдан ввиду того, что устраняет значительные математические трудности, возникающие при решении задач с криволиней­ ными границами. Второе упрощение заключается в том, что рассматриваются в основном модели для стационарных, т. е. неизменяющихся во времени процессов, когда силы, вызывающие перераспределение солей в почвогрунтах, урав­ новешиваются. Другие особенности упрощенных моделей будут указаны в дальнейшем при их непосредственном рас­ смотрении.

Установившийся (стационарный) процесс солепереноса в системе «почва — грунтовая вода»

Подсчет (баланса солей в элементарных объемах почвы и грунтовых вод приводит к следующей системе дифферен­ циальных уравнений.

I. Движение солей в почве (в капиллярной кайме):

(1.4.1)

с граничными условиями на верхней границе капиллярной каймы :

(1.4.2)

II. Движение солей в потоке грунтовых вод без учета горизонтальной диффузии. Пренебрежение горизонтальной

28

диффузией ори наличии конвективного переноса, согласно В. А. Баум (1953), не вносит существенных искажений в модель распределения солей:

с граничным условием (1.4.4). Уравнение (1.4.6), приближен­ но описывающее процессы в случаях неглубокого водоупора (порядка 10 м), получено при предположении, что коэффи­ циент поперечной диффузии в потоке грунтовых вод очень велик, и это позволяет пренебрегать фактическим отклоне­ нием от равномерного распределения концентрации в попе­

речном сечении потока.

Для однозначного решения системы уравнений (1.4Л.)— (1.4.3) необходимо добавить еще условия согласования на поверхности h = 0, т. е. на уровне зеркала грунтовых вод:

В случае уравнения (1.4.6) условия (1.4.5) и (1.4.8) учитыва­ ются автоматически при выводе самого уравнения. Полу­ чающееся при этом довольно простое решение имеет вид

d - 4-9»

T( , , ^ ^ W { gWV W1-). (1.4.10)

Из уравнения (1.4.10) можно сделать вывод о том, что на процесс засоления почв главное влияние оказывает ско­ рость испарения, так как эта величина входит в показатель степени экспоненты. Кроме того, при малых уклонах пото­

29

К ж о)

Щх) < 1,1

Поэтому с ошибкой порядка 10% при мощности потока грунтовых вод более 30 м его можно считать бесконечным (Mq= oo). При этом допущении решение уравнения (1.4.1) с условиями (1.4.2) и (1.4.7) имеет вид (hZ^0):

а решение уравнения (1.4.3) с услозиями (1.4.4), (1.4.5) и (1.4.8) выражается формулой

Очевидно, что функция С(0, х), описывающая распределение концентрации солей на поверхности потока грунтовых вод, может быть определена из (1.4.12) как решение интеграль­ ного уравнения:

решение этого интегрального уравнения затруднительно. Уменьшение испарения по потоку грунтовых вод при уве­ личении его глубины от дневной поверхности можно ап­ проксимировать в виде следующей зависимости:

(при х = 0); р — параметр, характеризующий скорость убы­

30