книги из ГПНТБ / Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез-1

вительно за тот же промежуток времени, что и первой. Следова­ тельно, декремент колебаний по второй форме должен быть мень­ ше, чем по первой.

Ввиду большого разброса результатов экспериментальных ис­ следований не представляется возможным сделать окончательное заключение о характере затухания высших форм колебаний в си­ стемах со многими степенями свободы. Наиболее, обоснованными можно считать следующие выводы:

1. При испытании различных сооружений ударными и вибра­ ционными нагрузками можно выявить колебания не только по первой, но и по высшим формам. В некоторых случаях вибра­ ционным методом удавалось вызвать колебания по каждой из че­ тырех первых форм [122]. Замеренные в натуре частоты первой и высших форм колебаний находятся в удовлетворительном соот­ ветствии с частотами, вычисленными по одномерной схеме систе­ мы со многими степенями свободы.

2. Декременты высших форм колебаний в некоторых экспери­ ментах не зависят от частоты и имеют постоянную величину для первой и высших форм. В других экспериментах установлена за­ висимость декремента от частоты, причем с увеличением порядка гармоники декременты могут как возрастать, так и уменьшаться. Разброс результатов измерения степени затухания при высших формах колебаний может зависеть от ошибок измерения и от раз­ личия в методах проведения эксперимента и обработки записей. Для построения математических моделей сооружений со многими степенями свободы необходимо принять определенный закон за­ висимости декремента от номера гармоники. Наиболее согласо­ ванным с известными результатами экспериментов будет вывод о постоянной величине декремента для всех форм колебаний сис­ темы со многими степенями свободы. Эта предпосылка соответст­ вует результатам, к которым приводит гистерезисная теория за­ тухания, получившая в настоящее время широкое признание.

3.Сравнение измеренных в натуре и определенных аналитиче­ ски частот колебаний различных сооружений по первой и высшим формам свидетельствует о том, что затухание, даже при достаточ­ но большом значении декремента, не оказывает существенного влияния на частоту.

4.Величина декремента колебаний зависит от материала и

конструкций сооружения. По этому вопросу имеются результаты многочисленных измерений, относящихся главным образом к пер­ вой форме колебаний и удовлетворительно согласующихся между собой.

В среднем для зданий с несущими стенами и диафрагмами декремент колебаний равен 0,34-0,4; для каркасных зданий — 0,154-0,20; для гибких сооружений в зависимости от материала — 0,14-0,15.

Математические модели дискретных схем со многими степеня­ ми свободы следует составлять на основе системы обыкновенных

50

дифференциальных уравнений, решения которых соответствуют сформулированным выше основным положениям. Кроме того, должны быть приняты во внимание следующие соображения.

Большинство вопросов теории сейсмостойкости в настоящее время решается методами линейной теории колебаний, на основе которой можно получить результаты, удобные для практических приложений и удовлетворительно согласующиеся с характерными особенностями сейсмических воздействий. Некоторые исследова­ ния, например работа Хадсона (D. Е. Hudson [139]), специально посвященные оценке точности линейной теории, приводят к зак­ лючению, что в случае соответствующего подбора параметров ли-, нейных уравнений можно определить поведение системы ■при сейсмических воздействиях с достаточной точностью. Изучение влияния нелинейных факторов имеет существенное значение для дальнейшего совершенствования теории, но и возможности линей­ ной теории еще не полностью исчерпаны. В данной работе вопро­ сы рассматриваются в линейной постановке, причем при построе­ нии математических моделей ставится требование, чтобы для ре­ шения задач можно было использовать детально разработанный аппарат теории линейных систем, широко применяемый в радио­ технике и теории автоматического регулирования. Наконец, урав­ нения, описывающие различные механические системы, должйы допускать как численные методы решения, так и применение элек­ тронно-аналоговых установок.

Для того чтобы удовлетворить всем поставленным условиям, система дифференциальных уравнений, описывающих колебания сооружения со многими степенями свободы, во-первых, должна быть линейной, устойчивой, иметь действительные коэффициенты,

всоответствии с чем частотные характеристики должны быть функциями аргумента іа с действительными коэффициентами. Вовторых, решение должно получаться в виде рядов по формам ко­ лебаний той же механической системы без затухания. Декременты колебаний по всем формам должны иметь одну и ту же величину.

Аналогичные условия можно сформулировать и для уравнений

вчастных производных, описывающих затухающие колебания систем с распределенными параметрами.

Совокупность указанных условий равносильна постановке об­ ратной задачи: по известным свойствам решений составить систе­ му дифференциальных уравнений колебаний дискретных систем или уравнение в частных производных для системы с распреде­ ленными параметрами.

Ниже приведено решение этой задачи с помощью специальных операторов, устанавливающих зависимость рассеяния энергии от динамических свойств системы и граничных условий. При этом оказалось возможным условие постоянства . декремента колебаний

.заменить более общим условием изменения декремента с частотой по заданному закону.

51

§ 2. Уравнения колебаний дискретной системы с коэф ф ициентами затухания, пропорциональны м и м атрицам распределения масс и ж есткости

Уравнение затухающих колебаний дискретных систем со мно­ гими степенями свободы и затуханием, пропорциональным скоро­ сти перемещения сосредоточенных масс, в матричной записи име­ ет вид-

М ' х + С х + К х = 0. (ИЛ)

Прописные буквы обозначают квадратные матрицы n-го порядка: М — диагональная матрица масс; К — матрица жесткости; С— матрица рассеяния энергии. Черта над строчными буквами обо­ значает п-мерный вектор. Из курса теоретической механики [69, 114 и др.] известно, что можно представить решение уравнения (II. 1) в виде ряда по формам колебаний соответствующей системы

при условии, что матрица затухания С пропорциональна матрице

г52

где W2— диагональная матрица квадратов собственных значений

форм колебаний, приближаются к частотам незатухающих коле­ баний а>г, а декременты ог обратно пропорциональны частоте.

Эти результаты противоречат действительности, так как много­ численными экспериментами, в том числе и приведенными в § 1 настоящей главы, установлено, что высшие формы колебаний зату­ хают раньше основного тона. Если бы соотношение (П.9) было справедливо, амплитуды всех форм колебаний с течением време­ ни уменьшались бы в одинаковом отношении. Из этого, однако, не следует, что предпосылка о пропорциональности сил сопротив­

ления скорости перемещения х, выражаемая уравнением (П.З), противоречит фактам. Как будет показано далее, противоречащим

53

истине следует считать предположение о том, что матрица зату­ хания С пропорциональна матрице распределения масс в соору­ жении.

При решении практических задач уравнение (П.З) будет при­ водить к преувеличению влияния высших форм колебаний и, сле­ довательно, к повышению общего запаса прочности, что обычно нельзя считать большим недостатком. Поэтому при расчетах на сейсмические воздействия учет затухания в виде (П.З) или (II.8 ) вполне допустим при условии, что величина коэффициента зату­ хания с для первой формы колебаний согласуется с величиной декремента бь определенного экспериментально. Для этого коэф­ фициент с следует определять по формуле (II.9). В литературе гипотеза Фохта используется почти исключительно с матрицей рассеяния, пропорциональной матрице распределения масс [45].

Рассмотрим колебания с матрицей рассеяния энергии в виде

С= сК.

Система уравнений запишется как

М х + сКх + Кх = О

или

Применяя преобразование подобия с матрицей собственных век­

торов R матрицы Ж " 1К и учитывая (II.5), приходим к уравне­ ниям в главных координатах:

Дер + cW 2©+ R72© = 0.

Решение для і-й координаты будет

При данном законе затухания частоты высших форм колебаний стремятся к нулю, декремент колебаний неограниченно возраста­ ет. При сог>-2/С периодическое движение становится невозможным.

Эти результаты не согласуются с приведенными выше данными натурных испытаний сооружений и могут вызвать логические про­ тиворечия. Например, частота t-й формы колебаний, определен­ ная по формуле (11.12), может оказаться меньше частоты преды­ дущей гармоники с номером і—1.

54

При исследовании колебаний дискретных систем с затуханием, пропорциональным скорости перемещения сосредоточенных масс, обычно матрицу рассеяния принимают пропорциональной матри­ це распределения масс, что не создает логических противоречий. Наоборот, при составлении уравнений колебаний непрерывных систем часто принимается затухание, пропорциональное жестко­ сти, что приводит к решениям, сходным с формулами (П-12) и (11.13). Этот вопрос рассмотрен и в § 6 настоящей' главы.

Решения системы уравнений, рассмотренных выше, не удовлет­ воряют поставленному требованию о независимости декремента колебаний от частоты. Рассмотрим методы построения матриц рас­ сеяния более сложного вида, приводящих к иным зависимостям декремента от частоты колебаний.

Наиболее ограничивающим является условие разрешимости за­ дачи в главных координатах. Напомним, что это требование вызы­ вается не только стремлением получить более простое решение, но и необходимостью согласовать решения с результатами натурных испытаний, которые свидетельствуют о реальном существовании высших форм колебаний.

В дальнейшем будем исходить из уравнения (II.1), записан­ ного в виде

Матрица М~1К приводится к диагональному виду преобразова­ нием подобия с матрицей собственных векторов R, причем элемен­ тами диагональной матрицы являются квадраты собственных час­ тот незатухающих колебаний, описываемых системой (II.2). Обозначим оператор преобразования подобия с матрицей R че­ рез [R];

[/?] А — R~x AR,

где А — квадратная матрица порядка п. Матрица С должна удовлетворять условию

[Я] Ж “ 1 С = || н и ­

которому удовлетворяют матрицы сМ и сК, рассмотренные выше. Так как оператор [R] является линейным относительно скалярных множителей, линейные комбинации матриц М и К также будут матрицами, приводимыми преобразованием [R] к диагональному виду. Общий вид таких матриц —

(II ^ ССМ0ТРИМ РезУльтаты использования матриц рассеяния типа

Подставляя (11.15) в уравнение (11.14), получаем

55

Преобразуя координаты с помощью оператора [/?], приходим к уравнению в главных координатах

т1 будет содержать малую ошибку

для первых гармоник, то придем к соотношению

»?■ 1 + -Т

На рис. 28 показан график изменения б/ в зависимости от частоты для высших форм колебаний при трех видах матрицы рас­

66

различных соотношениях коэффициентов С\ и Сг можно аппроксими­ ровать некоторые виды изменения декремента колебаний, но нель­ зя удовлетворить поставленному условию независимости декремен­ та от частоты.

§ 3. Другие типы матриц рассеяния, приводимые преобразованием подобия к диагональному виду

Оператор [Я], кроме линейности относительно скалярных мно­ жителей, обладает еще свойством транзитивности по отношению к. рациональным степеням матриц. Это свойство может быть запи­ сано в следующем виде. Если [ЩА=В, то

Для целых степеней это свойство легко доказывается по ин­ дукции.

Если [/?] Ам = ([Я] А )т= Вт, то

Вт+1 = ([Я] Л)т+1= ([Я] А)т[Я] А = [Я] Лт [Я] А —

= Я-1 Лт ЯЯ=1 ЛЯ = Я _1 Ат+1Я = [Я] Ат+1.

Диалогично проводится доказательство для рациональных:

т

степеней. Пусть С — Ап. Учитывая справедливость теоремы дли целых показателей, получаем

т

[Я] с п = [Я] А т = ([Я] с у = ([Я] Ап У .

Отсюда

[Я]Л» - ([Я] АтУ = {([Я] А)т}« = ([Я] А)п.

Доказанное свойство оператора [Я] дает возможность построитьновые типы матриц рассеяния, допускающих решение системы' уравнений затухающих колебаний в главных координатах. Таки­ ми будут матрицы вида

где п и т — целые числа.

Подставив (11.20) в (11.14), запишем систему уравнений зату­ хающих колебаний

57-

Преобразованием |7?] эта система приводится к уравнениям в тлавных координатах:

меньше частоты незатухающих колебаний; коэффициент уменьше­ ния не зависит от частоты и остается постоянным для всех форм колебаний.

Декремент колебаний

имеет постоянную величину для всех форм колебаний и не зави­ сит от частоты.

Коэффициент затухания

_ Ö

•совпадает с ■коэффициентом рассеяния энергии у, который при­ меняется в гистерезисной теории затухания [112, 113]. В последнее время это обозначение вошло во всеобщее употребление, поэтому в дальнейшем при постоянном декременте затухания коэффициент затухания с будем обозначать через у. Полученные соотношения свидетельствуют о том, что уравнения с матрицей рассеяния

■приводят к решениям, которые аналогичны уравнениям гистере­ зисной теории, но система (11.21) имеет действительные коэффи­ циенты. Ниже показано, что решения уравнений (11.21) и уравне­ ний гистерезисной теории не вполне идентичны, но разница не существенна.

.58

Натурные исследования колебания зданий и сооружений [1, 5, 1,12, 119, 122, 139, 140] показывают, что величина коэффициента у в большинстве случаев не превосходит 0,2. При этом коэффициент уменьшения частоты затухающих колебаний

при котором периодическое движение становится невозможным,

удовлетворяет всем требованиям, сформулированным в § 1 настоя­ щей главы, за исключением свойства устойчивости системы, кото­ рое этими формулами непосредственно не обусловливается. Для доказательства устойчивости можно сослаться на то, что системы уравнений (11.21) или (11.28) в этом смысле не отличаются от часто используемых уравнений колебаний механических систем с вязким трение;'', по гипотезе Фохта, устойчивость которых извест­ на. Независимо ~»т этого факта можно привести доказательство устойчивости на основании формулы (П.23). Передаточная функ­ ция для і-й главной координаты

имеет полюсы в левой полуплоскости, следовательно, система (II.22) устойчива. Отсюда следует устойчивость системы (11.28), которая получается из (П.22) линейным преобразованием коор­ динат.

При других значениях отношения — , отличных от — = у , решение системы (11.21) будет приводить к различным зависи­

ний будет убывающей, а при— > -^---- возрастающей функцией

частоты высших форм колебаний. Принципиально это дает воз­

различные заданные (монотонные) зависимости декремента высших форм колебаний от частоты. Выше было показано, что натурные на­

59