книги из ГПНТБ / Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез-1

Максимумы амплитудных спектров реакции незатухающего ос­ циллятора в установившемся режиме (см. табл. 2 ), как известно, равны амплитудным спектрам на входе. Понятие «реакция» отно­ сится к ускорению на выходе осциллятора. Амплитудный спектр ускорения равен

торый можно сделать из рассмотрения диаграммы рис. 20, заклю­ чается в том, что для землетрясений с одинаковыми дисперсиями D0—oo2 максимумы амплитудных спектров реакции уменьшаются с увеличением.периода.

Выше мы установили, что среднеквадратичное значение уско­ рения является существенной характеристикой землетрясения, ко­ торая хорошо коррелирует с оценками интенсивности в баллах. На основании приведенных данных о спектральных максимумах можно сформулировать следующее положение: при одной и той же интенсивности землетрясения максимум спектра реакции по абсолютной величине тем больше, чем выше соответствующая ему частота. Иными словами, при одинаковой интенсивности землетря­ сений динамические коэффициенты длиннопериодных землетрясе­ ний меньше, чем высокочастотных.

Заметим, что амплитудный спектр реакции есть спектр реак­ ции в установившемся режиме, следовательно, на диаграмме рис. 20 не учтен переходный процесс. Эю относится и к ее объемлю­

30

щей, построенной на том же рисунке. При построении спектров максимальных сейсмических воздействий учитывается переходная стадия процесса. Максимальные значения реакций больше их зна­ чений в установившемся режиме, причем разница возрастает с

превышает установившиеся амплитуды ускорения приблизительно на 30% [6]. С уменьшением частоты разница уменьшается и для Г—1,5 сек. приближается к нулю. Это обстоятельство подтверждает вывод, сделанный для спектров максимальных сейсмических воз­ действий. Оценка влияния переходного режима сделана ниже, при построении спектров с учетом затухания.

Количественную оценку зависимости максимума спектра от соответствующей частоты в графической или аналитической форме можно получить путем построения кривой, объемлющей наивыс­ шие точки диаграммы 20. Для получения аналитического реше­ ния этой задачи обратимся к формулам (1.5) и (1.8), в которых автокорреляционная функция и спектральная плотность акселеро­

граммы определяются параметрами а и р.

где в соответствии с выражением (1.13) значения дисперсии D0 принимаются для t n = 11 сек.

Найдем производную спектральной плотности по частоте, для чего вместо (1.25) напишем (опуская в дальнейшем верхний левый индекс к)

31

В рассмотренной'выборке акселерограмм отношение a:ß меняет­ ся в пределах

0,15 < - |г - <0,72 .

Чтобы охватить н другие возможные случаи, рассмотрим более широкий диапазон:

0 < - “- < 0 ,8 .

Подставив крайние пределы в формулу (1.30), найдем 0 ,9 6 < £ < 1.

Следовательно, приближенное значение действительного поло­ жительного корня уравнения (1.28) будет

ш= 0,98 ß (1.31)

с ошибкой в ту или другую сторону не более 2%. Это означает, что максимум спектральной плотности приближенно совпадает с па­ раметром корреляционной функции ß.

Подставляя формулу (1.31) в выражение спектральной плотно­ сти (1.25), находим:

Установим соответствие между амплитудным спектром и спект­ ральной плотностью. На основании (1.16) имеем оценку

Следовательно, приближенное значение приведенного ампли­ тудного спектра можно получить, зная спектральную плотность и продолжительность процесса. Степень сходимости оценки (1.33) остается неопределенной, однако далее, сравнивая теоретические результаты с эмпирическими данными, мы увидим, что она доста­

32

Формулы (1.34) и (1.32) приводят к следующему приближен­ ному значению максимума нормированного амплитудного спектра реакции:

В формуле (1.36) можно положить WÄ0,98ß на основании

(1.31).

Для вычисления объемлющей спектральных максимумов по формуле (1.36) необходимо установить зависимость между пара­ метрами а и ß. На рис. 21 эта зависимость изображена по данным

Рис. 20. Максимумы приведенных спектров реакции и объемлющая по полуэм­ пирической формуле.

табл. 1. Ввиду большого разброса значений а задача построения аналитического выражения, аппроксимирующего эту зависимость, привела бы к довольно громоздким формулам. Однако задачу можно значительно упростить, основываясь на следующих сооб­ ражениях.

Из формулы (1.36) можно видеть, что І^ .| является убыва­ ющей функцией а. В этом нетрудно убедиться, найдя производную

d 1^Л' 1 Следовательно, чтобы по формуле (1.36) найти объемлю-

да

щую спектральных максимумов, следует учитывать при соответ­

ствующих ß только наименьшие значения а. Этому условию удовлетворяет прямая, показанная на графике. Ее уравнение

По поводу диаграммы на рис. 21 заметим, что землетрясения,, по-видимому, бывают двух типов: один соответствует малым зна­

чениям а, другой характеризуется отношением ос:ß, близким к 0,5.

Последнему типу землетрясений соответствует зависимость a(ß), показанная на графике пунктиром. Представляет несомненный интерес исследование этой зависимости и связи ее с макросейсмическим эффектом землетрясений.

Рнс. 21. Диаграмма зависимости a(ß).

рограмм семи- и восьмибалльных землетрясений одинаковы. Сле­ довательно, интенсивность землетрясений можно учитывать коли­ чественным коэффициентом. Это относится только к характерис­ тикам движения основания, а не к макросейсмическому эффекту, где изменение интенсивности всегда связано с качественными пере­ ходами.

На рис. 21 только одна точка из 26 оказалась ниже прямой (1.37), следовательно, можно считать, что эта прямая соответст­ вует минимальным значениям а.

Подставляя (1.37) в (1.36) и меняя обозначения ß на ш, по­ лучаем уравнение объемлющей спектральных максимумов ре­ акции

34

Построенная по этому уравнению кривая на рис. 20 находится в удовлетворительном согласии с эмпирическими точками. Кривая,

мумов за пределами эмпирических точек, необходимо рассмотреть предельные значения спектров при ш оэ и со 0. Для этой цели приближенные формулы не могут быть использованы, поэто­

S,(/«о, І)- - 4-[ ®о(0 е~ш-®0(°) 1+-ті Ч ^е~Ы'dx-

о

Разобьем промежуток интегрирования (0, t) на достаточно большое число п равных отрезков и будем аппроксимировать функцию w0 (t) ломаной линией по уравнению

Участок обработки акселерограммы обычно выбирается такими

35

Поскольку ордината Wo(t) в конце интервала обработки аксе­ лерограммы ничем не обусловлена (кроме того, что эта величина должна быть малой по сравнению с амплитудами w0(t) в наибо­ лее существенной фазе процесса), предельное значение спектра реакции в установившемся режиме является случайной величиной, которая для отдельных реакции может обращаться в нуль.

Иначе обстоит дело со спектром переходного режима (спек­ тром максимальных сейсмических воздействий). Из (1.43) следует:

.или для нормированных величин k

Математическое ожидание этой величины (найденное в предполо- •жении ее равномерного распределения) принято за начальную ор­ динату объемлющей кривой на рис. 20. При Г < 0,22 сек. кривая построена приблизительно и проходит через эмпирическую точку при 7 = 0,13 сек. При этом использовано очевидное равенство

Объемлющая кривая на рис. 20, соответствующая формуле (1.38), связана с выборкой акселеро£рамм, представленной в

табл. 1, только законом изменения a(ß). Очевидно, увеличение объема выборки не приведет к существенному изменению этой за­ висимости: малые значения а характеризуют почти регулярные процессы с большим временем корреляции, что не соответствует землетрясениям так называемой средней продолжительности. По­ следние являются предметом изучения инженерной сейсмологии, см. (145). В остальном рассматриваемая кривая построена в пред­

36

положении экспоненциально-косинусного вида автокорреляционной функции сейсмического ускорения. Эта функция, как было показано в § 2, не отражает всех свойств сейсмического ускорения, но в ка­ честве некоторой абстрактной схемы применяется для весьма широ­ кого класса случайных процессов. Поэтому закон убывания макси­

смических спектров от динамических свойств грунта. По его дан­ ным объемлющая максимальных ординат спектров ускорений для землетрясений, приведенных к одинаковым магнитуде и эпицент­ ральному расстоянию, представляет собой кривую, убывающую по мере возрастания периода. Таким образом, работы К- Канан качественно подтверждают полученные нами выводы. Более де­ тального сравнения сделать нельзя, так как условия нормирования кривых совершенно различны, и графики К. Канаи построеньи в более узком диапазоне 0,2-=-1 сек.

Проведенное исследование дает основания для следующих вы­ водов: сейсмические процессы не стационарны и одной из суще­ ственных причин этого является малая продолжительность процес­ са по сравнению с периодами составляющих его колебаний; спектры сейсмических ускорений суть случайные функции и не могут считаться устойчивыми характеристиками механических свойств процесса; неслучайными характеристиками можно счи­ тать объемлющие спектральных максимумов, построенные по мно­ жеству нормированных реализаций, при условии, что выборка реализаций представительна по частотному составу; объемлющие могут быть построены теоретически, на основе использования пре­ дельных значений параметров корреляционных функций. Эти вы­ воды имеют существенное значение, так как позволяют, по край­ ней мере в принципе, с помощью одной спектральной кривой дать верхнюю оценку воздействия землетрясений различного типа, причем эта кривая не вырождается в горизонтальную линию, про­ веденную на уровне спектрального максимума в высокочастотном диапазоне.

При построении таких кривых необходимо учесть влияние за­ тухания при колебаниях сооружений. На основании данных, при­ веденных в § 1, а также работы [138] на рис. 22 показана зависи­ мость максимальных ускорений системы с одной степенью свобо­ ды от декремента колебаний б. За единицу принято максимальное ускорение системы без затухания. При построении этих кривых принят во внимание коэффициент увеличения ускорения в пере­

37

мальному ускорению на входе, щ0 (^)шахОрдинаты объемлющих спектральных максимумов нор­ мированы по стандарту, следовательно, имеют смысл отношений максимумов реакции к стандарту а0Отсюда масштабной едини­

цей для нормативной кривой будет отношениеw°™ax . Математнче-

’Рис. 23. Объемлющие приведенных спектров реакции.

.ское ожидание этого отношения для данной выборки акселеро­ грамм равно 4,4.

. Сейсмические усилия, определенные по графикам объемлющих,

.будут в несколько раз превосходить нормативные. Математическое

.ожидание отношения между ними равно масштабной единице нор­ мативной кривой, деленной на отношение нормативного расчетно­ го ускорения к стандарту, определяющему балл землетрясения.

38

Как показано в § 1, это отношение равно 1,14. Следовательно, от­ ношение физического ускорения к нормативному будет равно

Нормативная кривая построена для систем с декрементом ко­ лебаний 6 = 0,3, поэтому ее следует сравнивать с объемлющей для 6=0,3 на рис. 23. В области 7’>0,5 сек. ординаты объемлющей существенно превосходят нормативные, откуда видно, что норма­ тивная кривая не учитывает низкочастотных землетрясений. Это объясняется тем, что сильные низкочастотные землетрясения возни­ кают только в особых, редко встречающихся геологических усло­ виях.

При расчете по спектральным кривым высшие формы и харак­ тер затухания колебаний могут быть учтены только приближенно. Более детальный учет динамических свойств сооружений возмо­ жен при расчете на непосредственное воздействие акселерограмм по методам, изложенным в главе III, где показано, что сходимость результатов физического и нормативного расчета значительно улуч­ шается при исключении случайных факторов.

Спектральные графики на рис. 23 предполагают равную ве­ роятность землетрясений со спектральными максимумами в диа­ пазоне 0,2-f-3 сек. Этот вопрос должен рассматриваться в двух аспектах. Из приведенных данных можно видеть, что распределе­ ние а по частотам не должно быть равномерным, однако объем выборки недостаточен для решения этого вопроса.

Другая сторона дела заключается в региональных особенно­ стях землетрясений. Задача сейсморайонирования и микросейсмо­ районирования — выяснить распределение вероятностей земле­ трясений по частотному составу в различных районах. Частотный состав и интенсивности землетрясений в конкретном районе зави­ сят от состава и степени обводненности поверхностных слоев. По этому вопросу проведены глубокие исследования [20, 21, 42, 87, 88, 89, 109, 104, ПО].

На основе рассмотренных данных можно составить региональ­ ные графики спектральных зависимостей, которые обусловят более экономичные расчеты и в то же время будут гарантировать безопас­ ность при землетрясениях различного частотного состава.

Возможность возникновения в одном районе землетрясений различного частотного состава наглядно подтвердилась Ташкент­ ским землетрясением 1966 г. Спектральные максимумы его афтер­ шоков лежат в диапазоне 0,1-^0,3 сек. Такие же преобладающие

нальных графиков динамического коэффициента ß для г. Ташкента.

39