книги из ГПНТБ / Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез-1

лерограмм. Они не полностью определяют интенсивность сейсми­ ческого воздействия, так как не отражают характер изменения стандарта во времени. Изучение переходного процесса показыва­ ет, что стандарт достигает максимума при сравнительно малых значениях t, т. е. за несколько секунд после начала процесса. Гра­ фики зависимости a(t) для трех акселерограмм приведены на рис. 10. Максимальные значения оШах приведены в табл. 1.

ходится в пределах 1,54- 1,2 . Этот тип акселерограмм принимаем за нормальный. Для них характеристика интенсивности равна установившемуся значению стандарта о = а0. Для тех акселеро­ грамм, у которых omajc: cQ> 1,5, в качестве характеристики интен­

сивности принимаем значение

так как сейсмическое воздействие этих акселерограмм будет боль­ ше, чем нормальных, при одинаковом установившемся значении стандарта. Для акселерограмм, у которых °таі: а0< 1 , 2, прини­ маем

так как сейсмическое воздействие этих акселерограмм будет мень­ ше, чем нормальных, при одинаковом установившемся значении стандарта*. Из табл. 1 можно видеть, что 14 акселерограмм отно­ сятся к нормальному типу, 8 — ко второму и 5 — к третьему.

* Данная методика разработана совместно с 3. X. Шировой и Ю. А. Гам­ бургом.

11

Остановимся на сравнении стандарта акселерограмм с оценка­ ми интенсивности землетрясений в баллах. По данным, приведен­ ным в табл. 1, восьмибалльные землетрясения характеризуются значениями среднеквадратичного ускорения, заключенными в про­

= 84,8 см/сек.2)—акселерограмма 8-3 Г-52 (Эль-Центро, май 1940 г.). Землетрясение в Эль-Центро значительно превосходит остальные

Рис. 10. График зависимости <=(/).

по величине максимального ускорения Штах и стандарта о, поэто­ му его правильнее отнести к девятибалльным. Тогда восьмибалль­ ные землетрясения будут характеризоваться величиной средне­ квадратичного ускорения в интервале 32^0^66,7 см/сек2.

Отношение крайних значений ст приблизительно равно двум. В соответствии с этим критерием землетрясение 7—25 следует от­ нести к восьмибалльным. Таким образом, данный критерий интен­ сивности хорошо согласуется с классификацией С. В. Медведева [59]. Исключение составляют только два землетрясения: 8-3 и 7-25.

Расчетное ускорение для восьмибалльного землетрясения, по СНиП ІІ-А 12-69, равно ауо = 0,05 g = 50 см/сек2. Эта величина сравнима со средним значением стандарта аср=45,6 см/сек2. От­ сюда можно сделать вывод, что нормативные расчеты производят­ ся на ускорение, равное 1,10а. Как известно, для других видов случайных нагрузок нормативная величина, дающая надежную гарантию от случайных перегрузок, принимается равной (3-=-4)а.

12

Это, конечно, не дает оснований считать недостаточной надежность нормативных расчетов, так как необходимо принимать во вни­ мание характер изменения нагрузки во времени, действительные динамические характеристики сооружений и др.

Сравнением выявляется необходимость специального изучения этого вопроса и объясняется то обстоятельство, что расчеты со­ оружений на действие акселерограмм дают значения сейсмических усилий, которые в несколько раз превышают нормативные. Если принять, что изменению интенсивности землетрясения на 1 балл соответствует приблизительно двойное изменение физической ве­ личины, измеряющей интенсивность, то для семибалльных земле­ трясений диапазон изменения стандарта составит 1 6 ^ а ^ 3 2 . Этот диапазон также хорошо согласуется с классификацией С. В. Мед­ ведева. В табл. 1 все семибалльные землетрясения попадают в этот диапазон, за исключением 7-25, которое пришлось отнести к вось­ мибалльным, а также 7-1 и 7-17, которые имеют характеристику, существенно меньшую минимальной для 7 баллов. Эти землетря­ сения нужно отнести к шестибалльным.

По величине среднеквадратичного значения ускорения можно построить числовую шкалу, принимая средние стандарты за чис­ ловые характеристики интенсивности. С некоторыми округления­ ми шкала будет иметь следующие основные показатели:

Эта шкала позволяет определять интенсивности землетрясения по данному значению а. Формула для определения интенсивности—•

Измеренная таким способом величина относится к одной со­ ставляющей землетрясения. За характеристику самого землетря­ сения можно принимать среднее значение по двум составляющим. По формуле (1.3) вычислены интенсивности I и средние / ср по двум составляющим (см. табл. 1). Средние оценки мало отлича­ ются от показателей для отдельных составляющих. Это обстоя­ тельство может служить косвенным подтверждением устойчивости среднеквадратичной оценки. По другим показателям, например, по максимальному ускорению или спектральным характеристикам, отдельные составляющие одного и того же землетрясения разли­ чаются между собой в значительно большей степени.

Для оценки эффективности данного метода измерения интен­ сивности землетрясений сравним результаты вычислений по фор­ муле (1.3) с классификацией С. В. Медведева. Так как последняя •сделана по макросейсмическим признакам, ее следует рассматри­

13

вать в количественном смысле как приближенную. С другой сто­ роны, землетрясения, относимые по макросейсмическим призна­ кам к одному баллу, не могут иметь в точности одинаковых коли­ чественных показателей. Примем следующий критерий оценки балльности: если при вычислении по формуле (1.3) получается /ср>8,5, землетрясение относится к девятибалльному; при 7,5< <7Ср=^8,5—к восьмибалльному; при 6,5</ср^ 7 ,5 —к семибалльно­ му. Как видно из табл. 1, два землетрясения следует отнести к де­ вятибалльным (8-3 и 8-8 ), два — к шестибалльным (7-1 и 7-17), одно семибалльное по классификации С. В. Медведева переходит в разряд восьмибалльных. Для остальных 20 акселерограмм оцен­ ка балльности по макросейсмическим признакам и по формуле (1.3) совпадает. Этот результат свидетельствует о хорошей сходи­ мости данного метода измерения интенсивности с макросей­ смическими данными.

Другой способ проверки шкалы сейсмической балльности за­ ключается в сравнении расчета сооружений на воздействие раз­ личных акселерограмм с оценками интенсивности. Некоторые ре­ зультаты такого сравнения (см. гл. Ill) свидетельствуют об удов­ летворительной сходимости.

Чтобы определить воздействие землетрясений на сооружения,, одной характеристики недостаточно. Необходимо учитывать час­ тотный состав или спектр ускорений. В тех случаях, когда выпол-' няется анализ акселерограмм, построение спектральных зависи­ мостей не представляет принципиальных трудностей, но в вопро­ сах прогнозирования получение такой информации практически невозможно. Поэтому необходимо решать вопрос о содержании минимальной информации для прогнозирования сейсмических воз­ действий. Таким минимумом могут являться показатель интенсив­ ности о и характеристика частотного состава, в качестве которой

можно принять частотный параметр корреляционной функции ß или период Т\. Смысл этой характеристики заключается в том, что интенсивность землетрясения будет соответствовать величине стандарта а для тех сооружений, основная частота которых близ­

ка к частотной характеристике ß. Для сооружений, основная ча­

стота которых существенно отличается от величины ß, воздействие землетрясения с частотной характеристикой а может быть ниже расчетного. Некоторые акселерограммы характеризуются двугор­ бой формой спектральной плотности. В этом случае расчетная ин­ тенсивность будет относиться к более широкому диапазону собст­ венных частот сооружений.

Для исследования спектральных и корреляционных свойств акселерограмм требуются аналитические выражения корреляци­ онных функций. Знакопеременные корреляционные функции обыч­ но аппроксимируются с помощью произведений экспонециальных и тригонометрических функций.

Рассмотрим четыре способа построения аппроксимирующихфункций.

14

А. Дважды дифференцируемая функция проходит через три характерные точки эмпирической корреляционной функции [105]: точку пересечения последней с осью координат (0, К (0)); пер­ вую точку пересечения корреляционной функции с осью абсцисс (ті, 0) и точку первого минимума корреляционной функции (тг,

К(тг)). Эти точки отмечены на рис. 1,—9. Уравнение аппроксимирующей функции —

В пересечении с осью координат функция равна К (0). Чтобы она проходила через точку (ті,0), должно удовлетворяться условие

Так как в дальнейшем рассматривается корреляционная функция при т>0, знаки модуля в выражении (1.4') могут быть опущены.

Подставляя координаты третьей точки, получаем второе урав­ нение:

Из уравнения (1.4') следует:

у= - c t g F v

Решая это уравнение совместно с (1.4"), находим параметры аппроксимирующей функции.

Б. Экспоненциально-косинусная функция

также проходит через точки Ко, Ки КгКак и в предыдущем слу­ чае, пересечение с осью координат в точке (0, К (0)) обеспечи­ вается автоматически.

Уравнение

*(0) <ГаТі c o sß V = 0

имеет решение

2т, •

Из второго уравнения

К (0) e_aT’cos §т2 == К (т>)

находим значение а:

15.

На рис. 11 показаны корреляционная функция акселерограммы 8-ЗГ-52 (кривая /), а также аппроксимирующие кривые по спосо­ бу А (кривая II) и по способу Б (кривая III).

В. Дважды дифференцируемая функция проходит через две первые точки и имеет первый минимум, равный первому миниму­ му корреляционной функции /<С(т2).

Рис. 11. Аппроксимирующие функции:

/ —автокорреляционная функция 8-3 Г-52; / / —аппроксима­ ция по способу А; / / / —аппроксимация по способу Б.

Условие пересечения с осью абсцисс в точке ті дает, как при способе А,

Первый мунимум наблюдается при fix = Отсюда

Параметры а и (3 определяются совместным решением (а) и (б). Г. Экспоненциально-косинусная функция проходит через точ­

ки Ко и К\ и имеет первый минимум, равный К (т2). Как и в случае Б,

Р

16

Производная (при т > 0) —

К' (т) = — К (0 ) е~аХ* cos ß “с + ß sin ß X)■

Условие минимума —

вует периоду Г=4ті, следовательно, абсцисса первого нуля кор­ реляционной функции играет роль некоторой частотной характе­ ристики акселерограммы. Как показано далее, этот параметр на­ ходится в некотором соответствии с периодом максимума спектраль­ ной плотности.

Удовлетворительная аппроксимация корреляционной функции достигается на участке т<4ті. Во многих случаях хорошая схо­

научно-т0хш;-:ео: -•? библиотека С С С ;

частотных акселерограмм больше, чем для высокочастотных. Для большинства корреляционных функций интервал аппроксимации недостаточен. При длине обрабатываемого участка акселерограм­ мы 11 сек. результат преобразования (1.2) может рассматривать­ ся как корреляционная функция акселерограммы на участке, дли­

ционных и спектральных свойств акселерограмм нельзя ограничи­ ваться одночленной экспоненциально-косинусной аппроксимацией.

Рис. 13. Аппроксимирующие функции:

/-автокорреляционная функция 8-8 Г-10: //-аппроксимация по способу В; / / / —аппроксимация по способу Г.

Для увеличения длины изучаемого участка корреляционной функции можно применить два способа: взять более сложные вы­ ражения аппроксимирующих функций или рассматривать корре­ ляционную функцию, вычисленную по формуле (1.2 ), как эмпири­ ческую кривую, заданную численно или графически. Первый спо­ соб, дающий возможность находить аналитические выражения для решения различных задач, использован в работах [94, 95]. Второй способ, связанный с применением численных методов, избран в данной работе.

Приведенные в табл. 1 величины т, и 7*і=4ті, как было ука­ зано, являются косвенными частотными характеристиками акселе­ рограмм. Для этих акселерограмм характерный период Г: изме­ няется в пределах 0,22—1,36 сек. Следовательно, частотный состав совокупности акселерограмм, представленных в табл. 1, достаточ­ но разнообразен. Далее показано, что максимум спектральных кривых не точно совпадает с Д и фактические частотные характе­ ристики акселерограмм располагаются в еще более широком диа­ пазоне.

18

Параметры а и ß аппроксимирующих функций акселерограмм также приведены в табл. 1.

§2. Исследование спектральной плотности

Втеории случайных функций спектральная плотность опреде­ ляется как преобразование Фурье корреляционной функции:

оо

В электро- и радиотехнике и в теории связи спектральная плот­ ность обычно имеет размерность средней мощности тока на сопро­ тивлении в 1 ом. В применении к корреляционным функциям ак­ селерограмм размерность спектральной плотности равна размер­ ности среднего квадрата скорости о2/-1 или средней энергии на единицу массы. Условно эту величину иногда называют средней мощностью ускорения.

Для изучения сейсмических процессов спектральная плот­ ность представляет интерес как амплитудно-частотная характе­ ристика и, кроме того, как неслучайная функция частоты, через которую можно выразить вероятностные характеристики процесса на выходе механической системы, в данном случае сооружения, подвергающегося воздействию сейсмических ускорений. Этот воп­

ления спектральной плотности и степень достоверности получае­ мых результатов. Эти вопросы поставлены в связь с задачей построения стандартного спектра динамического коэффициента

изучаемый процесс обладает свойствами стационарности и эрго­ дичности.

Если задано аналитическое выражение корреляционной функ­ ции, то способ вычисления спектральной плотности дается непо­ средственно формулой (1.7). Если аналитическое выражение кор­ реляционной функции отсутствует и функция задается численно или графически, могут быть использованы различные методы чис­ ленного интегрирования.

Ниже приводятся примеры построения спектральной плот­ ности четырьмя различными способами, которые, с незначитель­ ными видоизменениями ввиду особенностей изучаемых явлений,

19