книги из ГПНТБ / Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез-1

применяются в теории случайных процессов и изложены в указан­ ных выше источниках (см. также [33, 51, 53, 108]).

Способ 1. Автокорреляционная функция заменяется аппрокси­ мирующим одночленным экспоненциально-косинусным выражени­ ем (1.5), параметры которого определяются по способу Г, описан­ ному в предыдущем параграфе: функция К(х) проходит через точки (0, А(0)) и (ті, 0 ) и ее первый минимум равен первому минимуму экспериментальной корреляционной функции К(Тг). Спектральная плотность определяется формулой

через 0,3 сек. Основная сложность при данном способе вычисления спектральной плотности заключается в определении длины отрезка, на котором эмпирическую корреляционную функцию можно рас­ сматривать как автокорреляционную функцию исследуемого процес­ са. Наибольший промежуток времени корреляции ограничен длиной интервала обработки акселерограммы и составляет, как уже ука­ зывалось, 1,4 сек. Эта величина является предельной, но нет ни­ каких оснований считать, что она оптимальна в смысле получения наиболее достоверных значений спектральной плотности. На прак­ тике при использовании эмпирических корреляционных функций длина участка определяется опытным путем, так как соотношение между этой величиной и длиной записи реализации процесса за­

20

висит от характера процесса и не может быть одним и тем же для всех реализаций. Ввиду отсутствия опыта подобной обработки акселерограмм рассмотрены три варианта решения этого вопроса.

Рис. 15. Спектральная плотность 8-3 Г-52:

/ —по экспоненциально-косинусной автокорреляционной функции:

/ / —по численным значениям автокорреляционной функции на от­ резке (0,тэ); / / / —то же на отрезке (0.т4); I V —по численным значениям автокорреляционной функции на отрезке (0.т5) и ана­

литическому аппроксимирующему выражению при -> т5; К—пе­ риодограммы. На рис. 16—19 обозначения те же.

Корреляционная функция рассмотрена на отрезке (0, т3), т. е. приняты во внимание две первые полуволны корреляционной функции. Этот отрезок приблизительно равен участку удовлетво-

Рис. 16. Спектральная плотность £-8 Г-10.

рительной аппроксимации корреляционной функции одночленным экспоненциально-косинусным выражением (1.5). Кривые спект­ ральной плотности, построенные этим способом, помечены номе­

21

ром II иа рис. 15—19. Как видим, они мало отличаются от кри­ вых/, что объясняется хорошей сходимостью эмпирической и ап­ проксимирующей функций иа участке (0, т3). Для акселерограмм 7-25 Г-40 (рис. 19) сходимость значительно хуже, поэтому и спек­ тральные плотности, построенные но первым двум способам, су­ щественно различны.

Рис. 17. Спектральная плотность 8-3 Г-38.

Способ 3. Вычисления выполняются для отрезка корреляцион­ ной функции (0, т4) до нуля, ближайшего к 1 сек. Соответствую­ щие кривые на рис. 15—19 обозначены номером III. Для корреля­ ционной функции акселерограммы 7-25 Г-40 (см. рис. 19) точки Тз и Т4 совпадают, поэтому соответствующая кривая обозначена

xS(cos)

Рис. 18. Спектральная плотность 8-5 Г-20.

двумя номерами: II и III. Из графиков видно, что увеличение длины участка корреляционной функции существенно изменяет не только величину ординат, но и частотный состав спектральной плотности. Вместе с тем, общая структура графика становится более сложной.

Способ 4. Корреляционная функция рассматривается на отрез­ ке (0, т5) до точки экстремума в окрестности абсциссы 1,4 сек., которая считается границей надежного определения корреляцион­ ной функции. От точки Ts эмпирическая функция заменяется ап­ проксимирующим экспоненциально-косинусным выражением, параметры которого определяются следующим образом. Показа­ тель экспоненты щ принимается равным половине значения а, определенного по первому способу, что соответствует более мед­ ленному затуханию функции при больших т. Для низкочастотной

22

акселерограммы 7=25 Г=40 принято а, = а. Параметр ß, опре­ деляется следующим образом. Если К (Ts) < О, то считается, что т5 равно полутора периодам заменяющей корреляционной функции. Следовательно,

*•5

Р.3- •

Если К (т5) > 0, то для низкочастотных акселерограмм (т5> 1 сек), принимается

Для высокочастотных акселерограмм (т5 < 1 сек.)

<■&

Рі = 4тс*

Определенная таким способом величина ßi находится в приб­ лизительном соответствии с периодичностью «хвоста» корреляцион­ ной функции. Спектральная плотность вычисляется по формуле

U

Здесь 5 2(Ü)2) — слагаемое, соответствующее „хвосту“ корреляцион­ ной функции;

со

S2(ш2) = 2 К (0) |е ~ а‘х cos ßj т cos шт dx =

со

= 2К(0) J е~а'т cos ßj т cos штdx —

23

Величина К (0) остается неопределенной, так как спектраль­ ная плотность So (ш2) выражается через

рис. 15—19 номером IV. В соответствии с общепринятой методи­ кой обработки реализаций случайных процессов можно полагать,, что именно эти кривые содержат наиболее полную и достоверную' информацию о спектральной плотности сейсмического процесса. Однако это положение на данном этапе исследований не может считаться окончательно установленным. Отметим следующие осо­ бенности кривых IV. Они по величине ординат и частотному сос­ таву сильно отличаются от кривых, построенных более простыми, способами. Кривые, соответствующие высокочастотным акселеро­ граммам, имеют, как правило, двугорбую структуру, причем пер­ вый максимум расположен вблизи периода 0,5 сек., второй — между 0,5 и 1 сек. Для низкочастотной акселерограммы разница между тремя кривыми не так велика, однако положение макси­ мума спектральной плотности в зависимости от способа построе­ ния меняется от 1,25 до 1,8 сек.

Спектры, построенные по последнему способу, имеют слож­ ную структуру и, следовательно, в значительной степени, отра­ жают случайный характер исходных реализаций. По этой причинеони не могут быть непосредственно приняты за статистическуюхарактеристику сейсмических процессов без дополнительной обра­ ботки с применением специальных операций сглаживания.

Из приведенных графиков видно, однако, что удовлетворитель­ ную сходимость спектральных функций, построенных различными методами, получить невозможно. Все рассмотренные способы по­ строения одинаково обоснованы, поэтому следует сделать вывод,, что понятие спектральной плотности сейсмического процесса не может иметь точного определения и получаемые различными ме­ тодами спектры являются только грубым приближением к дей­ ствительным характеристикам сейсмических процессов. Причина заключается, конечно, не в отсутствии более точных спосо­ бов построения спектров, а в недостаточной физической обоснован­ ности самого понятия спектральной плотности сейсмического про­ цесса, ввиду того что процесс в действительности не обладает эргодическим свойством и имеет слишком малую продолжитель­ ность по сравнению с частотным составом.

Для дальнейших выводов о степени приближенности построен­ ных спектров на всех рисунках 15—19 показаны под номером V

24

периодограммы соответствующих реализаций. Периодограммой, следуя терминологии, принятой в теории случайных процессов, мы называем функцию

О

спектр Фурье данной акселерограммы т<у0(£), вычисленный на от­ резке длиной t n. В наших обработках, как и в других случаях,

было принято tn = 11 сек. Спектр Фурье представлен в виде

где /1 и h соответственно косинус- и синус-преобразования акселе­ рограммы. Отсюда

Вычисления по формуле (1.14) производились с помощью чис­ ленного интегрирования акселерограмм, заданных в виде скоррек­

цо 3 сек. через 0,05 сек. Всего на участке 0,05—3 сек. вычислено

Для бесконечно длящихся процессов предел периодограмм при tn->оосовпадает со спектральной плотностью. Для процессов,

определенных на коротких интервалах времени, периодограмма является случайной функцией их частоты и продолжительности н может рассматриваться как приближенное представление спект­ ральной плотности.

Периодограммы на рис. 15—19 по величине ординат близки к кривым спектральной плотности, построенным по способу 1, а по-

25

спектральной плотности сейсмического процесса. Дальнейших уточ­ нений можно достигнуть, применяя методы осреднения по мно­ жеству реализаций.

Однако и этот путь не может привести к решению задачи о точном определении сейсмических спектров. В зависимости от способов построения спектры будут иметь или слишком общий

основном отражать индивидуальные особенности одного конкрет­

Условимся о следующих обозначениях различных спектраль­ ных функций:

спектральная плотность процесса на входе—S ( CD2);

- спектральная плотность на выходе механической системы —

5 *(ш2); спектр Фурье на входе —5 (іш);

амплитудный спектр на входе — | S (і ш) |, на выходе— | 5 д.(іш)| ;

спектр максимальных сейсмических воздействий — 5 (со).

Для большинства известных акселерограмм спектры (1.17) описаны в литературе. На их основе приняты нормативные спект­ ральные кривые в различных кодах и технических условиях, на­ зываемые в некоторых случаях спектрами динамического коэффи­ циента [130, 140, 146].

Несмотря на широкое распространение расчетов сооружений по спектральным коэффициентам, в литературе не описан обосно­ ванный метод для вычисления последних по данным отдельных реализаций. В работах [3, 84] дается следующее определение ди­ намического коэффициента ß:

землетрясении (максимальная по абсолютной ве­ личине ордината акселерограммы);

26

так как абсолютно жесткое сооружение (Т—0) не может совер­ шать движений, отличных от движения основания.

Формула (1.18) указывает на то, что нормировка спектраль­ ных функции производится по величине максимального абсолют­ ного ускорения основания гооішах- В предыдущем параграфе бы­ ло показано, что более обоснованным следует считать нормирова­ ние по среднеквадратичному ускорению акселерограммы. С этой точки зрения нормативный динамический’ коэффициент, определяе­ мый формулой (1.18), не является устойчивой и достаточно пол­ ной характеристикой акселерограммы. Независимо от этих сооб­ ражений, дальнейшая процедура построения нормативной спект­ ральной кривой остается неопределенной. Обычно применяют спо­ соб совмещения на одном чертеже нескольких кривых ß, постро­ енных для характерных землетрясений, после чего проводят, в достаточной степени субъективно, объемлющую этих кривых. В полученный график вносят еще ряд изменений чисто норматив­ ного порядка. Эти и подобные им методы не являются обоснован­ ными с точки зрения математических методов обработки эмпири­ ческого материала. По этой причине, начиная с 60-х годов, прово­ дятся исследования по применению вероятностных методов для построения нормативной спектральной кривой. При этом обычно используется следующая схема.

Сейсмический процесс рассматривается как стационарный и обладающий эргодическим свойством, что дает возможность опре­ делить спектральную плотность процесса на входе. Тогда спект­ ральная плотность на выходе линейной системы определяется че­ рез ее частотную характеристику

где Ф(іш)— частотная характеристика системы с одной степенью свободы.

Далее определяются средний квадрат реакции

( 1. 20)

и так называемый вероятностный динамический коэффициент ß, равный отношению среднеквадратичных значений реакции и воз­ действия

(1.21)

27

определенные таким способом спектральные характеристики более или менее согласуются с принятыми в нормах (в частности, в СНиП П-А 12-69). Это обстоятельство служит некоторым под­ тверждением соответствия нормативной спектральной кривой и фактических свойств сейсмического процесса, однако оно не может считаться научным обоснованием нормативного спектра и не оп­ ределяет степени его соответствия действительности.

Выше было показано, что определение спектральных плотнос­ тей акселерограмм приводит либо к излишне схематическим, либо к индивидуализированным результатам. Для каждой акселеро­ граммы можно получить существенно различные кривые ß в зави­ симости от способа определения спектральной плотности на входе. Формула (1.21) предусматривает нормирование по среднеквадра­ тичному значению, однако кривые ß для отдельных акселерограмм значительно различаются между собой и для перехода к норма­ тивной кривой требуется дополнительная процедура типа проведе­ ния объемлющей, что вносит в вычисления элемент произволь­ ности.

Нужно также отметить, что в схеме вычислений по формулам (1.19), (1.20) и (1.21) не учитывается переходный процесс, суще­ ственно меняющий максимальные значения ускорений на выходе высокочастотных осцилляторов. Переходный процесс принят во внимание в формуле (1.17), поэтому спектры, полученные по этой формуле, и вероятностные спектры в установившемся режиме от­ носятся к различным стадиям процесса и не могут быть эквива­ лентными.

Учет переходного процесса вероятностными методами значи­ тельно усложняет технику вычисления спектральных характери­ стик и для каждой акселерограммы приводит к еще более инди­ видуализированным результатам.

Изложенные соображения позволяют сделать вывод, что рас­ чет сооружений по спектральным характеристикам дает лишь весьма грубое приближение к действительным усилиям и дефор­ мациям, возникающим в сооружениях при землетрясении, и в ряде случаев не гарантирует необходимой степени безопасности. Более надежные результаты может дать расчет сооружений на воздействие по закону акселерограмм прошлых или прогнози­ руемых землетрясений.

Расчет по спектральным характеристикам, по-видимому, бу­ дет являться основным в нормативных документах в течение еще довольно длительного времени. Поэтому представляет интерес возможность вычисления верхней оценки спектральной кривой ди­ намического коэффициента ß. Этот вопрос становится особенно актуальным в связи с тем, что в последнее время в литературе приведены данные о так называемых длиннопериодных землетря­

28

Нормативные динамические коэффициенты могут оказаться недостаточными для расчета сооружений с большими периодами собственных колебаний.

Выборка акселерограмм, приведенная в табл. 1, имеет доста­ точно разнообразный частотный состав со спектральными макси­ мумами в диапазоне от 7 = 0,13 сек. (8-5 Г-20) до 7=1,95 сек. (7-16 Г-50) (табл. 2 ). Поставим задачу определить зависимость величины максимума амплитудного спектра на выходе системы с одной степенью свободы от частоты, соответствующей максимуму.

Рассмотрим амплитудные спектры акселерограмм, определен­ ные в соответствии с формулами (1.14) и (1.15):

1*5 (*“)! = / / ? + / 2 .

Индекс k обозначает, что данная функция относится к некоторой £-й реализации.

29