книги из ГПНТБ / Шепелев, И. Г. Математические методы планирования и управления в строительстве конспект лекций

4

9 Проверка на уменьшение

( s L ) j+ 1< ( s L ( s L ) j -

где j номер шага

1

10 Вычисление F-критерия

S2

F " 2 S2 ‘-'ост

4

11 Проверка адекватности F ^ Ртабл (р = 0,95)

4 нет

12Расширение матрицы-X для получения поли­ нома 2-ой степени

4

13Вычисление многофакторного корреляцион­ ного отношения

, _ i A

V '- ( У - У )2

I

14Вычисление среднеквадратических ошибок коэффициента регрессии

аа) ~ ^ост• Cj]

4

15 •Вычисление критерия для коэффициента регрессии

1 __ &\ ■

4

16 Оценка членов уравнения по t-критерию

4

17 Вычеркивание строки и столбца матрицы X

4

18 Печать

50

Методом многошагового регрессионного анализа по стан­ дартной программе осуществлялись аппроксимация зависимости между факторами, приведенными в примере § 4.1—4.2, и уров­ нем себестоимости строительно-монтажных работ. В результате вычислений на ЭВМ «Минск-22» получено следующее регресси­ онное уравнение:

Максимальное число членов полинома при четырех факто­ рах было равно пятнадцати. В результате регрессионного ана­ лиза часть членов была отброшена и в уравнении (4.5.7) оста­ лось только девять значимых членов. При этом достигнута достаточно высокая точность аппроксимации, корреляционное от­ ношение т] = 0,834, что много выше, чем множественный коэф­ фициент корреляции, подсчитанный для этих же данных

(см. § 4.2), R = 0,697.

§ 4.6. Аппроксимация нелинейной зависимости методом Д. Брандона

Суть метода заключается в том, что корреляционная зави­ симость представляется в виде произведения некоторых функ­ ций, каждая из которых является функцией одного неизвест­ ного:

Эти парные зависимости могут иметь любой вид, на практике чаще всего ограничиваются линейной, параболой, степенной и тригонометрической функциями. В выражении (4.6.1) С —-по­ стоянная величина, равна среднему значению у.

Решение задачи сводится к нахождению значения величи­ ны С и выражения функции f (xi) в следующем порядке:

1) вычисляется среднее значение у и нормализуются значе­ ния у по формулам:

2) выбирается вид зависимости уо от *i и методом наимень­ ших квадратов определяются параметры формулы

51

21

24

Рис. 8. Блок-схема алгоритма аппроксимации методом Брандона

3) определяется условный остаточный показатель для каж­ дого наблюдения

до тех пор, пока не будут определены все функции fn (хп). Об­ щая формула получается как произведение этих функций:

программа, блок-схема которых приведена на рис. 8 [10]. Главный массив алгоритма (операторы 14—23) представля­

ют собой .вычисления парных корреляционных зависимостей. Возможные связи между переменными практически полностью охватываются следующими зависимостями: линейной, парабо­ лической, степенной и тригонометрической. ЭВМ производит расчет по вариантам зависимостей и выбирает ту из них, ко­ торая обеспечивает минимальную ошибку аппроксимации. Схе­ мы вычислений этих зависимостей приведены в табл. И.

В нулевом цикле (оператор 16) вычисляются промежуточные данные, необходимые для расчета параметров формулы. Пара­ метры корреляционного уравнения, обеспечивающего минималь­ ную ошибку аппроксимации, засылаются в специальный массив рабочих ячеек. Первая часть (операторы 1—5) содержит вы­ числения предварительного характера, вычисление парных кор­

нормализация зависимого переменного. Оператор 6, пользуясь операторами 14—23, определяет зависимость fi(xi).

Это определение производится по четырем видам функций, выбирается функция, имеющая минимальную ошибку аппрок­ симации. По выбранной функции в зависимости от Xi вычисля­ ется расчетное значение г/ц. Оператор 9 формирует новый ус­

ловный показатель У\ = — nL. После этого снова управление

fi (х)

передается оператору 6 и устанавливаются зависимости между

53

Ух и Xi+x и т. д до тех пор, пока не будут перебраны все факторы, ■ Если знак полученной парной линии регрессии соответству­

ет логическим причинным связям, то она включается в модель:

у = С П {, (х,); если, наоборот,- то эта парная связь в модель не включается, давший эту связь, засылается в конец очереди и вызывается следующий по рангу хь Тот фактор, который в од­ ном случае дал формулу, не соответствующую причинным связям и может быть включен в модель в другом порядке. Мо­ жет быть, что при всех переборах с некоторым х условное пере­ менное у не даст формулу, соответствующую причинным свя­ зям. Тогда надо считать выборку для данного фактора непред­ ставительной и этот фактор в модель включать не следует. После вычисления параметров уравнения (4.6.7) производится вы­

числение критериев оценки полученного уравнения е — средней относительной ошибки и г) — корреляционного отношения.

Вычисленные по этому методу зависимости позволяют учи­ тывать монотонно, экстремально и периодически действующие факторы. Рассмотренный метод позволяет получать зависи­ мость от большого числа факторов, выраженную разными вида­ ми функций с сравнительно несложной формулой. Например, при семи факторах модель имеет вид:

у = 4,918 ЛС(0,389 °’040(0,763 —)—0,070 лг3)-( 1,425 — 0,95 х^-\-

Если бы эта зависимость была аппроксимирована многочле­ ном второй степени, то формула имела бы 36 членов.

Для аппроксимации изложенным в этой программе методом требуется небольшая внутренняя память, что позволяет на вычис­ лительных машинах средних мощностей типа «Минск-22» про­ изводить статистическую обработку практически неограниченно­ го числа факторов при значительном числе наблюдений.

В ходе вычислений имеется возможность следить за выпол­ нением условий причинности и логики, что в какой-то мере ис­

■Для того, чтобы получить удовлетворительную модель, необхо­ димо иметь независимые факторы.

Разберем пример аппроксимации совокупного влиярия двух факторов на уровень производительности труда в строительстве методом Брандона по упрощающему алгоритму. Введем обо­ значения:

5 5

у — производительность труда (выработка) на одного рабо­ тающего, т. руб./год;

Х\ ■— текучесть рабочей силы; * 2 — уровень механизации строительно-монтажных работ, %.

Исходные данные и результаты расчетов сведены в табл. 12. Будем аппроксимировать зависимость произведением степенных функций. В столбце 4 записываем условный показатель у0, яв­ ляющийся частным от деления фактических значений у на его

рованной степенной функции, согласно условиям табл. 11. Под­ считав суммы столбцов 5—7, определим параметры кривой

Для дальнейших вычислений удобнее пользоваться резуль­

татом (4.6.9). Подсчитав расчетные значения lgy0, заполним столбец 9. Взяв антилогарифмы от всех значений этого столбца, заполним столбец 10. Фактические данные по уровню механи­ зации в табл. 12 записаны в столбце 11, прологарифмируем их

числим сразу в логарифмах, вычтя из значений столбца 5 зна­ чения столбца 9, заполним столбец 13. Столбцы 14 и 15 являют­ ся результатом промежуточных вычислений, необходимых для определения параметров линеализированной функции:

Vi = f2 (л2).

Подсчитав суммы столбцов 12—15, найдем

А = —1,52; В = 0,7964; Д = 3,63; lg а2= —0,4187; а%= 0,7643 и Ъ2 = 0,2194.

.5 8