книги из ГПНТБ / Шепелев, И. Г. Математические методы планирования и управления в строительстве конспект лекций

мулам (2.4.5) и (2.4.6), определяем г| = 0,77 и е = 12,81. Кор­ реляционное отношение ц = 0,77, что больше г = 0,197, опре­ деленного для этих статистических данных: это означает, что степенная линия регрессии лучше аппроксимирует зависимость между выработкой и текучестью рабочей силы, чем прямая ли­ ния.

§ 2.5. Логарифмическая зависимость

Логарифмическая зависимость выражается формулой вида:

График логарифмической функции представлен на рис. 6. Для получения параметров логарифмической кривой нужно прологарифмировать наблюдения по х и, рассматривая их как

Рис. 6. График логарифмической функции

независимые переменные, определить параметры а и b по мето­ ду наименьших квадратов. При последующем использовании кривой для определения зависимой переменной необходимо ло­ гарифмировать независимую переменную и подставить ее зна­ чения в уравнение (2.5.1).

Рабочие формулы для определения параметров а и b имеют

20

Корреляционные отношения р и е вычисляются но приведенным в предыдущем параграфе формулам.

Форма записи исходных данных для вычисления параметров линии регрессии и оценок этой линии приведены в табл. 5.

Таблица 5

§ 2.6. Параболическая зависимость или многочлен n-й степени

Если степень независимого переменного равна двум, то это парабола второго порядка и т. д. Прямая зависимость является частным случаем многочлена.

Аппроксимация (подбор) параболической кривой осущест­

Возьмем частные производные от этого выражения по а, b и с

= — 2 £ (у — а — Ьх — сх2) = 0;

da

= — 2£ (у — а — Ьх — сх2) х —0;

db

= — 22 (у — а — Ьх — сх2) х 2 = 0.

dc

Получим систему нормальных или ортогональных уравнений, которая после несложных преобразований примет вид:

Na + 6£.x: + c£.x:2 — £у;

21

Решая систему, находим любым известным методом параметры

то параметры параболы можно определить из выражений:

Д ’

дс

~д ’

где Д — определитель матрицы линейных уравнений; Да — определитель матрицы линейных уравнений, в котором

столбец, имеющий в своем составе «а», заменяют столбцом свободных членов;

Дь — определитель матрицы, в котором столбец, имеющий - в своем составе «Ь», заменен столбцом свободных чле­ нов;

Дс — определитель, в котором столбец, имеющий в своем со­ ставе «с», заменен столбцом свободных членов.

Определители матрицы (2.6.4) можно расписать в виде сле­

22

Форма записи и обработки исходных данных для параболи­ ческой зависимости представлена в табл. 6.

Оценка точности аппроксимации параболы также произво­ дится по корреляционному отношению rj и ошибке аппроксима­

ции е.

§ 2.7. Корреляционные зависимости периодического вида

Кривые периодического вида могут найти широкое распрост­ ранение при аппроксимации зависимостей многих экономичес­ ких явлений во времени. Наблюдения времени могут быть пред­ ставлены в виде равноотстоящих переменных х, выраженных & тригонометрической форме.

Если взять период времени, равный году, и провести ежеме­ сячные наблюдения какого-либо экономического показателя, т& время, как аргумент, может быть записано в тригонометричес­ ком виде

12

В течение года можно получить 12 наблюдений экономического

частных производных относительно ао, Gk, Ьк и т. д., приравнять, полученные производные нулю и составить систему ортогонадь-

2$

ных уравнений. При этом необходимо принять во внимание, что функции 1, cos kx, sin kx, ( k — 1, m),

. N

где m — составляют систему ортогональных по отношению к

Благодаря этому свойству решение нормальных уравнений ока­ зывается сравнительно простым [3]. Для вычисления парамет­ ров уравнения (2.7.2) имеем:

N

аО-— У-

N

N

N- l

Вкачестве примера составим корреляционное уравнение за­ висимости поставок леса от времени года. Данные подекадных поставок в процентах к плану представлены в табл. 7.

Если зависимость аппроксимировать тригонометрической кривой с k =■4, то расчетные данные удобно расположить в ви­ де табл. 8. Подставим данные табл. 7 в форму табл. 8, просум­

мируем столбцы 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Получим суммы:

24

ченные по выборке, истинным характеристикам и взаимосвязям, которые могли быть получены при изучении генеральной сово­ купности.

В практике часто приходится решать задачу: достаточно ли число наблюдений в выборке для того, чтобы судить по ней о генеральной совокупности.

Если обозначить:

N — число наблюдений в выборке,

S — среднеквадратичное или стандартное отклонение, полу­ ченное по результатам выборки,

а — вероятность приближенного равенства о0 ~ S, где Оо — стандарт генеральной совокупности,

е — точность наблюдений,

k = N — 1— число степеней свободы,

qs — аргумент функции распределения вероятности. Аргумент qs определяется из выражения е = qs • S. Из функции L (qs&) = а вероятность а зависит только от q и k. Можно с за­ данной вероятностью а построить доверительный интервал, в котором будет находиться стандартное отклонение а. Этот ин­ тервал можно записать в виде следующего соотношения:

ным методом, основанным на гипотезе нормального распределе­ ния случайной величины. При этом

взависимости от заданной вероятности а.

х— среднее значение случайной величины в выборке. Если выполняется соотношение (3.1.2), то число наблюдений доста­ точно.

28

§ 3. 2. Оценка представительности коэффициента корреляции

Коэффициент корреляции г, рассчитанный по выборочным данным, может не совпасть с истинным коэффициентом корре­ ляции р, соответствующим генеральной совокупности.

Ошибка выборочного коэффициента корреляции определя­ ется по формуле

<3 -2 Л )

У N - 1.

Так как истинный коэффициент корреляции р неизвестен, то ошибку приближенно можно определить по формуле:

Полагая коэффициент корреляции распределенным нормально,

Особенно интересна проверка так называемой нулевой гипо­ тезы. Известно (см. § 2.2), что если коэффициент корреляции по модулю больше нуля, то между двумя случайными величинами имеется связь. Однако г, определенный по частичной выборке, отличается от истинного коэффициента корреляции р. Может быть, что при | г j > 0 , р — 0 тогда связь, установленная по час-, тичной выборке, в генеральной совокупности отсутствует. Для ответа на вопрос: есть ли связь в генеральной совокупности, за­ даются гипотезой, что такой связи нет и проверяют эту гипотезу.

При проверке нулевой гипотезы интересен только нижний пре­ дел

29